专题45坐标系与参数方程（学生版）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2024年复习资料_完备战2024年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）_核心考点讲练

专题 45 坐标系与参数方程 （核心考点精讲精练） 1. 近几年真题考点分布 坐标系与参数方程近几年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2021年全国甲（理科），第22题,10分 极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系 2021年全国甲（文科），第22题,10分 求参数，圆的参数方程 2021年全国甲（理科），第22题,10分 极坐标方程互化，圆的参数方程 2021年全国甲（文科），第22题,10分 2022年全国乙（理科），第22题,10分 极坐标方程互化，参数方程综合，圆锥曲线的 参数方程求最值 2022年全国乙（文科），第22题,10分 2022年全国甲（理科），第22题,10分 极坐标与直角坐标互化，参数方程化普通方程 2022年全国甲（文科），第22题,10分 2023年全国乙（理科），第22题,10分 极坐标与直角坐标互化，参数方程化普通方程 2023年全国乙（文科），第22题,10分 2023年全国甲（理科），第22题,10分 极坐标方程互化，求弦长 2023年全国甲（文科），第22题,10分 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】1.坐标系是解析几何的基础，通过有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。极 坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这 些坐标系可以使建立的方程更加简单； 2.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一 种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生 进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变； 【备考策略】1.掌握坐标系和参数方程的基本概念和性质，理解其几何意义和代数表达； 2.参数方程中参数的意义和性质需要理解并掌握，同时要能够将参数方程转化为普通方程； 3.掌握坐标系之间的转换方法和参数方程与普通方程之间的转换方法，以及普通方程与极坐 标方程之间的转换； 4.熟悉常见曲线的参数方程和普通方程，如直线、圆、椭圆、抛物线等，并能够根据问题选 择合适的方程进行解决； 【命题预测】1.坐标系可能会以选择题或填空题的形式出现，主要考察学生对坐标系的基本概念和性质的理解和应用。题目可能会涉及坐标系的建立、点的坐标表示、向量运算等知识点； 2.参数方程可能会以选择题或填空题的形式出现，主要考察学生对参数方程的基本概念和性 质的理解和应用。题目可能会涉及参数方程的建立、参数的意义和性质、参数方程与普通方 程的转换等知识点； 3.坐标系和参数方程之间的转换方法可能会成为高考命题的重点之一，主要考察学生的运算 能力和思维能力。题目可能会涉及普通方程与极坐标方程之间的转换、参数方程与普通方程 之间的转换等； 4.高考命题可能会涉及常见曲线的参数方程和普通方程，如直线、圆、椭圆、抛物线等，主 要考察学生对这些曲线的性质和方程的理解和应用； 5.应用题：高考命题可能会设计应用题，主要考察学生利用坐标系和参数方程解决实际问题 的能力。题目可能会涉及一些实际应用场景，如物理学、工程学、经济学等； 知识讲解 一、极坐标系 极径 ,即M点与极点O间的距离 极角 ，即以极轴 为始边， 为终边的角 二、极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝ x 2 ＋ y 2 tan θ＝(x≠0) 例如 ，则 又 在第三象限，所以 ， 三、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 的圆 圆心为(r,0)，半径为 的圆 圆心为 ，半径为 的圆 过极点，倾斜角为 的直线 过点 ，与极轴垂直的直线 过点 ，与极轴平行的直线 四、常见曲线的参数方程 ①圆 的参数方程是： ②椭圆 的参数方程是： 倾斜角为 的直线 的标准参数方程为： ③过定点 五、直线的标准参数方程中 的几何意义 过定点 倾斜角为 的直线 的标准参数方程为：点所对应的参数为 ，记直线 与任意曲线相交于 两点所对应的参数分别为 ，则 ①线段 的中点 所对应的参数为 ，如果线段 的中点恰好是 ,则有 ② ， ③ ， ④ ⑤ 注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于 的二次方程，则由韦达定理得出： 六、直线一般式 b {x=x + at ¿¿¿¿ 0 过定点 斜率 =a 的直线的参数方程是 (t为参数) ①若 ,即为标准式，此时参数t具备几何意义 ②若 ，参数t不具备标准式 中t的几何意义. 标准式与一般式的联系与互化： {x=x + at ¿¿¿¿ 0 直线的普通参数方程 ( 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向 a { x=x + t ¿¿¿ ¿ 0 √ 2 2 a +b 向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程 (t为参数) 考点一、极坐标与参数方程 1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线 的参数方程为 （t为参数），抛物线C的极坐标方程 为 ． (1)求直线l和抛物线C的直角坐标方程；(2)求直线l被抛物线C截得的弦长. 2．在平面直角标系xOy中，曲M的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． (1)求曲线M的普通方程； (2)若D为曲线M上一动点，求D到l距离的取值范围． 3．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的一般方程和曲线 的标准方程； (2)设直线 与曲线 相交于 ， 两点，直线 与 轴相交于点 ，求 的值.4．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （其中 为参数）．以坐标原点为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． (1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； (2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P是曲线C上的一动点，求 面积的最大值． 5．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点 ，且倾斜角为 ，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程是为 （ 参数）． (1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程； (2)已知曲线C与直线l相交于A，B两点，则 的值．6．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若 ，求点P横坐标的取值范围． 1．在直角坐标系xOy中，直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ， 以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 和曲线 的极坐标方程； (2)设直线 交曲线 于两点A，B，求 的大小.2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ，直线 的参 数方程为 （t为参数）. (1)若 ，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)过点 向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线. 3．