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小专题02：分母有理化、非负性、整体思想
考点1：分母有理化
例1、已知a＝ ，b＝ ．
（1）求a2﹣b2的值； （2）求a2﹣ab+b2．
【答案】（1） （2）9
【分析】（1）先化简a＝ ，b＝ ，可以得到a+b和a-b的值，然后
根据平方差公式将所求式子变形，即可解答本题；
（2）由a＝ ，b＝ ，先求得a－b和ab的值，然后根据完全平方公
式将a2﹣ab+b2变形为(a﹣b)2+ab，即可解答本题．
【详解】解：（1）∵a＝ ，b＝ ，
∴a+b＝2 ，a﹣b＝2 ，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2 ×2 ＝ ；
（2））∵a＝ ，b＝ ，∴a﹣b＝2 ，ab＝1，
∴a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝（2 ）2+1＝8+1＝9．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
【练习1】若 ， 则 的值为( )
A．2 B．－2 C． D．2
【答案】B
【解析】∵ ， ，∴ ， ，∴ = = =a+b= + = .故选B.
【练习2】化简 结果正确的是（ ）
A．3+2 B．3- C．17+12 D．17-12
【答案】A
【解析】试题解析： = ．故选A.
【练习3】化简： ______．
【答案】
【分析】分子分母同乘以 进行分母有理化即可得．
【详解】原式 ， ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
考点2：二次根式的双重非负性
例2、（1）已知实数 满足 ，则 ．
【答案】2021
【分析】根据二次根式有意义的条件得到 的取值范围，根据 的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件得： ， ， ，
原式可化为： ， ， ， ，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题
的关键．
（2）若 、 为实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出 的值，将 的值代入原式即可求出 的值．
【详解】解：由题意可知： ， ， ， ，当 时，原式 ．
当 时，原式 ．故答案为：
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．（3）已知 ，那么 ．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出 的值，进而得出 的值，即可得出答案．
【详解】解： ， ，解得： ， ，
．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出 的值是解题关键．
考点3：运用整体思想求值
例3、（1）若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据有理数的加法法则、乘法法则得到 ， ，根据二次根式的混合运算法则把原式化简，
代入计算即可．
【详解】解： ， ， ， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（2）已知： ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先根据 、 的值计算出 、 的值，再将其代入到原式 计算
即可．
【详解】解： ， ，
，
则原式 ，故答案为： ．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
（3）计算：设 ，则代数式 的值为 ．
【答案】【分析】利用 得到 ，两边平方得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解： ， ， ，
即 ， ， ．故答案为 ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运
算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
1．实数 的整数部分 _______，小数部分 _______．
【答案】5
【分析】先化简，然后用夹逼法求解即可．
【详解】 ， ， ，
， 的整数部分为 ，小数部分为 ，
， ．故答案为：5， ．
【点睛】本题考查了分母有理化，求无理数的整数部分和小数部分，熟练掌握分母有理化是解答本题的关
键．
2．若 ， ，则 的值是________.
【答案】
【分析】先根据分母有理化进行化简，再将式子展开代入求值即可得解.
【详解】解：，故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确进行分母有理化是解题关键.
3．计算：
【答案】11+2 ；
【分析】（1）先根据负整数指数幂的运算法则、0指数幂的意义、二次根式的性质和分母有理化的方法计
算各项，再合并即可；
（2）先根据二次根式的性质化简各数，括号内合并后再去括号即得结果．
【详解】解：（1）原式=9+1+3 －（ ）=10+3 － =11+2 ；
【点睛】本题考查了负整数指数幂、0指数幂以及二次根式的性质和运算等知识，属于常考题型，熟练掌
握上述知识是解题的关键．
4．若实数 满足 ，则 ．
【答案】2019
【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知： ， ， ，
， ， ，
，
故答案为：2019．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础
题型．
5．若 ．则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式求出 ，根据题意求出 ，
计算即可．
【详解】解：由题意得， ， ， ，解得， ，则 ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、有理数的加法，掌握二次根式的被开
方数是非负数是解题的关键．
6．若 ，则 ．
【答案】4或0【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出 ，进而求出 ，计算即可．
【详解】解：由题意得： ， ，则 ，解得： ， ，
当 ， 时， ，当 ， 时， ，
故答案为：4或0．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
7．若 ，则代数式 的值为 ．
【答案】0
【分析】先变形已知条件得到 ，两边平方可得 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： ， ， ，
即 ， ， ．故答案为0．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．有时使用整
体代入的方法更简洁．
8．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质把原式化简，把 ， 代入计算，得到答案．
【详解】解： ， ， ， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质： 是解题的关键．
9．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据分母有理化把 、 化简，分别求出 、 ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即
可．
【详解】解： ， ，
， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、二次根式的乘法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
