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微专题 02 一元一次不等式（组）的解法
题型 1 基础求解
基础求解型：通过“分别求解→数轴表示→找公共部分”，确定不等式组的解集（所有题型的基础）。
分别解每个一元一次不等式（遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的顺序，注
意：系数化为1时，若系数为负，不等号方向改变）；
将每个不等式的解集表示在同一数轴上（空心圆圈表示不包含端点，实心圆点表示包含端点）；
找出数轴上解集的公共部分（即所有解集重叠的区域），即为不等式组的解集（若无公共部分，则无
解）。
1．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．
不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，系数化为1得， ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知点 关于 轴的对称点在第一象限，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了关于 轴对称的点的坐标特征，第一象限内点的坐标符号特征，先根据关于 轴对
称的点的坐标特征求出点 的对称点，再根据第一象限内的点横坐标和纵坐标是正数列出关于 的不等
式组，解不等式组即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点为 ，且该点在第一象限，
∴ ，
解得 ，
故选： ．
3．（25-26八年级上·上海·期末）不等式 的解集是______．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步
骤．
首先展开不等式右边，然后移项合并同类项，注意到系数为负，除以负数时不等式方向反转，最后再
分母有理化即可．
【详解】解：∴原不等式的解集为 ，
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·山东威海·期末）若 ， ，则 的取值范围是___________ ．
【答案】
【分析】本题考查代数式的变形与一元一次不等式的求解，解题思路是先将 用含 的式子表示，再结
合 的取值范围列不等式求解 的范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·山西太原·月考）解不等式(组)
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同
小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式 ，
移项得 ，两边同乘 得
解不等式 ，
两边同乘 得 ，
即 ，
整理得 ，
移项得 ，
所以
不等式组的解集为
（2）解：解不等式 ，
展开得 ，
移项得 ，
所以
解不等式 ，
两边同乘 得 ，
即 ，
移项得 ，
所以
不等式组的解集为
6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解：解 得： ，
解 得： ，
不等式组的解集为： ．
题型 2 数轴上表示解集
数轴上表示解集：用数轴将解集“可视化”，避免“符号混淆”（如＞与≥的区别）。
画一条水平数轴，标注原点、正方向（向右）和单位长度；
根据不等式的解集，在数轴上标记端点（如x＞a标记a，x≤b标记b）；
根据不等号方向，画出解集的区间（如x＞a向右画箭头，x≤b向左画箭头，a＜x＜b画中间线段）。
1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式，再根据解集即可
判断求解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
∴不等式的解集为 ，∴不等式的解集在数轴上表示为 ，
故选： ．
2．（2025·浙江丽水·二模）不等式 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式
的解集是解题的关键．
先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可．
【详解】解： ，
，
，
．
在数轴上表示如下：
．
故选C．
3．（25-26八年级上·浙江·月考）如图表示某个关于x的不等式的解集，若 是该不等式的一个解，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，不等式解的定义及解一元一次不等式，先分析数轴表示
的不等式，再利用“解的定义”列不等式，最后解出关于m的不等式即可．
【详解】解：由图形得： ，
∵ 是 的一个解，
∴ ，∴ ，
故选：A．
4．（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组 的解中x与y的和不大于3，则k
的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用 表示出 及熟
知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
根据所给方程组，用 表示出 ，再根据 与 的和不大于 建立关于 的不等式，据此可解决问题．
【详解】解：
得， ，
与 的和不大于 ，
，
解得 ．
在数轴上表示为： 故选：A．
5．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）解不等式 ，并把它的解表示在数轴上．
【答案】 ，把它的解表示在数轴上见详解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识，首先按照去分母，
去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后将该不等式的解表示在数轴上即可．【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
将该不等式的解表示在数轴上，如下图所示：
6．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）解不等式，将解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的
步骤是解题的关键．
先求出不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
将解集在数轴上表示如下：
（2）解：将解集在数轴上表示如下：
题型 3 整数解问题
整数解问题型：解集是连续的区间，整数解是区间内的“离散点”
按“基础求解型”的方法求出不等式组的解集；
在解集范围内找出所有整数；
根据题目要求（如“正整数解”“非负整数解”），筛选出符合条件的整数解。
1．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组 的整数解是___________．
【答案】6、7、8、9
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求
解两个不等式，得到 x 的取值范围，再找出范围内的整数解．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 6、7、8、9．
故答案为：6、7、8、9．
2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题
得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那
