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微专题 01 三角形中的倒角模型
题型 1 A 字模型及其扩展A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型
图例
结论
1．（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶
点均为格点，则 的度数为________； 度数为_______．
【答案】 /90度 /45度
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点，
首先证明出 ，得到 ，然后等量代换得到 ，即可
求出 ；然后由 得到 ．
【详解】解：如图所示，
∵由网格特点得， ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
故答案为： ， ．
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，
是 的外角 的平分线， 是 的外角 的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的
判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得 ，
则有 ，然后可得 ，进而根据等腰三角形的判定及角的关系可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的外角 的平分线， ，
∴ ，由于题干并未给出 ，所以无法得到 ，也就无法得到 ；
故选D．
3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图， 中， 平分 ，点 在 上， ，若要
求 的度数，则只需知道（ ）
A． 的度数 B． 的度数 C． 的度数 D． 的度数
【答案】B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和
性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
在 上截取 ，连接 ，设 ， ，证明 和 全等得
， ，则 ， ，由三角形外角性质得
，则 ，进而得 ，由此得
，据此即可得出答案．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，如图所示：
设 ， ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，， ，
，
，
，
是 的外角，
，
，
在 中， ，
，
，
即 ，
要求 的度数，则只需知道 的度数即可．
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在 中， ，点 在 上，作 于点 ，
将 绕点 逆时针旋转至 ，点 ， 分别落在 ， 上．若 ， ，则
______．
【答案】
【分析】根据将 绕点 逆时针旋转至 ， ，可得 ， ，
，即得 ，证明 ，可得 ，故
，而 ，故： ，可解得 ．
【详解】将 绕点 逆时针旋转至 ．
， ，
根据勾股定理可得：
在 和 中，
，
根据平行线分线段对应成比例可知：
即：
解得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、平行线分线段对应成比例、勾
股定理等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
题型 2 8 字模型及其扩展
8字模型 8字模型扩展：角平分线模型图例
结论
1．（24-25八年级上·吉林·月考）如图， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的平分
线， ， 相交于点 ．直接写出 与 ， 之间的数量关系．（需写出证明过程）
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关
知识．由角平分线的定义可得： ， ，根据三角形的外角性质可得：
， ，即可求解．
【详解】 ，证明如下：
， 分别是 ， 的平分线，
， ，
由题意得： ， ，
，
又 ， ，
，
．
2．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1， 交于 点，根据“三角形内角和是 ”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①
（对顶角相等）；② ．
【提出问题】分别作出 和 的平分线，两条角平分线交于点 ，如图2， 与 ，
之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知 的平分线与 的平分线交
于点 ．
(1)如图2， ， ，则 的度数是多少呢？
易证 ，
请你完成后续的推理过程：
______
， 分别是 ， 的平分线
，
______
又 ，
______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出 与 ， 之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3， 的平分线 与 的平分线 交于点 ．
已知： ， ， 则 ______．（用 、 表示）
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键．
（1）由题意易得 ， ，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进
行化简，最后将 、 代入计算即可；
（2）利用（1）的相关结论即可解答；
（3）如图3，延长 交 于点F，由三角形外角的性质，可得 ，又由角
平分线的性质可得 ，再代入
进行化简可得 ,最后将 、 代入即可解答．
【详解】（1）解：如图2，∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
故答案为： ， ， ；
（2）解：由（1）可得 ，即
故答案为 ；
（3）解：如图3，延长 交 于F，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ,∴ ，
∵ ，
∴
，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