在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求曲线 的极坐标方程与曲线 的直角坐标方程； (2)直线l： 与曲线 ， 分别交于M、N两点（异于极点O），P为 上的动点，求 PMN △ 面积的最大值．4．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴为 正半轴建立极坐标，椭圆 的极坐标方程为 ，其右焦点为 ，直线 与椭圆 交于 两点. (1)求 的值； (2)若点 是椭圆上任意一点，求 的面积最大值. 考点二、极坐标（三线及三线段型） 1．在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为： (1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 ，求E直角坐标方程，并说 明E的轨迹是什么图形； (2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点， ，证明： 为定值．2．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 以坐标原点 为 极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 (1)求曲线 ， 的极坐标方程； (2)若 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 的一个交点为点 ，且 ， 求 的值 1．在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，圆 以 为圆心且与圆 外切.以坐标原点为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 的极坐标方程. (2)若射线 与圆 交于点 ，与圆 交于点 且 ，求直线 的斜率. 考点三、极坐标（极坐标求面积型） 1．如图，在极坐标系中，曲线 是以 为圆心的半圆，曲线 是以 为圆心的圆，曲线 都过极点 .(1)分别写出半圆 ，圆 的极坐标方程； (2)直线 与曲线 分别交于 两点（异于极点 ），求 的面积. 2．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程； (2)若直线 ， 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 ， 与曲线 的交点分别 为 和 ，求 的面积. 1．在平面直角坐标系 中，伯努利双纽线C（如图）的普通方程为 ，直线l的参 数方程为 （其中 为直线l倾斜角，t为参数）．(1)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C和l的极坐标方程； (2)设A、B是C与x轴异于原点的交点，当 时，l与C在第一象限的交点为M，求 的面积． 2．已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 . (1)求直线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程； (2)记 为直线 与曲线 的一个交点，其中 ，求 的面积. 考点四、极坐标（极坐标最值型）1．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线 ，（ ） 的形状如心形（如图），我们称这类曲线为笛卡尔心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，当 时． (1)求曲线E的极坐标方程； (2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的最大值． 2．在平面直角坐标系 中，直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 、曲线 的极坐标方程； (2)若射线 ： 分别交直线 ，曲线C于M、N两点（点N异于原点О），求 的最大值.1．在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数），以 为极点， 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)射线 ： 与曲线 ， 分别交于点A，B（均异于极点），当 时，求 的最小值. 2．在极坐标系 中，若点A为曲线 ： 上一动点，点B在射线AO上，且满足 ，记动点B的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的极坐标方程； (2)若过极点的直线 交曲线C和曲线 分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求 的最大值． 考点五、极坐标（面积最值）1．如图，在极坐标系中，曲线 是以 为圆心的半圆，曲线 是以 为圆心的圆，曲线 、 都过极点O． (1)分别写出半圆 和圆 的极坐标方程； (2)直线 与曲线 、 分别交于M、N两点（异于极点O），P为 上的动点，求 面 积的最大值． 2．如图，在极坐标系 中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 所在圆的圆心分别为 ，M是半圆弧 上的一个动点. (1)若点A是圆O与极轴的交点，求 的最大值； (2)若点N是射线 与圆O的交点，求 面积的取值范围.1．在平面直角坐标系 中，已知曲线T的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线T经过点 . (1)求曲线T的极坐标方程. (2)若直线 和直线 分别与曲线T相交于A，C和B，D两点，求四边形 的面积的最小值. 2．在直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数）.经伸缩变换 后的曲线为 ， 以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程； (2)M，N是曲线 上的两点，且 ，求 面积的取值范围.考点六、极坐标（极坐标求轨迹型） 1．如图，在极坐标系Ox中，点 ，曲线M是以OA为直径， 为圆心的半圆，点B在曲线M上， 四边形OBCD是正方形． (1)当 时，求B，C两点的极坐标； (2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程． 2．如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 ， 所在圆的圆心分别为 ， ，M是半圆弧 上的一个动点． (1)当 时，求点M的极坐标； (2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴， 的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线 段 的中点，求点N的轨迹方程．1．在极坐标系下，设点 为曲线 ： 在极轴 上方的一点，且 ，以极点为原点，极 轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ． (1)求曲线 的参数方程； (2)以 为直角顶点， 为一条直角边作等腰直角三角形 在 的右下方 ，求点 轨迹的极坐标方 程． 2．以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的直角坐标方程； (2)若 是 上一动点， ，作线段 的中垂线交直线 于点 ，求点 的轨迹方程.考点七、参数方程（三等分点型） 1．已知 的极坐标方程为 ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系， (1)求 的直角坐标方程， (2)过 作直线l交圆 于P，Q两点，且 ，求直线l的斜率． 2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： (2)在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点 恰为线段AB的一个三等 分点，求正数m的值．