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微专题 02 构造等腰三角形的方法
题型 1 作平行线
作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。
1. 原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。
2. 步骤：
（1）过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。
（2）利用平行线性质转移角或边的关系。
（3）结合截长补短或等量代换证明全等。
3. 基本模型
如图，已知在 中， ，D为线段 上一点，延长 ，在延长线上取一点F，使得
，连接 ，交 于点E，求证 .过点D作 ，交 于点G，则
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
在 和 中，
∴ （AAS）
∴
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在 中， ，点 、 分别在边 和 上，且
， ，连接 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长度为（ ）A． B． C．2 D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图： 中， 与 交于点G， ， ，
则 ________．
3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在 中， 是 边上的高，点 与点 关于直线
对称，点 是线段 上的点， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
①依题意补全图形：
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
4．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在 中，点 在 上，且 ，过点 作 交 于点 ．若
，求证： 平分 ．思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知
条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路：
思路1：考虑倍长 ，如图②，延长 至点 ，使 ，连接 ；
思路2：考虑倍长 ，如图③，延长 至点 ，使 ，连接 ．
(1)请挑选其中一种解题思路，给出证明．
(2)如图，在 中， 是 边上的中线，分别以 为直角边向外作等腰直角三角形，已知
，求 的长．
5．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【感知】如图①，在 中，点E为 的中点，连接 并延
长 的延长线于点F，求证：点D是 的中点；
【应用】如图②，在四边形 中， ， ，E是 的中点，
的延长线相交于点F，求 的长．
【扩展】如图③，在 中，点D是 的中点， ， 相交于点F，求 的值．题型 2 作垂直
作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等
1. 原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。
2. 步骤：
（1）从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。
（2）结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。
3. 基本模型
如图，已知 平分 ，为点 D 射线 上一点，过点 D 作 ，垂足为 E，
，求 .
过点D分别作 ，垂足为G平分 ， ，
∵
∴
∴ .
1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在 中， ， ，以 为边，在
外作等边 ，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，则 的长为______．
2．（23-24八年级上·陕西西安·月考）如图，在 中， ， ， ，点 为 中
点，点 为 上的动点，将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，连接 ，当线段 的最小时，则
________．
3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， 为 轴正半轴上一点，连
接 ，作 交 轴正半轴于点 ，求 ．4．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形 ， ， ，点 、 分别是边
和 上的动点（点 不与点 重合，点 不与点 重合），且 ， ，联
结 ．
(1)若 ，则点 到 的距离是_______；
(2)判断 的形状并加以证明；
(3)若 ，设 ， ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
题型 3 利用模型补全图形
补全图形法：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角
形。或者利用几何模型通过添加辅助线帮助证明。
1. 原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。
2. 步骤：
（1）观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）；
（2）连接这些点形成公共边或对称线段；
（3）利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。
3. 基本模型
如图，已知在四边形 中， ，求证： .如图，连接 ，则
在 与 中，
∴ （SSS）
∴
1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示， 与 均为直角三角形，且
， ， ，E是 的中点，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图， 是等边 的高，点E、F分别为线段 ， 上
的动点，且 ，若 ，则 的最小值为______．3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】如图1， 和 都是等边三角形，求证：
；
【尝试运用】如图2，在 中， ， ，边 绕点C逆时针旋转 到 ，E
为边 上不与点C重合的点，且 ，M为 的中点，连接 ， ．求 的度数；
【拓展创新】如图3，在 和 中， ， ， ，连
接 ， ，点F，G分别为 ， 的中点，若 ，请直接写出线段 的长（用含a和
b的式子表示）．
4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）（1）阅读理解：如图①，在四边形 中， ，点E是
的中点，若 是 的平分线，试判断 之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长 交 的延长线于点F，易证 ，得到 ，
从而把 转化在一个三角形中即可判断： 之间的等量关系为 _；
（2）如图②，在 中， ， ， 是 的中线， ， ，且
，求 的长；5．（25-26九年级上·重庆·期中）在 中， ， ，点E是平面内一点，连接 ，
将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
(1)如图1，若点E为 的中点， ，求点A到 的距离；
(2)如图2，若点E在 的内部，延长 交 于点F，当F为 中点时，求证：
；
(3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线 上一点，连接 ，将 沿 翻折得到
，点P是直线 上一点，连接 ，将 绕点P顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，
，当 的值最小时，直接写出 的面积．
题型 4 倍长中线法
倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对
应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证
明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明）
