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专题 4.1 导数的运算及几何意义
题型一 平均变化率和瞬时变化率
题型二 导数的定义运算
题型三 导数的四则运算和复合函数求导
题型四 求曲线切线的斜率（倾斜角）
题型五 曲线上一点处的切线问题
题型六 过一点的切点问题
题型七 已知切线（斜率）求参数
题型八 两切线的平行、垂直问题
题型九 公切线问题
题型一 平均变化率和瞬时变化率
例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数
的图象，函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，则 ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.
【详解】由题可知， ， ，
所以 .
故选：B
例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在 时，
半径为 .当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当
温度为 时铁球的半径为 ，其中 为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由球的体积公式可得 ，求导即可得到结果.
【详解】由题意可得，当温度为 时，铁球的半径为 ，
其体积 ，求导可得 ，
当 时， ，所以在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为 .
故选:D
练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路
程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段 ， ， ， 上的平均速度
的大小分别为 ， ， ， ，则平均速度最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的
斜率，结合图形即可求解.
【详解】由题意知，汽车在时间 的平均速度大小分别为 ，
设路程y与时间t的函数关系为 ，
则 ，即为经过点 的直线的斜率 ，
同理 为经过点 的直线的斜率 ，
为经过点 的直线的斜率 ，
为经过点 的直线的斜率 ，如图，由图可知， 最小，即 最小.
故选：C.
练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数 在区间 上的平均变化率
为（ ）
A．2 B．6 C．12 D．48
【答案】C
【分析】根据平均变化率的计算公式，结合函数 的解析式，准确计算，即可求解.
【详解】根据平均变化率的计算公式，可得函数 在区间 的平均变化率为：
.
故选：C.
练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照
射的关系近似满足函数关系式： ，其中 为蜥蜴的体温（单位： ），
为太阳落山后的时间（单位： ）．
(1)求 ，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为 时的时刻 是多少（精确到 ）？
【答案】(1) ，实际意义见解析；
(2) .
【分析】（1）求出 的导数，代入 可求 ，根据导数的几何意义解释其实际
意义；
（2）求解 即可.
【详解】（1） ，则 ，
表示太阳落山后 ，蜥蜴的体温下降的速度为 .（2）令 ，解得 ,
故蜥蜴体温的瞬时变化率为 时的时刻是 .
练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水
缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数
的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将容器看做一个球体，根据 的实际意义求解.
【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的
时间，
高度 的变化较大，即 较大，即函数 的导数值较大，到水注入球体的一半
时，由于球体的截面积较大， 的变化率较小，接近于球体的顶端时， 的变化率
又较大；
故选：D.
练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为
（g为常数），该小球在 到 的平均速度为 ，在 的瞬时速度为 ，
则 和 的大小关系为 ________ （填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平均速度和瞬时速度的意义，求出 和 即可作答.【详解】小球自由落体的运动方程为 ，求导得 ，
则小球在 到 的平均速度 ，
在 的瞬时速度 ，
所以 .
故答案为：
题型二 导数的定义运算
例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知 ，
则 （ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.
【详解】 .
故选：D.
例4．若 在 处可导，则 可以等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.
【详解】由导数定义 ，
对于A， ，A满足；
对于B， ，
，B不满足；对于C， ，
，C不满足；
对于D， ，
，D不满足.
故选：A.
练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.
【详解】因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故选:A.
练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数 ，则
________．
【答案】 /0.5
【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案.
【详解】由题意知 ， .
故答案为：
练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到 ，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点 ，
函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
，即
又
即
故选：D.
练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数 在 处可导，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义可得 ，再根据极限的性质
计算可得.
【详解】因为函数 在 处可导，且 ，
所以 ，所以 .
故选：C
练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】变换得到 ，计算得到答案.
【详解】设
则 .
故选：D.
题型三 导数的四则运算和复合函数求导
例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函
数 的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.
【详解】函数 ，求导得 .
