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微专题 01 三角形中的倒角模型
题型 1 A 字模型及其扩展A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型
图例
结论
1．（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶
点均为格点，则 的度数为________； 度数为_______．
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，
是 的外角 的平分线， 是 的外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图， 中， 平分 ，点 在 上， ，若要
求 的度数，则只需知道（ ）A． 的度数 B． 的度数 C． 的度数 D． 的度数
4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在 中， ，点 在 上，作 于点 ，
将 绕点 逆时针旋转至 ，点 ， 分别落在 ， 上．若 ， ，则
______．
题型 2 8 字模型及其扩展
8字模型 8字模型扩展：角平分线模型
图例
结论
1．（24-25八年级上·吉林·月考）如图， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的平分
线， ， 相交于点 ．直接写出 与 ， 之间的数量关系．（需写出证明过程）2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图
1， 交于 点，根据“三角形内角和是 ”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①
（对顶角相等）；② ．
【提出问题】分别作出 和 的平分线，两条角平分线交于点 ，如图2， 与 ，
之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知 的平分线与 的平分线交
于点 ．
(1)如图2， ， ，则 的度数是多少呢？
易证 ，
请你完成后续的推理过程：
______
， 分别是 ， 的平分线
，
______
又 ，
______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出 与 ， 之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3， 的平分线 与 的平分线 交于点 ．已知： ， ， 则 ______．（用 、 表示）
3．（24-25七年级下·吉林·期末）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第 章平面图形的认识 二 第
页第 题如下：如图 ， ，点 、 分别在 、 上运动 不与点 重合 ， 是
的平分线， 的反向延长线交 的平分线于点 ．
【特殊探究】当 时， ______ ；
【推理论证】随着点 、 的运动， 的大小会变吗？如果不会，求 的度数；如果会，请
说明理由；
【拓展探究 】如图 ，在图 的基础上分别作 与 的平分线，交于点 ，则
______ ；
【拓展探究 】如图 ，若将图 中的“ ”拓展为一般情况，即 ，点 是射线
反向延长线上的一个动点，连接 ， 与 的平分线相交于点 ，延长 交直线
于点 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
题型 3 飞镖模型及其扩展
飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型图例
平分 ， 平分
结论
1．（23-24七年级下·河南南阳·月考）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
(1)已知：如图，在 中， 和 的平分线相交于点P，试探究 和 的关系．请在以
下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长 交 于点D．
， （__________），
．
和 的平分线相交于点P，
， （角平分线定义），
．
（__________），
（等式的性质），
__________．
(2)如图，在 中， 的平分线和外角 的平分线相交于点P，试探究 和 的关系，
并说明理由．(3)如图， 的外角 的平分线和 的平分线相交于点P，若 ，则 的度数为
__________．
2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图， 是 内一点，延长 交 于点 ，连接 ．
(1) 的大小关系是：_ _ _；
(2)若 ，嘉嘉想求 的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完
成求解．
思路一
思路二
先利用三角形内角和
先利用三角形外角性
求出 的
质求出 的度数，再
度数，再利用三角形
利用三角形外角性质
内角和求出 的度
求出 的度数．
数．
3．（24-25八年级上·四川南充·期末）直线 ，垂足为点O，点A、B分别在射线 、 上运动，
点A、B均不与点O重合．(1)如图1， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 的反向延长线交射线 于点D．在A、B两点运动的
过程中， 的度数是否发生变化?若不变，试求 的度数；若变化，请说明变化规律．
(3)如图3，已知点E在 的延长线上， 的角平分线 、 的角平分线 与 的角平
分线所在的直线分别相交于的点F、G，在 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出
的度数．
题型 4 双垂直模型
双垂直模型
图例
结论
1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在 中， ， ， ， ，
垂足分别为D、E．(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长．
2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角 中， ， ， 为直
线 上任意一点，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ．
尝试发现：
（1）如图1，当点 在线段 上时，求线段 与 的数量关系；
类比探究：
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，线段 与 是否存在（1）中的数量关系？如果存在，
写出 与 的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由；
拓展探究：
（3）若 ， ，请直接写出 的值．