么小聪至多答错了___________道题；
【答案】2
【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法．
设小聪答错了 道题，则答对了 道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解 的取值范
围，并取最大整数解．
【详解】解：设小聪答错了 道题，则答对了 道题，
依题意，得： ，
化简得： ，
移项得： ，
两边同除以 ，不等号方向改变，得： ，
∵ 为非负整数，
∴ 的最大值为2．
故答案为：2．
3．（25-26九年级上·重庆江北·月考）求不等式组： 的所有整数解的和．
【答案】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握上述知识点
并能运用求解．
先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，再求和即可．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
所以不等式组的解集为 ，
所以不等式组的所有整数解为 ， ， ．
∴所有整数解的和为 ．
4．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组： ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】解集： ，整数和：9【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键．
分别解不等式 、 ，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即
可．
【详解】解：
解不等式 ， ，
；
解不等式 ， ，
；
此不等式组的解集为 ，
整数解为： ，0，1，2，3，4，
整数解的和： ．
5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于 的方程 的解为负数，求所有符合条件的
非正整数 的和．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先
解方程得到 关于 的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合 是非正整数，求出所有符合条件的
值并求和．
【详解】解： ，
，
，
，
，
关于 的方程 的解为负数，
，，
所有符合条件的非正整数 为： ， ， ， ， ，
所有符合条件的非正整数 的和为： ．
6．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）设x，y都是正整数，且满足 ， ，则
的值为______．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质，求一元一次不等式的整数解，已知字母的值，求代数式的值．
根据不等式的性质，可得 ，结合已知可得 ，求整数解，可得 ， ，代
入计算即可．
【详解】解：∵ ， 都是正整数， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， 是正整数，
∴ 的可能取值为 ， ， ， ，
当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，无正整数解，
当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，无正整数解，
当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，有正整数解 ，∴ ， ， ，符合题意，
∴ ，
当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，有正整数解 ，
此时， ，与“ ”矛盾，
∴ 的值为 ．
故答案为： ．
题型 4 最值问题
最值问题型：通过不等式组确定变量的取值范围，再求目标函数（如利润、成本）的最大值或最小值。
设未知数；
根据题目中的“不等关系”，列出不等式组；
解不等式组，求出变量的取值范围；
根据目标函数，在取值范围内求极值。
1．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式 的x的最小值是a，满足不等式 的x的最大值
是b，则 ______．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式 的最小值，b是不
等式 的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵满足不等式 的x的最小值是a，满足不等式 的x的最大值是b，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知 ．请确定 的最大值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到 ，即可求
解．【详解】解： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
∴ ，
即 的最大值为 ．
3．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）满足不等式 的最小整数解是（ ）
A． B．7 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键．
通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴最小整数解为7．
故选：B．
4．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知 ，且 ，求
的最大值．
【答案】17
【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所
求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键．
通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入 得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可
解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
①+②得： ④，
①+③得： ⑤，即 ，④+⑤得： ，即 ，
将 、 代入 得： ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最大值为17．
5．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式
可以配成完全平方式 ，因为 具有非负性，所以 ，这样的非
负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用 ， 代替x，y可得：
∴
∴ ，
当且仅当 时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当 时， ，当且仅当 ，即 时， 有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程 ，我们也可以通过配方的方式把它变形为
，从而解出该方程的解为 ．
例：若 ，则变形为 ，
∴该方程的解为 ，