3．（24-25七年级下·吉林·期末）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第 章平面图形的认识 二 第
页第 题如下：如图 ， ，点 、 分别在 、 上运动 不与点 重合 ， 是
的平分线， 的反向延长线交 的平分线于点 ．
【特殊探究】当 时， ______ ；
【推理论证】随着点 、 的运动， 的大小会变吗？如果不会，求 的度数；如果会，请
说明理由；
【拓展探究 】如图 ，在图 的基础上分别作 与 的平分线，交于点 ，则
______ ；
【拓展探究 】如图 ，若将图 中的“ ”拓展为一般情况，即 ，点 是射线
反向延长线上的一个动点，连接 ， 与 的平分线相交于点 ，延长 交直线
于点 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】特殊探究： ；推理论证： ；拓展探究 ： ；拓展探究 ： ，详见解析
【分析】特殊探究：由三角形的外角性质得 ，再由角平分线定义得
， ，然后由三角形的外角性质即可得出结论；推理论证：由三角形的外角性质得 ，再由角平分线定义得 ，
，则 ，然后由三角形的外角性质得 ，
即可得出结论；
拓展探究 ：由角平分线定义得 ， ， ，
，则 ，再由【推理论证】可知， ，然后由三角形的外角
性质得 ，即可解决问题；
拓展探究 ：由角平分线定义得 ， ，再由三角形的外角性质得
，进而得 ，然后证明 ，即可得出结
论．
【详解】解：特殊探究： ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
又 ，
，
故答案为： ；
推理论证： 的大小不会变， ，理由如下：
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，，
即 的大小不会变， ；
拓展探究 ：如图 ，设 与 交于点 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
由推理论证可知， ，
，
，
，
故答案为： ；
拓展探究 ： ，理由如下：平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
，
，
，
与 的平分线相交于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知
识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型．
题型 3 飞镖模型及其扩展
飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型图例
平分 ， 平分
结论
1．（23-24七年级下·河南南阳·月考）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
(1)已知：如图，在 中， 和 的平分线相交于点P，试探究 和 的关系．请在以
下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长 交 于点D．
， （__________），
．
和 的平分线相交于点P，
， （角平分线定义），
．
（__________），
（等式的性质），
__________．
(2)如图，在 中， 的平分线和外角 的平分线相交于点P，试探究 和 的关系，
并说明理由．(3)如图， 的外角 的平分线和 的平分线相交于点P，若 ，则 的度数为
__________．
【答案】(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是 ；
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握角
平分线的定义和三角形的内角和定理；
（1） 根据提供的信息， ， ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和， ，在同一个三角形内，属于三角形内角和定理，然后根据等
式的性质整理即可得到结论；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得 ， ，
再利用角平分线得定义得 ， ，
，然后整理即可得到 和 的关系的关系；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 ，
，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：延长 交 于点D．
， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
和 的平分线相交于点P，
， （角平分线定义），．
（三角形的内角和是 ），
（等式的性质），
．
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是 ； ；
（2）解： ， ，
的外角 的平分线和 的平分线相交于点P，
， ，
，
，
（3） ，
，
， ，
的外角 的平分线和 的平分线相交于点P，
， ，
．
故答案为：
2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图， 是 内一点，延长 交 于点 ，连接 ．
(1) 的大小关系是：_ _ _；
(2)若 ，嘉嘉想求 的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．
思路一
思路二
先利用三角形内角和
先利用三角形外角性
求出 的
质求出 的度数，再
度数，再利用三角形
利用三角形外角性质
内角和求出 的度
求出 的度数．
数．
【答案】(1)
(2)选择思路一或思路二，
【分析】本题考查三角形中比较角的大小、求角度等知识，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质
是解决问题的关键．
（1）由三角形外角性质逐个比较即可得到答案；
（2）选择思路一，由三角形内角和定理求解即可得到答案；选择思路二，由三角形外角性质求解即可
得到答案．
【详解】（1）解： 是 的一个外角，
，
则 ；
是 的一个外角，
，
则 ；
，
故答案为： ；
（2）解：选择思路一：在 中， ，则 ，
，
，
在 中， ；
选择思路二： 是 的一个外角，
，
是 的一个外角，
．3．（24-25八年级上·四川南充·期末）直线 ，垂足为点O，点A、B分别在射线 、 上运动，
点A、B均不与点O重合．
(1)如图1， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 的反向延长线交射线 于点D．在A、B两点运动的