故选：D
例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已
知函数的导函数
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可逐一求解.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用商的求导法则可得答案；
（2）利用积的求导法则以及复合函数求导法则可得答案.
【详解】（1） ；
（2） .
练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据导数公式判断各项正误即可.
【详解】由 ， ， ， ，
所以A、B、D错，C对.
故选：C
练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数 ，则
________.
【答案】1
【分析】求解导函数，即可得 ，于是可得函数解析式，从而可求解 的值.
【详解】已知函数 ，则 ，所以
则 ，故 .
故答案为： .
练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A， ，故A错误，
对于B， ，故B正确，
对于C， ，故C错误，
对于D， ，故D错误，
故选：ACD
练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数 的导函数的定义
域为__________.
【答案】【分析】确定函数定义域，再求导确定导函数定义域得到答案.
【详解】 ，函数定义域为 ， ，导函数需满足 ，
综上所述：导函数定义域为 .
故答案为： .
题型四 求曲线切线的斜率（倾斜角）
例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线
在点 处的切线斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义可求得切线的斜率.
【详解】对函数 求导得 ，
所以，正弦曲线 在点 处的切线斜率是 .
故选：B.
例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数
与 的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义直接判断.
【详解】由图可知， 与 在区间 上单调递增，所以 ， .在区间 上， 的图象比 的图象更陡峭，所以 ， .
故选：B.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示， 是函数
的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 图象的变化趋势，结合导数的几何意义有 ，
即可得结果.
【详解】由图知： ，即 .
故选：A.
练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线 与曲线
相切，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【详解】 ，
由导数的几何意义可知， .
故选：A
练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解.
【详解】依次作出函数 在 处的切线，如图所示
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知， ．
故选：B.
练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线
上一动点， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作
答.
【详解】函数 的定义域是R，求导得：函数 ，而 ，
则曲线在点 处的切线的斜率 ，当且仅当 ，即 ， 时取“=”，而 ，
于是得 ，又 ，因此， ，
所以 的取值范围是 .
故选：A
练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线 在
处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出 ，然后利用二倍角公式及弦切互化计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D
题型五 曲线上一点处的切线问题
例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线
在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可.
【详解】 ， ， ，曲线 在点 处的切线方程为
，
即 .
故选：B.
例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已
知 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导，得到 即切线的斜率，然后根据点斜式写出直线方程.
【详解】 ， ，即切线的斜率为 ，又 ，切线方程为
，即 .
故选：A
练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ，
则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何含义求出切线的斜率及切点，写出切线方程.
【详解】已知 ，∵ ，∴ ，
又 ，∴切线过 ，
∴所求切线为 ，即 ，
故选：A.
练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数
，则 在 处的切线方程为_______．
【答案】
【分析】直接求导得 ，代入 则可解出 ，则得到函数方程，
则求出切点坐标，即可得到直线方程.
【详解】 ，令 ， ，解得 ，
则 ，则 ，则 在 处的切线方程为 ，即
.
故答案为： .练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，若 的图
象在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则 （ ）
A． B．2 C．±2 D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面
积列式可求出结果.
【详解】因为 ，所以 .
因为 ，所以 的图象在 处的切线方程为 .
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数 在点 处的
切线方程为______________．
【答案】
【分析】根据 求出切点的坐标，由 得出 在该点处切线的斜率，根据点斜式即
可写出切线方程．
【详解】由 得 ，即切点坐标为 ，
，则 ，
所以 在点 处的切线的斜率为 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ，
故答案为： ．
练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数 的图象在点 处
的切线方程为__________．
【答案】
【分析】求出 、 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】因为 ，则 ，所以， ，
，
所以，函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为： .
题型六 过一点的切点问题
例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线
过点 的切线方程为______________________.
【答案】
【分析】求出导函数，设切点为 ，表示出切线方程，由切线过点 ，
代入求出 ，再代入即可.
【详解】因为 ，所以 ，设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，又切线过点 ，
所以 ，解得 ，
所以切线方程为 即 .
