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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题02 多项式乘多项式压轴题五种模型
【类型一 计算多项式乘多项式问题】
例1．（2021·上海闵行·七年级期中）计算：
(1) ； (2)
【变式训练1】（2022·重庆·一模）计算题
(1) ； (2)
【变式训练2】（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1） ； （2）
【变式训练3】（2021·全国·八年级专题练习）计算：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【类型二 多项式乘多项式——化简求值问题】
例2．（2021·山东菏泽·七年级期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式训练1】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中
x＝﹣2．
【变式训练2】（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：，其中 ， ．
【变式训练3】（2021·浙江·七年级期末）（1）化简： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【类型三 已知多项式乘积不含某项求字母参数问题】
例3．（2022·重庆·八年级期末）若 的结果中不含 的一次项，则 的值为______．
【变式训练1】（2022·吉林长春·八年级期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m
的值为 _____．
【变式训练2】（2022·重庆一中七年级期末）如果 展开后不含 项，那么 __________．
【变式训练3】（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）（1）试说明代数式
的值与 、 的值取值有无关系；
（2）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【类型四 多项式乘多项式与图形面积问题】
例4．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算
它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长
为c、b的长方形纸片．请解答下列问题：（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝ ；
（2）请写出图3中所表示的数学等式： ；
（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）
（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝ ．
（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b＝ ，求2a+b的值．
【变式训练1】（2021·湖南长沙·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得
到一个数学等式，例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ，求 的值．
（3）小明同学用图 中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形 张边长分别为 的长方形纸片拼
出一个面积为 长方形，求 的值．
【变式训练2】（2021·河南南阳·八年级阶段练习）老师出了一道题，让学生计算（a＋b）（p＋q）的值．
（1）填空：小聪发现这是道“多×多”的问题，直接利用多项式的乘法法则计算即可，（a＋b）（p＋q）
＝ ；
小明观察这个式子后，发现可以把这个式了看成长为（a＋b），宽为（p＋q）的长方形，式子的结果就是
长方形的面积；如图，通过分别大长方形为四个小长方形，就可以用四个小长方形的面积表达这个大长方
形的面积_______．比较大长方形和四个小长方形的面积我们可以得到等式：_______．
（2）请你类比上面的做法，通过画出符合题意得图形，利用分割面积的方法计算（a＋b）（a＋2b）．
【类型五 多项式乘多项式与规律探究问题】
例5．（2020·福建·石狮市中英文实验学校八年级阶段练习）探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：
．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4） B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
【变式训练1】（2022·江苏·七年级专题练习）观察下列各式：
……
（1）根据以上规律， ______；
（2）你能否由此归纳出一般规律： ______；
（3）根据以上规律求 的结果．【变式训练2】（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算
法》中提出右表，此表揭示了 （ 为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，
杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示
了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．
例如：规定：
那么， ，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据以上规律， 展开式共有________项，系数分别为________……
根据以上规律，写出 的展开式： =________
【变式训练3】（2021·山西省灵石县教育局教学研究室八年级期中）（1）探究发现：
小明计算下面几个题目
① ；② ；③ ；④
后发现，形如 的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：
（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算 ，发现这个规律是正确的．小明记得学
习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右
面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了
因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式： .
【专项训练】
一、选择题
1．（2022·福建·泉州五中八年级期末）若 的结果中不含 项，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．-2
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）若 ， 则 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2022·北京东城·八年级期末）若 的运算结果中不含 项和常数项，则m，n的值分
别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
4．（2022·全国·七年级）将关于x的多项式 +2x+3与2x+b相乘，若积中不出现一次项，则b＝_____．5．（2022·八年级期末）图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________．
6．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）对a，b，c，d定义一种新运算： ，如
，计算 _________．
三、解答题
7．（2021·全国·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
8．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学八年级期中）先化简，再求值： ，其中
．
9．（2022·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值： ，其中 ，10．（2021·重庆实验外国语学校七年级期末）先化简，再求值：ab [（2a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣
b）]，其中a、b满足：（a+2）2+|b﹣1|＝0．
11．（2021·四川·达州市第一中学校七年级期末）（1）先化简，再求值： ，
其中x＝-1，y＝2．
（2）已知A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，且A﹣2B的值与x的取值无关，求5a﹣1的值．
12．（2021·全国·七年级期末）若 的积中不含x项与 项
（1）求p、q的值；
（2）求代数式 的值
13.（2021·河南·八年级阶段练习）已知将 展开的结果不含 和 项，（m、n为常
数）
（1）求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，求 的值．（先化简，再求值）14．（2021·上海奉贤·七年级期中）小红准备完成题目：计算（x2 x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式
的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一
次项系数是多少？
15．（2021·江苏盐城·七年级期中）小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣3），由于他抄错了多项
式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx+12
（1）求a，b的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
16．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 = ，如 = ．
（1）若 =4，求 的值；
（2）若 的值与x无关，求nm值．
17．（2022·北京八中八年级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项
式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为________；
(2)求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，-4，4）的特征多项式的乘积；
(3)若有序实数对（p，q，-1）的特征多项式与有序实数对（m，n，-2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3-10x2-x+2，直接写出（4p-2q-1）（2m-n-1）的值为________．
18．（2021·北京·101中学八年级期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以
含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式 ，
代数式的值与x的取值无关， ，解得 ．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知 ， ，且 的值与x的取值无关，求m的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中
未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S，左下角的面积为S，当AB的长变化时，
1 2
的值始终保持不变，求a与b的等量关系．19．（2021·江西抚州·八年级期中）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现：
……
(1)启航小组提出的问题是：试求 的值，请你合理推算；
(2)展翅小组提出的问题是：判断 的值的末位数是几，请你写出推断过程；
(3)创新小组提出的问题是：计算 ，请你认真思考并写出解题过程．
20．（2022·江西宜春·八年级期末）观察下列各式：
；
；
；
……
根据这一规律计算：
(1) ______； ______；
(2) ．
21．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
22．（2022·福建·厦门市逸夫中学八年级期末）阅读材料一： 可以展开成一个有规律的多项式：
；
；
；
；
……
阅读材料二：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对
展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中
第二行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中的系数，
(1)结合两个材料，写出 的展开式：(2)多项式 的展开式是一个_____次_____项式？并预测第三项的系数是_____；
(3)请你猜想多项式 取正整数）的展开式的各项系数之和，并进行合理说明（结果用含字母 的代
数式表示）；
(4)利用材料中的规律计算： （不用材料中的规律计算不给分）．
23．（2021·重庆市第二十九中学校八年级期中）阅读材料：小明遇到这样一个问题：求计算
所得多项式的一次项系数．
小明想通过计算 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是
否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用 中的一次项x系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中
的一次项x系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数．可以先用 的一次项x系数1，
的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项x系数2， 的常数项2，
的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项x系数3， 的常数项2， 的常数项3，相
乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算 所得多项式的一次项系数为_______________．
（2）计算 所得多项式的一次项系数为_______________．（3）若计算 所得多项式的一次项系数为－2，求a的值．
（4）若 是 的一个因式，求 的值．