【基本模型】如图，在 中， ，求中线 的取值范围。
延长 至点 ，使得 ，连接∵ 为中线
∴
在 和 中
∴ （SAS）
∴
∵
∴
∴
即
故中线 的取值范围为
1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图， 与 均为直角三角形，且 ，
， ，点 是 的中点，则 的长为________．
2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ， ，点D为三角形内部一
点且 ，点E为 中点，连接 ， ，作 ，且 ，当
_____________时， 为直角三角形．3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图， 是 的中线， 是 的中线，且 ，求
证： ．
4．（25-26八年级上·福建福州·月考）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：
问题1：在 中， ， 是 中点，证明： ．
老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中
线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）请利用以上思路完成该证明．
问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些
财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛
上有三棵树， ， ， 海盗头对一个水手说：“从 到 拉一根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳
子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手
说：”从 到 拉一根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的
长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便
下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了．（2）设1号地点为点 ，2号地点为点 ，埋藏财宝的地点为点 ，连接 、 、 ，判断
的形状，并证明．
（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树 被台风刮走
了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树 、 还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助
他找到藏宝的地点，并简要说明理由．
5．（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在 中， 是 的中点，过点 作直线 ，
使 ，交 的延长线于点 ，求证： ．请结合图①写出完整的证明过程．
（2）如图②， ， ， ，连接 、 ， 是 的中点，延长
交 于点 ， ， ，则 的面积为________．
6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转
得到 ，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们
称 是 的“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．在图2，图3中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
(1)如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系为____________；
(2)如图3，当 ， 时，则 长为____________；
(3)在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．题型 5 截长补短法
【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一
条线段。
【基本模型】如图，在 中， 平分 。求证： .
在线段 上截取 ，连接 .
∵ 平分
∴
在 和 中，
∴ （SAS）
∴
∵
∴ （等量代换）
∴ （等腰三角形的性质：等角对等腰）
∴
∵∴
【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。
【基本模型】如图，在正方形 中， ，求证： .
反向延长线段 ，在其延长线上截取 ，连接 。
∵四边形 为正方形
∴
在 和 中，
∴ （SAS）
∴
∵
∴
∴ （等量代换）
∴
在 和 中，∴ （SAS）
∴
∵
∴ .
1．（25-26八年级上·上海普陀·月考）在 中， ， 平分 交 边于点 ，
，则 ____________°．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．
那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数
学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在 中， ，怎样证明 呢？
把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以点 落在AB上的点 处（如图1（2））．由
， ，可得 ．
【类比探究】
（1）如图2，在 中， ，类比上述的方法，请证明 ．
【方法运用】
（2）如图3，在 中， ，若 ，写出 ， ， 之间的数量关系并说明理
由．3．（25-26九年级上·河南周口·期中）在 中， ， ， 平分 ，在射线
上取一点 ，连接 ，线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为
点 ，作 ，垂足为点 ．
(1)如图1，当 ___________°．时，点 恰好落在 上，此时 ___________ ；（填
“>”“<”或“=”）
(2)如图2，若点 在 内部，点 不在 上时，（1）问中 、 、 的数量关系的成立吗？
说明理由；
(3)如图3，当点 在 外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的
结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段 、 、 的数量关系．
4．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在等边 中，点 在 上，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，点 在 上， ，连接 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 ，连
接 ，证明： ；(3)如图3，若点 是 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，满足 ，连接 ，点
是 的中点，连接 ， ，直接写出线段 的最小值．
5．（25-26八年级上·上海·月考）已知在 中， ，射线 、 在 内部，分别交线
段 于点 、 ．
(1)如图1，若 ， ，作 于点 ，分别交 、 于点 、 ．
①求证： ；
②若 ，连接 ，求 的度数；
(2)如图2，点 为 上一点， 交 于点 ，连接 ．若 ，求 的
值．
6．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形 中， ， ，
分别与 ， 交于点E，F．
【探索发现】
(1)如图①，为探究线段 ， ， 之间的数量关系，小杨延长 至点G，使得 ，连接
．先证明 ，再证明 ，即可得到 ， ， 之间的数量关系为：
______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在 ， 的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段 ， ，之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在 中， ， ，点D，E在 边上，且 ，若
， ，则 的长为______．
