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小专题03 规律点坐标、面积问题
考点1：规律点坐标
题型一：单动点的规律问题
例1．正方形ABC O，ABC C ，ABC C ，…按如图所示的方式放置，点A，A，A，…和点C ，C ，
1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 2 1 2 3 1 2
C ，…分别在直线y＝x+1和x轴上，已知点B（1，1），B（3，2），则B 的坐标是（ ）
3 1 2 n
A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1） C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）
【答案】D
【分析】由 的规律写出 的坐标．
【详解】∵点B 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（3，2），∴点B 的坐标为（7，4），
1 2 3
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．则B 的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．故选：D．
n
【点睛】本题考查点的坐标规律探索，观察图形前面某些点的坐标，找出规律后再写出图形一般点的坐标．
【练习1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，
依次得到点 ； ； ； ； ； ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】由 、 、 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为 ，纵坐标为0，据此可解．【详解】解：由 、 、 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为 ，纵坐标为0，
， 则点 的坐标是 ． 故答案为 ．
【点睛】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等
偏上．
【练习2】在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下
→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A，第二
1
次移动到点A，第n次移动到点A，则点A 的坐标是（ ）
2 n 2020
A．(1010，0) B．(1010，1) C．(1009，0) D．(1009，1)
【答案】A
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 的坐标．
2020
【详解】A（0，1），A（1，1），A（1，0），A（2，0），A（2，1），A（3，1），…，2020÷4＝
1 2 3 4 5 6
505，
所以A 的坐标为（505×2，0），则A 的坐标是（1010，0）．故选：A．
2020 2020
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
题型二：图形中的动点规律问题
例2．如图，在平面直角坐标系中， ，点 、 、 、 在 轴上，点 、 、
… 在射线 上， 、 、 ……均为等边三角形,若 点坐标是 ,那么 点
坐标是（ ）
A．(6，0) B．(12，0) C．(16，0) D．(32，0)
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得出 ，然后利用三角形外角的性质得出，从而有 ，然后进行计算即可．
【详解】∵ ， ，…， 均为等边三角形， ．
， ， ， ．
∵ 点坐标是 ， ， ，
同理， ，∴ 点坐标是 ． 故选：D．
【点睛】本题主要考查点的坐标的规律，掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
【练习3】如图，在平面直角坐标系中，点 都在 轴上，点 在直线 上，
，都是等腰直角三角形，如果 ，则点
坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线y=x及 ，求出点 、 的坐标，由此得到规律即可求出答案.
【详解】∵ ，∴ （1,0），∵ 是等腰直角三角形，∴ =1，∴ （1,1），
∵ 是等腰直角三角形，∴ =1， = ，∵ 是等腰直角三角形，∴ =2，
∴ （2,2），同理可得： （ ， ）， （23,23）， ，B （2n-1,2n-1），
n
∴点 的坐标是（22018,22018），故选：B.
【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，直角坐标系中点的坐标规律的探究，
能根据图象得到点的坐标的变化规律并总结规律运用解题是关键.考点2：最值问题
例3．已知点 ， ， 、 两点在 轴上且 ．已知点 在 轴右侧，求 的最小值为
．
【答案】
【分析】将 沿 轴正方向平移2个单位得 ，再作 关于 轴的对称点 ，先证明四边形 为平
行四边形得 ，再由 关于 轴的对称点为 得 ，从而得 ，
再由两点距离公式求出 、 、 即可．
【详解】解：如图：将 沿 轴正方向平移2个单位得 ，再作 关于 轴的对称
点 ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
关于 轴的对称点为 ， ， ，
， ， 的坐标为 ， ，
， 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，将 沿 轴正方向平移2个单位得 ，再作 关于 轴的对称
点 ，将 转化为 是解决此题的关键．
【练习4】在平面直角坐标系中，点 ，点 为 轴上的一个动点，当 时，线段 的
长得到最小值．
【答案】3
【分析】根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：根据垂线段最短可知，当 轴时， 的值最短，此时 ，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握垂线段最短解决问题．
【练习5】如图，在直角坐标系中， 是边长为 的等边三角形，点 始终落在 轴上，点 始终落在 轴上，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 的长度，
再根据等边三角形的性质可以求出 的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得点 、 、
三点共线时， 的长度最大，然后计算即可得解．
【 详 解 】 解 ： 如 图 ， 取 的 中 点 ， 连 接 、 ， 则
，
，在 中， ，
所以，当点 、 、 三点共线时， 的长度最大，
最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，以及三角形的
三边关系，作出辅助线构造出三角形是解题的关键．
考点3:直角坐标系中三角形面积问题
题型一：利用点的坐标求三角形的面积
例4．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B(4，2)，C(3，5)，请回答下列
问题：
（1）写出 关于x轴的对称图形 的顶点坐标．
（2）求 的面积．【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得；
（2）如图（见解析），利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得．
【详解】（1）点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数
；
（2）
则
．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化等知识点，掌握点坐标关于x轴对称的变换规律是解题关键．
【练习6】 的各顶点坐标为 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】9
【分析】作 交 的延长线于 ，根据坐标与图形性质求出线段 、的长，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作 交 的延长线于 ，
， ， ， ， ，
的面积 ，故答案为：9．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，正确描出各点的坐标、根据坐标得到线段的长度是解题的关键．
【练习7】如图，在 中， ， 两点的坐标分别为 ， ， ，则 的面积是
．