过程中， 的度数是否发生变化?若不变，试求 的度数；若变化，请说明变化规律．
(3)如图3，已知点E在 的延长线上， 的角平分线 、 的角平分线 与 的角平
分线所在的直线分别相交于的点F、G，在 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出
的度数．
【答案】(1)
(2) 的度数不变，
(3) 或
【分析】本题考查了垂直、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质等知识，熟练掌
握三角形的内角和定理是解题关键．
（1）先根据三角形的内角和定理求出 ，再根据角平分线的定义可得 ，
，然后根据三角形的内角和定理求解即可得；
（2）先根据垂直的定义可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，
，然后根据三角形的外角性质求解即可得；
（3）先根据垂直的定义可得 ，根据角平分线的定义可得 ，从而可得
，再根据角平分线的定义可得 ， ，从而可得 ，
然后分四种情况：① ，② ，③ 和④ ，求出 的度数，根据三角形的外角性质求出 ，根据角平分线的定义可得 的度数，由此即可得．
【详解】（1）解：∵直线 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解： 的度数不变，求解过程如下：
∵直线 ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（3）解：∵直线 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线， 是 的角平分线，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
①当 时，则 ，符合题意，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，则 ，
∴ ，不符合题意，舍去；
③当 时，
∵ ，
∴ ，不符合题意，舍去；
④当 时，
∵ ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的度数为 或 ．
题型 4 双垂直模型
双垂直模型
图例
结论1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在 中， ， ， ， ，
垂足分别为D、E．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等
角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键．
（1）根据图形发现要证相等的两条线段 和 分别在 与 中，而这两个三角形已经有一
组边 ，还有一组角 ，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以
利用同角的余角相等再找一组角 ，证全等从而证线段相等．
（2）利用全等三角形的对应边相等，先求出 的长度，从而得到 的长度．
【详解】（1）证明： ，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
．
（2）解： ， ，
由（1）可知 ，
又 ，
．2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角 中， ， ， 为直
线 上任意一点，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得线段 ，连接 ．
尝试发现：
（1）如图1，当点 在线段 上时，求线段 与 的数量关系；
类比探究：
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，线段 与 是否存在（1）中的数量关系？如果存在，
写出 与 的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由；
拓展探究：
（3）若 ， ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）存在 ；理由见解析；（3） 或
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是
解题的关键．
（1）过点 作 延长线于点 ，利用一线三垂直全等模型证明 ，再证明
即可；
（2）过点 作 交 于点 ，同（1）中方法证明 ，再证明 即可；
（3）分两种情况讨论：过点 作 延长线于点 ，求出 ， 即可．
【详解】解：（1）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
由旋转得 ， ，
，
，，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
（2）存在 ，
理由如下：如图，过点 作 交 于点 ，
由旋转得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；（3）如图，当 在 的延长线上（点 在点 的右侧）时，过点 作 于点 ，连接 ，
由（2）得 ， ，
，
；
当 在 的延长线上（点 在点 的左侧）时，过点 作 于点 ，如图，连接 ，
同理可得： ，
， ，
，
；
综上： 或 ．
3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造
图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在 中， 平分 交 于点 ， ，点 在边 上，且 ，
连接 ，试说明： ．【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次
推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在 中，
米，校学生会在边 、 上分别取点 、 ，使得点 为 的中点， 于点 ，
在线段 上找点 ，使得 米， 为等腰直角三角形， ，并沿其三条边搭建安
全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道 的长，请你帮助校学
生会计算出 的长．
【答案】（1）见解析；（2） 米．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌
握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键．
（1）先证明 ，得出 ，从而证得 ，所以 ，即可
得出结论；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据等腰 的性质证明 ，再
根据倍长中线证明 ，最后通过等量代换求解即可．
【详解】解：（1）∵ 平分 ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，如图2所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 米，
∴ （米），
∴ 米，
∵ 米，
∴ （米）．
4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型建立】
（1）如图1， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ，进
而得到 __________， _________，我们把这个数学模型称为“K字”模型
【模型应用】
（2）在 中， ，将边 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 并延长交边 的延
长线于点F，若 ，则 的长为_________；
【模型拓展】
（3）如图3，在矩形 中， ，当点P在直线 上运动，（点P不与点D、C重
合），将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，当 的面积等于5时，请直接写出的长。
【答案】（1） （2） （3） 或5或2或
【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解．
（2）过点D作 ，设 长度为x，先证 ，用含x的式子将
表示出来，再证 ，根据 列方程，即可求解．
（3）设 ，根据点P在直线 上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作 的平
行线，交 于点H，交 于点G，证 ，用含y的式子将 表示出来，再根据
列方程，即可求解．
【详解】（1）解： ，
．
（2）如图，过点D作 ，设 长度为x，
由旋转可知 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得 或 （不合题意，舍去），
故 长度为 ．
（3）设 ，根据点P在直线 上的不同位置分为四种情况，
①如图，当点P在点D左侧且点Q在 上方时 ，过点Q作 的平行线，交 于点H，交
于点G，
根据题意可知四边形 为矩形，
，
根据旋转可知 ，
，
又 ，
，
，
，
故 ，解得 ， （不合题意舍去）；
②如图，当点P在点D左侧且点Q在 下方时 ，过点Q作 的平行线，交 于点H，
交 于点G，
根据题意可知四边形 为矩形，
，
根据旋转可知 ，
，
又 ，
，
，
，
故 ，
解得 ， （不合题意舍去）；
③如图，当点P在点 两点之间时 ，过点Q作 的平行线，交 于点H，交 于点
G，根据题意可知四边形 为矩形，
，
根据旋转可知 ，
，
又 ，
，
，
，
故 ，
解得 ， （不合题意舍去）；
④如图，当点P在点C右侧时 ，过点Q作 的平行线，交 于点H，交 于点G，
根据题意可知四边形 为矩形，
，根据旋转可知 ，
，
又 ，
，
，
，
故 ，
解得 ， （不合题意舍去）；
综上所述， 的长度为 或5或2或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的动点问题，
旋转的性质，掌握相关知识点并做适当的辅助线构造全等是解题的关键．
题型 5 高分线模型
高分模型
图例
平分
结论
1．（24-25七年级下·四川内江·月考）如图，在 中，AE是 的高．(1)如图1，若 ， ，AD是 的平分线，求 的度数；
(2)如图1，若 ，AD是 的平分线，则 =___________．（用含 的代数式表
示）
(3)如图2，延长AC到点F， 和 的平分线交于点G，求 的度数．
【答案】(1) 的度数为 ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 ，利用角平分线求出 ，再根据三角形内角和
定理求出 ，代入 求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，利用角平分线求出 ，再根据三角形内角和定理求出
，代入 求出即可；
（3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解 ，根据三角形的高线可求解 的
度数．
【详解】（1）解： ∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故 的度数为 ；
（2）解：由题意得 ，∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ；
（3）解：∵ 和 的平分线交于点G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数为 ．
【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形
高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角
形有关的角的知识是解题的关键．
2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在 中， ， 分别是它的高和角平分线，设 ，
．(1)如图1，求证： ．
(2)如图2， 是 的外角 的平分线，交 的延长线于点E，且 ，求 的
度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相
关定义是解题的关键．
（1）先根据三角形内角和求出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据高线的定义即
可求出 ，最后根据角的和差即可得出答案；
（2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出 ，根据高线和三角形内角和定理
得出 ，然后根据角的和差即可得出答案．
【详解】（1）证明：在 中，由三角形内角和定理，得 ．
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是高线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 是 的平分线， ， ，