1．在直角坐标系 中，点 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ． (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)设点M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程，并判断l与 是否有公共点． 2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 . (1)写出直线l的直角坐标方程； (2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足 ，求实 数m的取值范围.考点八、参数方程（参数点型） 1．已知直线 过点 且倾斜角为150°，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 . (1)求圆C的直角坐标方程； (2)点 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围. 2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（t为参数）． (1)求C的直角坐标方程； (2)点 是曲线C上在第一象限内的一动点，求 的最小值．1．在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方 程为 为参数). (Ⅰ)求曲线 的极坐标方程； (Ⅱ)若曲线 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 得到曲线 ，设 为曲线 上任一点，求 的最小值，并求相应点M的直角坐标. 2．已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，以 为极点， 轴非负半轴为极轴，取相 同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的直角坐标方程和椭圆 的参数方程； (2)设 为椭圆 上任意一点，求 的最大值.考点九、参数方程（最值 求参） 1．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，直线 的参数方程为 . (1)若 ，求 与 的交点坐标； (2)若 时，曲线 上的点到 距离的最大值为 ，求 . 2．在直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为 . (1)①求直线l的普通方程； ②当曲线S过极坐标系中的点 时，求曲线S的直角坐标方程. (2)若直线l与曲线S交于A、B两点，定点 ，且 .求m的值.1．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， (1)求曲线 的直角坐标方程， (2)设A，B分别在曲线 上运动，若 的最小值是1，求m的值. 2．在平面直角坐标系中，已知直线l： ．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ． (1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且 ，求m的值．考点十、参数方程（复杂参数型最值与范围） 1．在平面直角坐标系xOy中有一点 ，圆C的方程为 点 为C上的动点， M为PQ的中点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点M的轨迹 的极坐标方程； (2)设点N的直角坐标为 ，若直线l经过点N且与曲线 交于点E，F，弦EF的中点为D，求 的最大值. 2．在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)设点 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值.1．在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为 ，将点A按逆时针方向旋转 得到点B，按顺时针方向转 得到点C． (1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标； (2)设P为坐标系中的任意一点，求 的最小值． 2．已知曲线 ，直线 为参数)． （Ⅰ）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （Ⅱ）过曲线 上任意一点 作与直线 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值． 考点十一、参数方程（取得最值时求对应点的坐标型）1．在平面直角坐标系xOy中，曲线 方程为： （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： (1)求曲线 的直角坐标方程； (2)已知点P、点Q分别是曲线 和 上的动点，求 的最小值以及取得最小值时P点坐标． 2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0． (1)求l的普通方程和C的参数方程； (2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．1．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 ，以 坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)设点 在曲线 上，点 在直线 上，求 的最小值及此时点 的坐标． x3x 2．在直角坐标系 中，曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，以原点O为极点，x轴 y y C 2  π 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sin 2 2.  6 (1)写出曲线C 的参数方程和直线l的直角坐标方程； 2 (2)已知点P为曲线C 上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的直角坐标. 2 考点十二、参数方程（交点求参数型） 3 x2a t  2 1．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负  1 y t xOy l  2 t O x 4 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2  . C 13sin2 (1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；  x x (2)若曲线 经过伸缩变换 2得到曲线 ，若直线 与与曲线 有公共点，试求 的取值范围. C  y y C l C a xcos2 2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴 y2sin   π 为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos m．  6 (1)写出曲线C和直线l的直角坐标方程； (2)若m0，且直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围．xtcossin 1．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）以 为极点， 轴 xOy C  ytcossin  t0 O x   正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为sin 2 2 0. l  4 (1)若t1，写出曲线C普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若l与C恰一个公共点，求t的值. x 3cos 2．