【答案】5
【分析】利用 所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解．
【详解】解： 的面积 ．故答案为5．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要是在平面直角坐标系中确定点的位置的方法和三角形的面积的
求解．
题型二：利用面积求相关点的坐标
例5．已知点 和 两点，且直线 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则点 的坐标为
．
【答案】 或
【分析】先求出 、 的长度，再利用三角形的面积列方程求出 的值，然后写出点 的坐标即可．
【详解】解： 点 ， ， ， ，
直线 与坐标轴围成的三角形的面积等于10， ，解得 ，所以，点 的坐标为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，主要利用了三角形的面积，要注意 的长度用绝对值表示．
【练习8】已知点 和点 两点，且直线 与坐标轴围成的三角形面积等于20，则 的值是
．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式得到 ，然后解绝对值方程即可得到 的值．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 或 ．
即 的值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关
系．
【练习9】已知点 ， ，点 在 轴上，若 的面积为15，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】由 、 的坐标得出 的长，设点 ，由 的面积为15知 ，解之求得
的值可得答案．
【详解】解： ， ， ， ，设点 ，
的面积为15， ，即 ，
解得： 或 ， 点 的坐标为 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，设出点 的坐标，列出关于 的方程式解题的关键．1．如图，在坐标平面内，依次作点 关于直线 的对称点 ， 关于 轴的对称点 ， 关于
轴的对称点 ； 关于直线 的对称点 ， 关于 轴的对称点 ， 关于 轴的对称点 ， ，
按照上述的变换继续作对称点 ， ， ，当 时，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质分别求出 ， ， ， ； ， ， 的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】解： ， 点 关于直线 的对称点 ， 关于 轴的对称点 ，
关于 轴的对称点 ， 关于直线 的对称点 ， 关于 轴的对称点 ，
关于 轴的对称点 ， 个数一循环． 当 时， ， ，
， ，故答案为 ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，根据各点坐标找出规律是解答此题的关键．
2．如图，在直角坐标系中， ， ，第一次将 变换成△ ， ， ；第二
次将△ 变换成△ ， ， ，第三次将△ 变换成△ ，则 的横坐标
为 ．【答案】
【分析】观察不难发现，点 系列的横坐标是2的指数次幂，指数为脚码，纵坐标都是3；点 系列的横
坐标是2的指数次幂，指数比脚码大1，纵坐标都是0，根据此规律写出即可．
【详解】解： ， ， ， ， 、 、 ， ， ，
， ， ， ， 、 、 ， ， ， ，
的横坐标为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，观察出点 、 系列的横坐标的变化规律是解题的关键，也是本题
的难点．
3．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，在 轴和 轴上分别有两点 、
，则 ， ， ， 四点组成的四边形的最小周长为 ．
【答案】
【分析】作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，交 轴于 ，则
此时，四边形 的周长最小，且四边形的最小周长 ，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，交 轴于 ，
则此时，四边形 的周长最小，且四边形的最小周长 ，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， ， ，
， ， 四边形 的最小周长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，轴对称 最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点 和点
的位置是解题的关键．
4．平面直角坐标系中，点 ， ， ，若 轴，则线段 取最小值时 的坐标为
．
【答案】
【分析】由垂线段最短可知点 时， 有最小值，从而可确定点
的坐标．
【解答】解：如图所示：由垂线段最短可知：当 时， 有最小值．
点 的坐标为 ，线段的最小值为2．故答案是： ．
【点评】本题主要考查坐标与图形性质，掌握垂线段的性质是解题的关键．
5．平面直角坐标系中， ， ，当线段 最短时，则点 的坐标是
【答案】
【分析】根据两点间的距离公式得出 ，据此知当 时， 取得最小值，从而得出
答案．
【详解】解： ，当 时， 取得最小值，此时点 坐标为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握两点间的距离公式．
6．如图，在 中， ， 两点的坐标分别为 ， ，则 的面积为 ．
【答案】3.5
【分析】三角形 的面积等于边长为2，4的矩形面积减去三个三角形的面积．
【详解】解： ；故答案为3.5．
【点睛】本题考查了坐标与图象的象征，掌握用割补法求三角形的面积是解题的关键．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，则四边形 的面积 ．
【答案】11
【分析】连接 ，根据 即可计算．
【详解】解：如图，连接 ． 点 ， ， ，
．故答案为11．【点睛】本题考查坐标与图形、三角形面积，解题的关键是学会分割法求四边形面积，属于基础题，中考
常考题型．
8．已知点 ， ，点 在 轴上，且 的面积是8，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】设点 的坐标为： ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点 的坐标为： ，由题意得， ，则 ，解得， ，
则点 的坐标为： 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
9．已知点 、 ，点 在 轴上，且 的面积是 的面积的3倍，那么点 的坐标可
以为 ．
【答案】 ， 或 ，
【分析】设点 的坐标为 ，根据三角形的面积公式结合 的面积是 的面积的3倍，即可
得出关于 含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出 值，将其代入点 坐标即可得出结论．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．设点 的坐标为 ，
， ， ， ，
的面积是 的面积的3倍， ，即 ，解得： ， ，
点 的坐标为 ， 或 ， ．故答案为： ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及三角形的面积公式，解题的关键是根据三角形面积间的关系找出
关于 的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握含绝对值符号的一元一次方程的解法是关键．
10．如图，在下面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 、 、 满足关系式
和 ；
（1）求 、 、 的值；
（2）如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点 ，使得四边形 的面积与 的面积相等？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；
（2）四边形 的面积 的面积 的面积，即可解答；
（3）存在，根据面积相等求出 的值，即可解答．
【详解】解：（1）由已知 ， 可得： ， ， ，
解得： ， ， ；
（2） ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
（3）存在， ，若 ，则 ，存在点 使 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是根据非负数的性质求出 ， ， ．
