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小专题07：解方程组、确定函数表达式
考点1：解方程组
题型一：用代入消元法解方程组
例1．用代入消元法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】见详解
【分析】各方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ，
由②得： ③，把③代入①得： ，
去分母得： ，解得： ，
把 代入③得： ，则方程组的解为 ；
（2） ，
由①得： ③，把③代入②得： ，
去分母得： ，解得： ，
把 代入③得： ，则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【练习1】用代入消元法解下列方程组：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】见详解
【分析】各方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：（1）方程组整理得： ，
把①代入②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
把①代入②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（3） ，
由①得： ③，把③代入②得： ，
解得： ，把 代入③得： ，
则方程组的解为 ；
（4）方程组整理得： ，把①代入②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型二：用加减消元法解方程组
例2．用加减消元法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】见详解
【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ，
① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【练习2】用加减消元法解下列方程组：（1） （2）
（3） （4）
【答案】见详解
【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ，
① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（2） ，
② ①得： ，把 代入①得： ，
则方程组的解为 ；
（3）方程组整理得： ，
① ② 得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（4） ，
① ② 得： ，解得： ，把 代入②得： ，则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型三：用整体思想解方程组
例3．已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，求关于 、 的二元一次方程组
的解．
【答案】见详解
【分析】对比两个方程组，可得 就是第一个方程组中的 ，即 ，同理： ，可得方程
组解出即可．
【详解】解： 关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，
关于 ． 的二元一次方程组 满足 ，
解得 ．
故关于 ． 的二元一次方程组 的解是 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中
的右边要统一．
【练习3】关于 ， 的方程组 的解为 ，则① ．②关于 ， 的方程组 的解为 ．
【答案】
，
【分析】①把方程组的解代入方程计算即可求出所求；
②仿照已知方程组的解即可求出所求即可．
【详解】解：①把 代入方程组得： ，
① ②得： ，则 ；
②方程组整理得： ，
仿照已知方程组得： ，即 ，故答案为：① ；②
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点2：确定函数表达式
例4．如图，一次函数 与 交于点 ，直线 交 轴于点 ．
（1）试确定 ， ， 的值；
（2）当 时，写出二元一次方程 的所有整数解；
（3）写出方程组 的解．【答案】见详解
【分析】（1）根据题意解方程或方程组即可得到结论；
（2）由（1）知 ，当 ，1，2时，得到 ，2，0，于是得到结论；
（3）解方程组即可得到结论．
【详解】解：（1） 一次函数 与 交于点 ，
， ，
直线 交 轴于点 ， ，解得： ；
（2） 一次函数 中的 ， ，
， 当 ，1，2时， ，2，0，
二元一次方程 的所有整数解为： ， ， ；
（3）解方程组 ，即解方程组 得， ．
【点睛】不要看出来一次函数与二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．
【练习4】如图，过点 的直线 与直线 交于点 ．
（1）求点 的坐标和直线 的表达式；
（2）根据图象直接写出方程组 的解．【答案】见详解
【分析】（1）先把 代入 求出 得到 点坐标为 ，然后把 ， 代入
得到关于 、 的方程组，然后解方程组求出 、 的值即可得到直线 的表达式；
（2）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接得到答案．
【详解】解：（1）把 代入 得 ，则 点坐标为 ；
把 ， 代入 得 ，解得 ，
所以直线 的表达式为 ；
（2）因为直线 与直线 交于点 ，
所以方程组 的解为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组 ：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程
组的解．
【练习5】已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数 的图
象交于点 ．
（1）求 ， 的值；（2）方程组 的解为 ．
（3）在 的图象上是否存在点 ，使得 的面积比 的面积大5？若存在，请求出符合条件
的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）把 分别代入 和 即可求得 、 的值；
（2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解；
（3）求得 、 的坐标，设点 的坐标为 ，作 轴于点 ， 轴于点 ，根据三角形
面 积 公 式 得 到 的 面 积 为 ， 的 面 积 为
，根据题意得到 ，解得 ，从而求得点 的坐标为
或 ．
【详解】解：（1）由题知，点 在 的图象上，
所以， ，所以，点 的坐标为 ，
因为，点 在 的上，所以， ，所以， ；
（2） 一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，方程组 的解为 ，故答案为 ；
（3）存在，
理由： 点 在在 的图象上， 设点 的坐标为 ，
一次函数为 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
作 轴于点 ， 轴于点 ，
的面积为 ， 的面积为 ，
当 时，解得 ， ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一
次方程组的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键．
1．设 ，当 时， ；当 时， ，则 ， 的值分别为
A．3， B． ，4 C． ，6 D．6，
【答案】C
【分析】根据题意得出关于 和 的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出 ， 的值．
【详解】解： 设 ，当 时， ；当 时， ，，解得： ，故选： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根据题意得出关于 和 的二元一次方程组是解决问题的关键．
2．二元一次方程组 的解是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】① ②得出 ，求出 ，再把 代入①求出 即可．
【详解】解： ，
① ②，得 ，解得： ，
把 代入①，得 ，解得： ，