化简后得： ．请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若 ，当 _______时，式子 的最大值为_______．
(2)若 ，求出 的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于 的代数式 ，求M的最小值及此时a和x的值．
【答案】(1)3，
(2) ，
(3) ， ，
【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．
（1）先将式子变形为 ，由于 ，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和 ，有
，计算 的值，进而得到 的最小值，再根据 求出最大值，同时确定
等号成立时x的值；
（2）先将式子变形为 ，由于 ，根据完全平方式的非负性，对于正实数
和 ，有 ，计算 的值，进而得到
的最小值，再根据 求出最小值，同时确定等号成立时x的值；
（3）先对M进行变形，将分子 凑成含有 的形式，由于 ，根据完全平方
式的非负性，对于正实数 ，有 ，计算的值，进而得到 的最小值，再根据 求出最小值，
当且仅当 ， ，且 ，此时确定等号成立时x的值．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3， ．
（2）解： ，
当且仅当 ，即 ，解得 ，
∵ ，
∴ 时， 的最小值为 ．
（3）解：
,
当 时， ．
当且仅当 ， ，且 ，
∴ ， ．
6．（23-24八年级下·湖南株洲·月考）定义运算 ；当 时， ；当 时，；如： ； ； ．
(1)现有函数 ，完成填空，
Ⅰ．当 ___________时（ 的取值范围）， ．
Ⅱ．函数 图像如图1所示，点 的坐标为___________，点 的坐标为
___________．
(2)如图2过 轴上的 其中 ，作平行于 轴的直线，分别与函数 的图象
相交于 、 两点（点 在点 的左侧），若 ，求 的值；
(3)若一次函数 图象与函数 的图象相交于 、 两点， ，求
的最大值．
【答案】(1)Ⅰ： ；
Ⅱ： ， ．
(2)
(3)
【分析】（1）Ⅰ：根据定义可列 ，求解即可．
Ⅱ：由题意可得直线 的解析式为 ， 点右侧直线的解析式为 ，分别
代入 ， 即可得 ， ．（2）根据定义可得两段直线解析式为 ， ，进而得到 ，
，代入 列式求解即可．
（3）由题意可列 ， ，解得 ， ，设 ，
，即可得 ，代入 ，
，解得 ，把点 代入 ，解得： ，结合题意可得
， ， 的最大值为 ．
【详解】（1）解：Ⅰ：∵ ，
∴ ，
∴ ．
Ⅱ：由题意可得直线 的解析式为 ， 点右侧直线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
则 ，
当 时， ，
则 ，
故答案为： ， ．
（2）解：当 时， ，
此时
当 时， ，
此时
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
（3）解：∵一次函数 图象与函数 的图象相交于 、 两点，
∴ ，
解得： ， ，
设 ， ，
∴
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把点 代入 ，得 ，
解得： ，
∵一次函数 的图象与函数 的图象相交于 、 两点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，新定义及解不等式，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
题型 5 含绝对值求解
含绝对值求解型：根据绝对值的性质，将绝对值不等式转化为不含绝对值的一元一次不等式组求解。
识别绝对值符号内的表达式；
根据绝对值不等式的类型，转化为对应的不等式组；
解转化后的不等式组，得到解集。
1．（25-26八年级上·山西太原·月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键．
先根据 的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可．
【详解】解：当 时， ， ，
恒成立．
∴ ．当 时， ， ，
，解得 ．
∴ ．
当 时， ， ，
，无解．
综上所述， ．
故选：C．
2．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若 ，则x与3的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键．
根据绝对值的非负性，等式成立需 ，即 ，且代入验证成立．
【详解】 ，
，
，即 ，
故选 ．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知： ，求 的取值范围．
【答案】 或
【分析】本题考查了不等式的基本性质的应用，由已知得 ，分情况即可求解．
【详解】解： ，
， 三数同号，
当 均为正数时，三式相乘得 ，因为 ，所以 ；
当 均为负数时，三式相乘得 ，因为 ，所以 ；综上所述， 的取值范围是 或 ．
4．（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式：
【答案】 或
【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分 ， 和 三种情况，分别去绝对值，
再解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，即 ，故此种情况不成立；
当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或 ．
5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式 和 的解法，再解答问题．①因为
，从数轴上（如图1）可以看出只有小于 的数和大于6的数的绝对值大于6．所以 的解
集为 或 ．②因为 ，从数轴上（如图2）可以看出只有大于 且小于6的数的绝对值小
于6，所以 的解集为 ．(1) 的解集为______；
(2)解不等式 ；
(3)解不等式 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题
意是解题的关键．
（1）根据题意求解集即可；
（2）根据题意解不等式即可；
（3）根据题意解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意知， 的解集为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得不等式 可化为 ，
解得 ；
（3）解：不等式 可化为 或 ，
解得 或 ．
6．（25-26七年级上·北京昌平·期末）新定义运算： ※ ，
①
②
③
（1）若某运算满足： ※ ※ ※ （其中 ， 为任意有理数， 为任意非零有理数），
则称此运算满足“右分配律”．上述三个运算中，满足“右分配律”的是___________（填写序号）；
（2）若 为任意有理数时，将 ， 分别代入上述三个运算，则结果一定为非负数的是
___________（填写序号）．【答案】 (1)③ (2)②
【分析】本题主要考查有理数的运算、绝对值、不等式等：
（1）① ；②当 时，
，当 且 时，
；③ ．
（2）① ；② ，分两种情况讨论；③ ．
【详解】（1）① ，不满足“右分配律”．
②当 时， ，不满足“右分配律”；当 且
时， ，不满足“右分配律”，同理可得，其他
的情况，均不满足“右分配律”．
③ ，满足“右分配律”．
故答案为：③
（2）① ，当 时， ．
② ．
当 时， ．
当 时， ．
∴ 为任意有理数时， ．
③ ．
当 或 ， ．故答案为：②