故答案为：
例12．已知经过点 的两条直线 ， 均与曲线 相切，若直线 的方程为
，则m的值为______，直线 的方程为______．
【答案】 2
【分析】本题是求过一点的切线方程问题，先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义知
函数在切点处的导数值是切线的斜率，从而列出方程，进而可求解.
【详解】设直线与曲线 相切于点 ．因为 ，又由题意得切线的斜率 ，即 ．
由直线 的斜率为0，得 的一个解为0，
所以m的值为2，故 ，解得另一个解为 ，
则此时 ，故直线 的方程为 ，即 ．
故答案为：2； .
练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切点的横坐标
为___________.
【答案】 或
【分析】设切点为 ，利用导数的几何意义表示出切线方程，将 代入，即可求得
本题答案.
【详解】由 可得 ，设切点坐标为 ，
所以切线斜率 ，又因为 ，
则切线方程为 ，
把 代入并整理可得 ，解得 或 .
故答案为： 或
练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线
，过点 作曲线的切线，则切线方程________．
【答案】
【分析】设切点坐标为 ，求出切线方程，代入点 求出 ，从而可得切线
方程.
【详解】设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
因为切线过点 ，所以 ，解得 .
所以切线方程为 .
故答案为: .练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过 轴上一点 作曲线 的
切线，若这样的切线不存在，则整数 的一个可能值为_________．
【答案】 ， ， ，只需写出一个答案即可
【分析】设切点为 ，利用导数求切线方程，代入一点 ，关于 的方程
没有实数解，由判别式解不等式求整数 的值.
【详解】设切点为 ，因为 ，所以切线方程为
．
因为切线 经过点 ，所以 ，
由题意关于 的方程 没有实数解，
则 ，解得 ．
因为 为整数，所以 的取值可能是 ， ， .
故答案为： ， ， ，只需写出一个答案即可
练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点 且与曲线 相
切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设过点 的切线与曲线 相切于点 ，根据导数的几何意义
求出切线方程，再根据切线过点 求出 ，即可得解.
【详解】设过点 的切线与曲线 相切于点 ，
因为 ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，解得 或 ，
故切线方程为 或 .
故选：BC.
练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线
的切线，则切线的条数为_______________．
【答案】1【分析】分 与 两种情况，设出切点，写出切线方程，将 代入，求出相应
答案.
【详解】当 时， ，设切点为 ， ，
其中 ，
故过 的切线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，满足要求，
当 时， ，设切点为 ， ，
其中 ，
故过 的切线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，不合要求，舍去；
故答案为：1
题型七 已知切线（斜率）求参数
例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与直
线 平行，则实数 的值为________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求导列式得 ，即可实数 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，则 ，解得 .
故答案为： .
例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数a＝
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C【分析】根据导数的几何意义可得 ，求解即可.
【详解】由 且x不为0，得
设切点为 ，则 ，即 ，
所以 ，可得 .
故选：C
练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线 在点
P处的切线与直线 垂直，则P点的横坐标为___________.
【答案】
【分析】由题设知P处的切线斜率为 ，应用导数几何意义列方程求P点的横坐标.
【详解】由题设在P处的切线斜率为 ，而 ，
所以 ，则 ，即 .
故答案为：
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线 在点
(0, )处的切线方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由 可知切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，又切线方
程为 ，比较系数可得a，b的值．
【详解】因为 ，切点为(0, )，
所以切线的斜率为 ，则切线方程为 ，即 ，又切线方程为 ，即 ，
所以 ， .
故选：D
练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线 是曲线 的切
线，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】函数 ，求导得 ，令直线 与曲线 相切的
切点为 ，
于是 且 ，所以 .
故选：B
练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点 不在函数
的图象上，且过点 能作两条直线与 的图象相切，则 的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】AB
【分析】由题意切点为 ，利用导数的几何意义可得求出切线方程，代入点 ，
可得 ，构造函数 ，将原问题转化为函数图象的交点个数问题，
利用导数求得函数最值，作出函数图象，数形结合，即可求解.