3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造
图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在 中， 平分 交 于点 ， ，点 在边 上，且 ，
连接 ，试说明： ．【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次
推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在 中，
米，校学生会在边 、 上分别取点 、 ，使得点 为 的中点， 于点 ，
在线段 上找点 ，使得 米， 为等腰直角三角形， ，并沿其三条边搭建安
全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道 的长，请你帮助校学
生会计算出 的长．
4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型建立】
（1）如图1， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ，进
而得到 __________， _________，我们把这个数学模型称为“K字”模型
【模型应用】
（2）在 中， ，将边 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 并延长交边 的延
长线于点F，若 ，则 的长为_________；
【模型拓展】
（3）如图3，在矩形 中， ，当点P在直线 上运动，（点P不与点D、C重
合），将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，当 的面积等于5时，请直接写出的长。
题型 5 高分线模型
高分模型
图例
平分
结论
1．（24-25七年级下·四川内江·月考）如图，在 中，AE是 的高．
(1)如图1，若 ， ，AD是 的平分线，求 的度数；
(2)如图1，若 ，AD是 的平分线，则 =___________．（用含 的代数式表
示）
(3)如图2，延长AC到点F， 和 的平分线交于点G，求 的度数．
2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在 中， ， 分别是它的高和角平分线，设 ，
．(1)如图1，求证： ．
(2)如图2， 是 的外角 的平分线，交 的延长线于点E，且 ，求 的
度数．
3．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力
如图①所示，在 中， 是高， 是 的平分线， ．
(1)求 的度数．
(2)当 是 的外角 的平分线时，如图②所示， 的度数是多少？设
，用含 的式子表示出结果，并说明理由．
4．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图， 中， 、 分别是 的高和角平分线， 是
的平分线， 与 交于 ，若 ， ．
(1)求 的度数；
(2)求 的度数．
题型 6 双内角平分线模型
双内角平分线型图例
平分 ， 平分
结论
1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）【探究】如图①，在 中， 的平分线与 的
平分线相交于点 ．
（1）若 ， ，则 _____度， _____度；
（2） 与 的数量关系为_____，并说明理由；
【应用】如图②，在 中， 的平分线与 的平分线相交于P， 的外角平分线与
的外角平分线相交于点 直接写出 与 的数量关系为__________．
2．（25-26八年级上·吉林·月考）【问题再现】
（1）如图①，在 中， 、 的平分线交于点 ，若 ，则 _度，若
，则 _度，直接写出 与 的关系式_（用含有 的式子表示 ）
【问题推广】
（2）如图②，在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点 ，若
，求 的度数；
（3）如图③，在 中， 、 的平分线交于点 ，将 沿 折叠，使得点 与点
重合，若 ，则 _度．3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）（1）如图 ，在 中， 的平分线 与 的平分
线 交于点O，求证： ；
（2）如图 ，在 中，E是边 延长线上一点， 的平分线 与 的平分线 交
于点O，求证： ；
（3）如图 ，在 中，D是边 延长线上一点，E是边 延长线上一点， 的平分线
与 的平分线 交于点O．试探求 与 的数量关系并证明你的结论．
题型 7 双外角平分线模型
双外角平分线型图例
平分 ， 平分
结论
1．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在 中， 的平分线与外角 的平分线的反向
延长线相交于点E．
（1）若 ，则 _________．
（2）若外角 的平分线与 的平分线相交于点F，且 ，则 _________．
2．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在 中， ，点D，E分别在 的延长线上，
的平分线与 的平分线交于点M，作射线 ，有下列结论：① ；②
；③射线 是 的平分线；④ ，则其中正确的有____________．
（填序号）题型 8 内外角平分线模型
内外角平分线型
图例
平分 ， 平分
结论
1．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，已知 是 的外角， 的平分线与
的平分线相交于点 ，得 ；若 的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ，…，
的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ， _____ (用含α的式子表
示)．
2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究
提出问题：
小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在 中， 的平分线与外角 的平分线交于
点 ．试猜想 与 之间的数量关系．
解决问题：
（1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入 的特殊角度，然后根据结果猜想 与 之间的数量关系．
①若 ，则 ________ ；若 ，则 ________ ；
②通过上面的计算，请猜测 与 之间的数量关系，并说明理由；
应用拓展：
（2）如图2，将 改成四边形 ， 的平分线及一个外角 的平分线相交于点F．
若 ，求 的度数；
深入探究：
（3）如图3，在 中， 的平分线与外角 的平分线交于点 ．若E是 延长线上一
动点，连接 ， 与 的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出 与 之
间的数量关系．