∴ ，
∵ 是高线，∴ ，
∵ ，
∴ ．
3．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力
如图①所示，在 中， 是高， 是 的平分线， ．
(1)求 的度数．
(2)当 是 的外角 的平分线时，如图②所示， 的度数是多少？设
，用含 的式子表示出结果，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方
法分别求 的度数和 的度数．
（1）由 的度数利用三角形内角和定理即可求出 的度数，再根据角平分线的定义
即可求出 的度数，由 的度数利用三角形内角和定理即可求出 的度数，再
根据 代入数据即可得出结论；
（2）同（1）的过程找出 和 的度数，二者相加即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
，
又 是 的平分线，
．
，
∴ ，
，
．（2）解： ．理由如下：
．
平分 ，
．
，
，
4．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图， 中， 、 分别是 的高和角平分线， 是
的平分线， 与 交于 ，若 ， ．
(1)求 的度数；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的角平分线与高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．
（1）先由三角形的内角和定理求出 ，再根据角平分线求出
，根据三角形的高得到 ，从而在 中求出 ，进而根据
角的和差即可解答；
（2）根据角平分线求出 ， ，根据三角形外角的性质即可
求解．
【详解】（1）解： ， ，，
是 的角平分线，
，
是 的高，
，
，
．
（2）解： 是 的平分线， ，
，
是 的角平分线， ，
，
．
题型 6 双内角平分线模型
双内角平分线型
图例
平分 ， 平分
结论
1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）【探究】如图①，在 中， 的平分线与 的
平分线相交于点 ．
（1）若 ， ，则 _____度， _____度；（2） 与 的数量关系为_____，并说明理由；
【应用】如图②，在 中， 的平分线与 的平分线相交于P， 的外角平分线与
的外角平分线相交于点 直接写出 与 的数量关系为__________．
【答案】探究：（1） ， ；（2） ；应用：
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三
角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．
探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由角平分线定义得 ，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
应用：由角平分线定义可得 ，
，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ 的平分线与 的平分线相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2） ．理由如下：∵ 的平分线与 的平分线相交于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
应用：解： ．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与 的外角平分线相交于点 ，
∴ ，
∴ 中，
又∵
，
∴
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·吉林·月考）【问题再现】
（1）如图①，在 中， 、 的平分线交于点 ，若 ，则 _度，若
，则 _度，直接写出 与 的关系式_（用含有 的式子表示 ）
【问题推广】
（2）如图②，在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点 ，若
，求 的度数；
（3）如图③，在 中， 、 的平分线交于点 ，将 沿 折叠，使得点 与点
重合，若 ，则 _度．【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质，折叠的性质，掌握以上知
识，图形几何分析，构造合理的辅助线是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理可得 ，根据角平分线的性质可得
，在 中，根据三角形内角和定理可得
，由此可得 ，代入计算即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质，角平分线的性质可得 ，由此可
得 ；
（3）根据上述计算可得 ，根据折叠的性质可得
，根据平角的性质可得
，由此可得 ，结合三角形内角和定理可得
，由此即可求解．
【详解】解：（1）在 中， ，
∴ ，
∵ 的角平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴
∴
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ， ；
（2）∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ 的平分线交于点 ，
∴由（1）可得， ，
∵将 沿 折叠，使得点 与点 重合，∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）（1）如图 ，在 中， 的平分线 与 的平分
线 交于点O，求证： ；
（2）如图 ，在 中，E是边 延长线上一点， 的平分线 与 的平分线 交
于点O，求证： ；
（3）如图 ，在 中，D是边 延长线上一点，E是边 延长线上一点， 的平分线
与 的平分线 交于点O．试探求 与 的数量关系并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ，见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得 ， ，然后表示出 ，再
根据三角形的内角和等于 ，列式整理即可解决问题；