所以方程组的解是 ，故选： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．解方程组 时，经过下列步骤，能消去未知数 的是
A．① ② B．① ② C．① ② D．① ②
【答案】C
【分析】观察方程组中两方程中 的系数确定出加减消元法即可．
【详解】解：解方程组 时，消去末知数 最简单的方法是① ② ，
故选： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是A．① ② B．② ① C．① ② D．① ②
【答案】D
【分析】利用加减消元法判断即可．
【详解】解：用加减消元法解二元一次方程组 时，① ②或① ②消去 或②
①消去 ．故选： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．我们在解二元一次方程组 时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求
解，这种解法体现的数学思想是
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【答案】A
【分析】通过代入消元法消去未知数 ，将二元一次方程转化为一元一次方程．
【详解】解：在解二元一次方程组 时，
将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，
从而将二元一次方程降次转化为一元一次方程求解，
这种解法体现的数学思想是：转化思想，
故选： ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，理解消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的方法
是解题关键．
6．解二元一次方程组 有一种较简便的方法是先消去 ，② ① 化简得 ．
【答案】
【分析】② ，得 ．① ，得 ，进而解决此题．【详解】解：② ，得 ．
① ，得 ．
② ① ，得 ． ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
7．用代入消元法解二元一次方程组 ，将②代入①后得到的方程为 ．
【答案】
【分析】利用代入消元法化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组 ，将②代入①后得到的方程为
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．已知 的解是 ，求 的解为 ．
【答案】
【分析】把 ， 代入第一个方程组，可得关于 ， 方程组，两方程同时乘 5 可得出
，
再结合第二个方程组即可得出结论．
【详解】解：把 代入方程组得： ，方程同时 ，得： ，
方程组 的解为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，发现两方程组之间互相联系是解题的关键．
9．用代入消元法解下列方程组：
（1） （2）
【答案】见详解
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【详解】解：（1）
①代入②，可得： ，解得 ，
把 代入①，解得 ，
原方程组的解是 ．
（2）
① ②，可得 ，解得 ，
把 代入①，解得 ，
原方程组的解是 ．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
10．用加减消元法解下列方程组：（1） （2）
（3） （4） ．
【答案】见详解
【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ，
① ②得： ，解得： ，
① ②得： ，解得： ，
则方程组的解为 ；
（2） ，
② ①得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（3） ，
① ②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，则方程组的解为 ；
（4） ，
① ② 得： ，把 代入①得： ，则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．解方程组．
（1） ． （2） ．
【答案】见详解
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用整体思想，再结合加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1） ，
① ，得 ③，
③ ②，得 ，解得 ，
将 代入①，得 ， 方程组的解为 ；
（2） ，
① ②得， ，解得， ，
将 代入①，得 ， 方程组的解为 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关
键．
12．解二元一次方程组．（1） ． （2） ．
【答案】见详解
【分析】（1）用加减消元解二元一次方程组即可；
（2）先化简方程组为 ，再用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1） ，
① ，得 ③，
③ ②，得 ，解得 ，将 代入①得， ，
方程组的解为： ；
（2） ，
化简方程组可得， ，
① ②得， ，解得 ，
将 代入②，得 ，
方程组的解为 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关
键．13．如图，一次函数 经过点 ，与一次函数 交于点 ．
（1）求函数 的表达式；
（2）利用函数图象写出方程组 的解 ．
【答案】见详解
【分析】（1）由点 的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 的坐标，根据点 、 的坐
标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象，结合交点 的坐标即可求得．
【详解】解：（1） 一次函数 经过点 ．
，解得： ， 点 的坐标为 ， ．
将 ， 、 代入 ，得 ，解得： ，
一次函数的解析式为 ；
（2） 一次函数 与一次函数 交于点 ， ，
方程组 的解为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次
方程组以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的
解析式；（2）根据两直线的交点与解析式构成方程组的关系求得．14．若正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为 ．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）直接写出方程组 的解；
（3）在一次函数 的图象上是否存在点 ，使的 的面积为2，若存在，求出点 坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】见详解
【分析】（1）先求出 点的纵坐标，把 点的坐标代入 ，求出 即可；
（2）根据方程组的特点和 点的坐标得出答案即可；
（3）设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，则 ， ，求出 和
的面积，分为两种情况：①当 点在第一象限时，则 ，②当 点在第三象限时，则 ，根
据三角形的面积求出 点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．
【详解】解：（1）将 代入 ，得 ，
则点 坐标为 ，
将 代入 ，得 ，解得： ，
所以一次函数的解析式为 ；
（2） 方程组 的解为 ， 方程组 的解为 ；
（3）设直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，则 ， ，
， ，
①当 点在第一象限时，则 ，
设 的横坐标为 ， ，解得： ，
即点 的横坐标是1，把， 代入 得： ， ；
②当 点在第三象限时，则 ，设 的纵坐标为 ，
，解得： ，即点 的纵坐标是 ，
把 代入 得： ，
，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函
数的解析式，三角形的面积等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．