在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （θ为参数， ），以坐标原点为极点， xOy ysin 0  π 2 x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为sin  m. l  4 2 (1)求直线l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围.【基础过关】 1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ． (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程 为 ． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知曲线 ，直线 ： （ 为参数）. （I）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（II）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ， 的最大值与最小值． 4．（2023年四川省模拟数学理科试题）在直角坐标系 中，曲线M的参数方程为 （ 为参数， ），曲线N的方程为 ，以坐标原点O为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系. (1)求曲线M，N的极坐标方程； (2)若射线 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且 ，求 . 5．（2023年河南省名校教研联盟押题考试理科数学试题）在极坐标系Ox中，圆 ， 直线 .(1)在以O为原点，极轴为x轴的正半轴建立的直角坐标系xOy中，求C的标准方程和l的方程； (2)以M为圆心的圆与圆C外切，且与l也相切，求M轨迹的极坐标方程. 6．（2024届陕西省联考模拟预测文科数学试题）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求直线 的极坐标方程； (2)若直线 与曲线 交于 两点，求 的值．7．（2023年陕西省模拟理科数学试题）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数）． 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求 的普通方程和 的直角坐标方程； (2)当 与 有公共点时，求实数 的取值范围． 8．（2024届四川省高考适应性考试（零诊）文科数学试题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． (1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)已知点 的直角坐标为 ，曲线 与直线 交于 ， 两点，求 的值． 9．（2023年陕西省三模理科数学试题）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 的极坐标方程 . (1)求 的直角坐标方程； (2)若曲线 与曲线 、曲线 分别交于A，B两点，点 ，求 的面积. 10．（2024届陕西省、青海省部分名校联考理科数学试题）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程 为 （ 为参数），直线 的方程为 ．以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极 坐标系． (1)求曲线 和直线 的极坐标方程； (2)若直线 与曲线 交于M，N两点，求 的值． 11．在直角坐标系 中，过定点 且倾斜角为 的直线 与曲线 （ 为参数）相交于不同两点 、 ，以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出直线 的参数方程和曲线 的极坐标方程； (2)若 ，求曲线 中心到直线 的距离． 12．（2023年陕西省校模考（一）数学（文）试题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐 标方程为 ，且直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为2. (1)求直线 的直角坐标方程； (2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 . 13．（2023年四川省全真模拟考试（二）理科数学试题）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为：（ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立 极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ，且曲线 与曲线 相交于A，B两点． (1)求实数 的取值范围； (2)若 ，求实数 的值和直线AB的极坐标方程． 14．（2023年河南省部分名校仿真模拟理科数学试题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)求 上的动点到直线 距离的取值范围. 15．（2023年陕西省模拟理科数学试题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程是 ． (1)求 的普通方程和 的直角坐标方程； (2)已知点 ，直线 与 交于 两点，求 的面积． 16．（2023年四川省考前冲刺模拟（二）理科数学试题）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数， ）.以直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)设直线 与曲线 交于 、 两点，曲线 与 轴正半轴交于点 ，若 的面积是 ，求 . 17．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换(1)求点 经过 变换得到的点 的坐标； (2)点B经过 变换得到点 ，求点B 的坐标． 【能力提升】  x 2 2t, 1．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴为 xOy l y 2t t O x正半轴建立极坐标，椭圆C的极坐标方程为2cos222sin24，其右焦点为F ，直线l与椭圆C交于 A,B两点. (1)求|FA||FB|的值； (2)若点P是椭圆上任意一点，求PAB的面积最大值.  x 3(sincos) 2．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为 xOy y 2(sincos)  O  π 2 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为cos  ． x l  4 2 (1)求直线l和曲线C的直角坐标方程； 12 1 (2)从原点 引一条射线分别交曲线 和直线 于 两点，求  的最大值． O C l M,N |OM |2 |ON |2 x2tcos, 3．面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t为参数， ），曲线 的参数方 xOy C ytsin, 0π C 1 2x1sin2, 程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系.  y2sincos,  O x (1)求曲线C 的极坐标方程； 2 (2)若点P2,0 ，直线C 与曲线C x0 交于A，B两点，且 PA 2 PB ，求直线C 的普通方程． 1 2 1  2sin2 x1 ,  cos2sin2 4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极  2sincos y  cos2sin2 π 点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 R. l 6 (1)求C的普通方程与l的直角坐标方程； (2)求l与C交点的极坐标.  1 x 5．