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专题 4.1 平面向量的概念及线性运算【六大题型】
【新高考专用】
1、平面向量的概念及线性运算
平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念、平
面向量的线性运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函
数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.
【知识点1 平行向量有关概念的归纳】
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加
减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中
位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法
运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1) 是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线 共线.
(3)若 与 不共线且 ，则 .
(4) (λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 .
2． (λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二
是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积 B．距离
C．拉力 D．质量
【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
|⃗a|=|⃗b| ⃗a=⃗b |⃗a|>|⃗b| ⃗a>⃗b
C．若⃗a=⃗b，则⃗a ∥ ⃗b D．若⃗a ∥ ⃗b,⃗b ∥ ⃗c，则⃗a ∥ ⃗c
【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的【变式1-3】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量⃗a如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用⃗MN表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
【题型2 向量的几何表示与向量的模】
【例2】（2024·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足⃗AB+⃗BC=2⃗AM，则
（ ）
|⃗MD|=
1 √2
A． B．1 C． D．√2
2 2
【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行150km，再向南飞行350km，记
飞机飞行的路程为s，位移为⃗a，则（ ）
A．s>|⃗a| B．s=|⃗a| C．s<|⃗a| D．s与|⃗a|不能比较大小
【变式2-2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半
圆上一点，且 ， ，则 等于（ ）
∠OCB=30° |⃗AB|=2 |⃗AC|
A．1 B．√2 C．√3 D．2
【变式2-3】（23-24高一下·上海·课后作业）若⃗a是任一非零向量，⃗b是单位向量，下列各式：①
⃗a
|⃗a|>|⃗b|；②⃗a//⃗b；③|⃗a|>0；④|⃗b|=1；⑤ =⃗b，其中正确的有（ ）
|⃗a|
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【题型3 向量加、减法的几何意义】
【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）在△OMN中，⃗ON−⃗MN+⃗MO=（ ）
A．0⃗ B．2⃗MO C．2⃗OM D．0
1
【变式3-1】（2024·宁夏石嘴山·二模）如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若⃗DB= ⃗AD，
2
3⃗CD=⃗CA+m⃗CB，则m=（ ）A．−2 B．2 C．−1 D．3
【变式3-2】（2024·浙江·二模）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则
⃗MA+2⃗MB+2⃗MC+⃗MD=（ ）
1
A．⃗AB B．⃗CD C．2⃗AB D． ⃗CD
2
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若⃗AC=⃗m，⃗AM=⃗n，则⃗BD=
（ ）
A．4⃗m−3⃗n B．4⃗m+3⃗n
C．3⃗m−4⃗n D．3⃗m+4⃗n
【题型4 向量的线性运算】
【例4】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知向量 ，则 （ ）
⃗a,⃗b 2(⃗a+⃗b)−(⃗a−⃗b)=
A．⃗a+⃗b B．⃗a−⃗b
C．3⃗a+⃗b D．⃗a+3⃗b
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，⃗NA+⃗NC=0⃗,⃗BM=2⃗MC，则（ ）
1 1 1 1
A．⃗NM=− ⃗AB− ⃗AC B．⃗NM= ⃗AB− ⃗AC
3 6 3 6
1 1 1 1
C．⃗NM=− ⃗AB+ ⃗AC D．⃗NM= ⃗AB+ ⃗AC
3 6 3 6
1
【变式4-2】（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） (⃗a+2⃗b−3⃗c)−3(⃗a−2⃗b−⃗c)= （ ）
2
5 5
A．− ⃗a−4⃗c B．− ⃗a+4⃗b−2⃗c
2 2
5 3 5 9
C．− ⃗a+7⃗b+ ⃗c D．− ⃗a+5⃗b− ⃗c
2 2 2 2
1
【变式4-3】（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 BD= BC，E为AD
3
的中点，则 ⃗AC=（ ）
A．2⃗AB+6⃗AE B．6⃗AB+2⃗AE C．−2⃗AB+6⃗AE D．6⃗AB−2⃗AE【题型5 根据向量线性运算求参数】
【例5】（2024·山东·模拟预测）在正六边形ABCDEF中，⃗CH=2⃗HD，若⃗AH=x⃗AB+ y⃗AF，则x+ y=
（ ）
8 10 11
A． B．3 C． D．
3 3 3
【变式5-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且
2
⃗BP= ⃗BA+m⃗BC，则m=（ ）
3
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 5
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）在△ABC中，⃗AB=4⃗AD，⃗CE=2⃗ED.若⃗BC=λ⃗AE+μ⃗CD，则
（ ）
λ
A．λ+μ=5 B．λ−μ=1 C．λμ=6 D． =3
μ
【变式5-3】（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，
AC与MD相交于点P，若⃗AP=x⃗AB+ y⃗AD，则xy=（ ）
2 9 3 4
A． B． C． D．
3 16 4 9
【题型6 向量共线定理及其应用】
【例6】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
⃗e ⃗e ⃗AB=⃗e +2⃗e
1 2 1 2
， ，则（ ）
⃗BC=−3⃗e +2⃗e ⃗DA=3⃗e −6⃗e
1 2 1 2
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【变式6-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知⃗a，⃗b是两个不共线的向量，命题甲：向量t⃗a+⃗b与⃗a−2⃗b共线；
1
命题乙: t=− ，则甲是乙的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）已知点A,B,C是直线l上相异的三点，O为直线l外一点，且
2⃗OA=3⃗OB+λ⃗OC，则λ的值是（ ）
1 1
A．−1 B．1 C．− D．
2 2
【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB=λ⃗a+⃗b,⃗AC=⃗a+μ⃗b，其中
λ>0,μ>0，若A,B,C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
1．（2022·全国·高考真题）已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
⃗a,⃗b,⃗c |⃗a|=|⃗b|=1,|⃗c|=√2 ⃗a+⃗b+⃗c=0⃗
cos〈⃗a−⃗c,⃗b−⃗c〉=（ ）
4 2 2 4
A．− B．− C． D．
5 5 5 5
3．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C
两点，D为BC的中点，若|PO|=√2，则⃗PA⋅⃗PD的最大值为（ ）
1+√2 1+2√2
A． B．
2 2
C．1+√2 D．2+√2
4．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
⃗a ⃗b (⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0 ⃗a=−⃗b ⃗a=⃗b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
⃗a,⃗b |⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2 (⃗b−2⃗a)⊥⃗b |⃗b|=1 √2 √3
A． B． C． D．1
2 2 2
1
6．（2022·全国·高考真题）设向量 ⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b= ．
3
7．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
⃗a ⃗b |⃗a−⃗b|=√3 |⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b| |⃗b|=