【详解】由题意知 ，过点 作直线与 的图象相切，设切点为 ，
则切线斜率为 ，则切线方程为 ，
将点 代入，即 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 ，
当 时 ；当 时 ； ，
作出 的大致图象如图：由点 不在函数 的图象上，且过点 能作两条直线与 的图象相切，
可知 ，且 有两个解，
即 的图象和 有2个交点，故 ，
则a的取值可以为 .
故选：AB.
练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，过点 存在3
条直线与曲线 相切，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设切点为 ，利用导数几何意义写出过 的切线方程，进而有
有三个不同 值，即 与 有三个不同交点，导
数研究 的极值，即可求参数范围.
【详解】由 ，设切点为 ，则切线斜率为 ，
所以，过 的切线方程为 ，
综上， ，即 ，
所以 有三个不同 值使方程成立，
即 与 有三个不同交点，而 ，
故 、 上 ， 递减， 上 ， 递增；
所以 极小值为 ，极大值为 ，故 时两函数有三个交点，
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
题型八 两切线的平行、垂直问题例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线 ，
过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为
，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】分段求出函数 的导数，利用导数的几何意义结合垂直关系求解作答.
【详解】当 时， ，当 时， ，
依题意，曲线 在点A，B处的切线互相垂直，则 在1的两侧，不妨令 ，
因此 ，解得 .
故选：B
例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数
.
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，曲线 上存在分别以 和 为切点的两条互相平行
的切线，求 的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题意知 ，化简得 ，则 ，令
，利用导数求出其最小值，从而可求出 的最大值.
（1）
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）
由题意知 ， ，
即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
即 ，
所以 ，
即
所以 的最大值为 .
练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝ 存在两条互
相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】直接根据导数的几何意义即可得结果.
【详解】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，
练习如 ， ， ， ，此时 ， ，
函数在 处的切线方程为： ；
函数在 处的切线方程为： ；合乎题意，
故答案为： （答案不唯一）
练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个零点 B．过坐标原点可作曲线 的切线
C． 有唯一极值点 D．曲线 上存在三条互相平行的切线
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数 的极值，结合零点的定义即可判断A；利用反证法，根据
直线的点斜式方程求出切线方程，即可判断B；利用二次求导研究函数 的极值，结合
零点的定义即可判断C；利用函数的零点个数与方程的根个数、函数图象交点个数的关系，
结合选项C即可判断D.
【详解】A： ，
对于函数 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
则函数 在 ， 处分别取极大值和极小值，
由 ，知 只有一个零点，所以 有两个零点，故A正确；
B：假设B成立，设切点坐标为 ，
切线方程为 ，
即 ，
∴ ，但显然 ，故B错误；
C： ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
∴函数 在 处分别取到极大值和极小值，由 知 只有一个零点， 有一个极值点，故C正确；
D：若D正确，则存在实数m使得 有三个不同的根，
即函数 与 图象有3个交点，
由选项C可知， ，故D正确.
故选：ACD.
练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数
的图象上不存在互相垂直的切线，则实数 的值可以是
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】将切线垂直，转化为斜率乘积为 ，然后利用导数的几何意义即可求出 的范围.
【详解】因为函数 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，因为函数 的图象上，不存在互相垂
直的切线，
所以 ，即 ，解得 .
故选：AB
练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数
，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】AB
【分析】由题可得： ，利用基本不等式可得： ，由
条件知 ，即可得出答案.
【详解】∵函数 ，定义域为（0，＋∞），∴ ，
∴ ，当且仅当 时，取等号，要使f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则 ，
所以 的值必有一正一负，
当 时， ，易知符合题意，
当 时， ，易知符合题意，
当 时， ，不符题意，
当 时， ，不符题意，
所以a的值可以是－4或－3.
故选：AB.