在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为 ，曲线C的参数方程为 cos（α为参 2x 2y10  ytan数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程； 1 1 1 (2)设直线ykxk 0与曲线C相交于点A，B，与直线l相交于点C，求 |OA|2  |OB|2  |OC|2 的最大值． xcossin 6．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以O为极点，x轴的 xOy ycossin   π 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos  3．  6 (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；  (2)P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若APB ，求点P横坐标的取值范围． 3 7．（2023年河南省信息押题卷理科数学试题）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为（ 为参数），以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ， 相交于 ， 两点，曲线 经过变换 后得到曲线 . (1)求曲线 的普通方程和线段 的长度； (2)设点 是曲线 上的一个动点，求 的面积的最大值. 8．（2023年江西省质量检测理科数学试题）如图，在极坐标系 中，圆 的半径为 ，半径均为 的两 个半圆弧 所在圆的圆心分别为 ， ， 是半圆弧 上的一个动点， 是半圆弧 上的一个动点. (1)若 ，求点 的极坐标； (2)若点 是射线 与圆 的交点，求 面积的取值范围.9．（2023年新疆维吾尔自治区适应性检测理科数学试题）已知曲线 的参数方程为 （t为参 数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求 ， 在直角坐标系下的普通方程； (2)设M是 上的任意一点，求M到 的距离最大时M的坐标． 10．（2023年陕西省二轮复习联考（一）文科数学试题）在平面直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t为参数， ），曲线 的参数方程为 （β为参数），以坐标 原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线 的极坐标方程； (2)若点 ，直线 与曲线 所在抛物线交于A，B两点，且 ，求直线 的普通方程．11．在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐 标方程为 ，直线l的参数方程为 （t为参数）． (1)若直线 平行于直线l，且与曲线C只有一个公共点，求直线 的方程； (2)若直线l与曲线C交于两点P，Q，求线段 的长度. 12．（2023年宁夏回族自治区二模文科数学试题）在直角坐标系 中，曲线 ： 经过伸缩变 换 后得到曲线 ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为： ． (1)写出曲线 的参数方程和直线 的直角坐标方程； (2)若点 在曲线 上，求点 到直线 距离的最小值以及此时点 的坐标．13．（2023年甘肃省一模理科数学试题）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为 参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)若直线 与 轴的交点为 ，与曲线 的交点为 ， ，求 的值. 14．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 为曲线 上的动点，点 满足 ，点 轨迹为曲线 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极 坐标方程为 (1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； (2)设直线 与曲线 的交点为 、 ，求 面积的最大值.15．（2023年河南省模拟文科数学试题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ， 为参数）．直线 的参数方程为 （ 为参数）． (1)求曲线 和直线 的普通方程； (2)直线 与曲线 相交于不同的两点 ， ， ，过 且与直线 平行的直线 ，与 相交于 ， 两点，求 的值． 16．（2023年江西省一模数学（理）试题）数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线 E： （如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，当 时， (1)求E的极坐标方程； (2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的面积的最大值.17．（2023年河南省三模文科数学试题）直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为 参数），曲线 的参数方程为 （t为参数， ），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系． (1)写出 、 的极坐标系方程，并说明曲线 、 是哪种曲线？ (2)直线 的极坐标方程为 ， 满足 时， 、 的交点在 上，求此时a的值． 18．（2024届宁夏回族自治区模拟数学（文）试题）如图，在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 极轴所在的直线为 轴建立极坐标系，曲线 是经过极点且圆心在极轴上的直径为 的圆，曲线 是著名 的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为 ． (1)求曲线 的极坐标方程，并求曲线 和曲线 的交点（异于极点）的极径； (2)若曲线 的参数方程为 （ 为参数），且曲线 和曲线 相交于除极点以外的 、 两点， 求线段 的长度．19．（2023年四川省全真模拟考试（一）文科数学试题）在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的 非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)已知点P的极坐标为 ，直线l与曲线 相交于E，F两点，直线l与曲线 相交于A，B两点，且 ，求实数m的值． 【真题感知】1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知点 ，直线 （t为参数）， 为 的 倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且 ． (1)求 ； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ： （ 为参数， ）. (1)写出 的直角坐标方程； (2)若直线 既与 没有公共点，也与 没有公共点，求 的取值范围. 3．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）． (1)写出 的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标． 4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ， （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ． (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出Р的轨迹 的参数方程， 并判断C与 是否有公共点． 6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为1． （1）写出 的一个参数方程; （2）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线 的极坐标方程．