（2）根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形
的外角性质得出 ，列式整理即可解决问题；
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得 ，
，再根据三角形内角和的性质得出 ，进而可得出
．
【详解】（1）证明： 与 的平分线相交于点O，
， ，
，
在 中，
．
（2）证明： 的平分线 与 的平分线 相交于点O，
， ，．
（3）解： ，理由如下：
如图，
、 分别是 的外角 、 的角平分线，
， ，
，
又 ，
．
题型 7 双外角平分线模型
双外角平分线型
图例
平分 ， 平分
结论1．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在 中， 的平分线与外角 的平分线的反向
延长线相交于点E．
（1）若 ，则 _________．
（2）若外角 的平分线与 的平分线相交于点F，且 ，则 _________．
【答案】 /35度 /45度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义．
（1）由角平分线的定义可得 ， ，由三角形外角的性质可得
， ，等量代换可得答案；
（2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得 ，同（1）可得
， ，再根据 ，通过等量代换即可求解．
【详解】解： （1） 平分 ， 平分 ，
， ，
是 的外角， 是 的外角，
， ，
，
；
（2） 平分 ， 是 的外角，
，
由（1）得 ，，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
2．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在 中， ，点D，E分别在 的延长线上，
的平分线与 的平分线交于点M，作射线 ，有下列结论：① ；②
；③射线 是 的平分线；④ ，则其中正确的有____________．
（填序号）
【答案】①③④
【分析】由角平分线的定义可知 ．再根据三角形外角的性质得出
，即可确定 ，故①正确；过点M作 于点F，
于点G， 于点H，由角平分线的性质定理可得出 ．即易证
，得出 ，即说明射线 是 的角平分线，故③正确；
利用反证法，假设 ，易证 ，即得出 ．由 ，可知
，即说明 不成立，故②错误；由 ，即得出
．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．
【详解】解：∵ 为 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
如图，过点M作 于点F， 于点G， 于点H，
∵ 为 的平分线， 为 的平分线，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即射线 是 的角平分线，故③正确；
假设 ，
∴ ．
∵ 为 的平分线， 是 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴假设不成立，故②错误；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴，
∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的
性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题
关键．
题型 8 内外角平分线模型
内外角平分线型
图例
平分 ， 平分
结论
1．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，已知 是 的外角， 的平分线与
的平分线相交于点 ，得 ；若 的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ，…，的平分线与 的平分线相交于点 ，得 ， _____ (用含α的式子表
示)．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形外角的性质可得
，再由角平分线的定义可得
，据此可推出 ，则可总结规律 ，据此
可得答案．
【详解】解：由三角形外角的性质可得 ，
∵ 的平分线与 的平分线相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
……，以此类推可知， （n为正整数），
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究
提出问题：
小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在 中， 的平分线与外角 的平分线交于
点 ．试猜想 与 之间的数量关系．
解决问题：
（1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入 的特殊角度，然后根据结果
猜想 与 之间的数量关系．
①若 ，则 ________ ；若 ，则 ________ ；
②通过上面的计算，请猜测 与 之间的数量关系，并说明理由；
应用拓展：
（2）如图2，将 改成四边形 ， 的平分线及一个外角 的平分线相交于点F．
若 ，求 的度数；
深入探究：
（3）如图3，在 中， 的平分线与外角 的平分线交于点 ．若E是 延长线上一
动点，连接 ， 与 的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出 与 之
间的数量关系．【答案】（1）①30，45；② ，见解析；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）①根据角平分线的定义得到 ，再由三角形外角的性质得到
， ，由此即可解答；②由①即可解答；
（2）根据角平分线的定义 ，根据三角形外角的性质得到
，利用四边形内角和定理得到 ，则 ，
由此即可求出 ；
（3）同理可得 ， ，利用三角形内角和定理得到
，再由三角形外角的性质得到 ，即可得到
，由此即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
故答案为： ， ；
②由①得 ；
故答案为： ；
（2） 的平分线及一个外角 的平分线相交于点 ，
， ．
，
．
，
．
，
．
．
；
（3） ，理由如下：
同（1）可得 ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