练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数 ，则下列说
法正确的有（ ）
A． 时， B． 在定义域内单调递增时，
C． 时， 有极值 D． 时， 的图象存在两条相互垂
直的切线
【答案】ABD
【分析】对函数求导得 ，A代入自变量求参数值即可；B由 在
上恒成立，求范围即可；C判断 时 的符号即可；D利用导数研究
的单调性及值域，判断定义域内是否存在 即可.
【详解】由题设，函数定义域为 ，且 ，
A： ，则 ，正确；
B：在定义域上递增，即 在 上恒成立，只需 ，而
在 上的最大值为 ，故 ，正确；
C：由B分析知：当 时 恒成立，此时 无极值，错误；
D：令 ，则 ，当 时 ， 递减；当 时
， 递增；又 ，
故 ， 趋向于0或正无穷时 都趋向于正无穷，所以 上各有一个零点 ，故 上 ， 上
，故必存在 ，即存在两条相互垂直的切线，正确.
故选：ABD
题型九 公切线问题
例17．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）若直线 是曲线 的切线，也
是曲线 的切线，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
【答案】A
【分析】设切点分别为 、 ，根据导数几何意义及公切线列方程求
参数值即可.
【详解】若 ，则 ，且 ，
若 ，则 ，且 ，
又 是 、 的公切线，
设切点分别为 、 ，则 ，
，则 ，即 .
故选：A
例18．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a
（a>0）的直线l与曲线 与 都相切，则实数b的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义得出，两个函数有共公切点，且求得切点横坐标为 ，从而用
表示出 ，引入新函数 ，再由导数求其最大值，从而得 的范围．
【详解】由题意 ，由 得 ，，由 得 ，
因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为 ，
所以 ，即 ， ，
令 ，则 ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，显然 时， ，
所以 ，
故选：A．
练习41．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知两曲线 和 都
经过点 ，且在点 处有公切线，试求 、 、 的值．
【答案】 ， ，
【分析】根据点 在曲线 上，求出 ，再求出两函数的导函数，根据函
数在点 处有公切线求出 ，再根据点 在曲线 上求出 .
【详解】∵点 在曲线 上，
∴ ，∴ ，
函数 和 的导数分别为 和 ，且在
点 处有公切线，
∴ ，解得 ，
又由点 在曲线 上可得 ，解得 ．
综上， ， ， ．
练习42．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线 是曲
线 与 的公切线，则 ________.
【答案】
【分析】设设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，
然后求出 ， ，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解.【详解】设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，
由于 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以由点 在切线上，得切线方程为 ，
由点 在切线上，得切线方程为 ，
故 解得 .
故答案为： .
练习43．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）写出曲线 与曲线
的公切线的一个方向向量______.
【答案】 （与 共线的非零向量均可）
【分析】先利用导数求得曲线 与曲线 的公切线方程，进而求得该公切
线的一个方向向量.
【详解】设曲线 上的切点为 ，
曲线 上的切点为 ，
则 ，两式相减整理得 ，
代入上式得 ，解之得 ，则 ，
则曲线 与曲线 的公切线的公切点为 ，
则切线斜率为1，切线方程为 ，
则公切线的一个方向向量为
故答案为：
练习44．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 与 有公共切线，则实
数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】设公切线与曲线的切点为 ， ，利用导数的几何意义分别求
和 上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】设公切线与曲线 和 的切点分别为 ， ，其中 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即
，
所以 ，有 ，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，故 ，即 .
∴正实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练习45．（2023·湖北·统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线
都相切，则 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】设该直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，设该
直线与 相切于点 ，求出切线方程为 ，联立方程组，
得到 ，令 ，讨论 的单调性，从
而得到最值，则可得到 ，解出 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端
点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
所以当 时， 0；当 时， ；
在 和 上单调递减；在 和 上单调递增；
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，
所以A正确；
对于B， ，所以 ，所以B正确；
对于C， 因为 ，所以C正确；
对于D， 因为 ，所以D不正确.
故选：ABC
