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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题02 多项式乘多项式压轴题五种模型
【类型一 计算多项式乘多项式问题】
例1．（2021·上海闵行·七年级期中）计算：
(1) ； (2)
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
由多项式乘多项式的法则计算即可．
(1)
=
= ；
(2)
=
=
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项，再把所得的积相加，即 ．注意①要用一个多项式的每一项分别乘
以另一个多项式的每一项，不能有遗漏②多项式乘多项式，实际上是转化为单项式乘单项式的运算来完成
的③多项式的每一项都包括其前面的符号，并作为项的一部分参与运算④多项式与多项式相乘的结果仍是
多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积⑤结果中若有同类项，则要合并，所得的
结果必须化为最简的形式．【变式训练1】（2022·重庆·一模）计算题
(1) ； (2)
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）把多项式的每一项与单项式相乘，再合并即可求解；
（2）先用第一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再合并即可求解．
(1)
(2)
．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则是解题的关键．
【变式训练2】（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1） ； （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
按照多项式乘多项式的法则乘出来，再合并同类项即可．
【详解】
（1）（2）
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘法法则是关键，但注意的是，不要出现漏乘．
【变式训练3】（2021·全国·八年级专题练习）计算：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
(1)利用单项式乘以单项式计算即可;
(2)利用平方差公式计算即可;
(3)利用多项式乘以多项式计算即可;
(4)利用整式的运算法则计算即可．
【详解】
解：（1） ．
（2） ．
（3）
．
（4）．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算,熟练运用运算法则是解题的关键．
【类型二 多项式乘多项式——化简求值问题】
例2．（2021·山东菏泽·七年级期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，0
【解析】
【分析】
先根据多项式乘多项式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】
解：原式 ，
，
，
，
，
当 时，原式 ．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用乘法分配律是解题的关键．
【变式训练1】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中
x＝﹣2．
【答案】5x+19，9
【解析】
【分析】先计算多形式的乘法，再去括号合并同类项，然后把x＝﹣2代入计算．
【详解】
解：原式=2x2+x-2x-1-2(x2+2x-5x-10)
=2x2+x-2x-1-2x2-4x+10x+20
=5x+19，
当x＝﹣2时，
原式=-10+19=9
【点睛】
本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．四则混合运算的顺序是先算乘除，
再算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．
【变式训练2】（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：
，其中 ， ．
【答案】 ，8．
【解析】
【分析】
先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将x、y的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
当 、 时， ．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．【变式训练3】（2021·浙江·七年级期末）（1）化简： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）-7x2+9y2；（2）35x+2，-5
【解析】
【分析】
（1）原式利用单项式乘多项式，多项式乘多项式，合并同类项的法则计算即可求解．
（2）原式利用多项式乘多项式，单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算
即可求出值．
【详解】
解：（1）原式=9xy-3x2-（4x2+12xy-3xy-9y2）
=9xy-3x2-4x2-9xy+9y2）
=-7x2+9y2．
（2）原式=3x3-x-6x2+2-3x3+6x2+36x
=35x+2，
当 时，原式=-7+2=-5．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【类型三 已知多项式乘积不含某项求字母参数问题】
例3．（2022·重庆·八年级期末）若 的结果中不含 的一次项，则 的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
将原式化简后，将含有 的项进行合并，然后令其系数为 即可求出答案．
【详解】
解：原式令 ，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．
【变式训练1】（2022·吉林长春·八年级期末）若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m
的值为 _____．
【答案】 ##1.5
【解析】
【分析】
根据多项式乘多项式可进行把含x的多项式进行展开，然后再根据题意可求解．
【详解】
解： ，
∵展开后不含x项，
∴ ，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
【变式训练2】（2022·重庆一中七年级期末）如果 展开后不含 项，那么 __________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先利用多项式乘以多项式的计算法则把 展开，然后利用含 项的系数为0即可得到答案．
【详解】解：
，
∵ 展开后不含 项，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式中不含某一项问题，解题的关键在于能够熟知不含某一项，即该项的系
数为0．
【变式训练3】（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）（1）试说明代数式
的值与 、 的值取值有无关系；
（2）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【答案】（1）代数式 的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；
（2）1；（3）k=20，另一个因式为： ．
【解析】
【分析】
（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；
（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；
（3）由题意得 = ，进而即可求解．
【详解】
解：（1）＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t
＝s2＋s．
故代数式 的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵（ ）（ ）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，
∴2a+b=0，-2b=-4，
∴a=-1，b=2，
∴ = ；
（3）∵二次三项式 有一个因式是 ，
∴ = = ，
∴2m-5=3，5m=k，
∴m=4，k=20，另一个因式为： ．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．
【类型四 多项式乘多项式与图形面积问题】
例4．（2022·江西南昌·八年级期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算
它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长
为c、b的长方形纸片．请解答下列问题：
（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝ ；
（2）请写出图3中所表示的数学等式： ；
（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）
（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝ ．（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b＝ ，求2a+b的值．
【答案】（1）a2+3ab+2b2；（2）（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2；（3）画图见详解，2a2+3ab+b2；（4）5
【解析】
【分析】
（1）根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；
（2）根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；
（3）先画出长方形，再根据长方形面积的两种算法，即可得到答案；
（4）根据（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵长方形的面积=a2+3ab+2b2，长方形的面积=（a+b）（a+2b），
∴（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，
故答案是：a2+3ab+2b2；
（2）∵长方形的面积=3a2+4ab+b2，长方形的面积=（3a+b）（a+b），
∴（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2，
故答案是：（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2；
（3）如图所示：
∴（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，
故答案是：2a2+3ab+b2；
（4）∵4a2+6ab+2b2＝5，
∴2a2+3ab+b2= ，
∵a+b＝ ，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，
∴2a+b= ÷ =5．【点睛】
本题是一个阅读理解问题，考查了多项式乘多项式的几何背景问题及因式分解的应用，与几何图形相结合，
通过面积法直观理解、几何图形之间的数量关系对多项式乘法做出几何解释是解题的关键．
【变式训练1】（2021·湖南长沙·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得
到一个数学等式，例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 ，求 的值．
（3）小明同学用图 中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形 张边长分别为 的长方形纸片拼
出一个面积为 长方形，求 的值．
【答案】（1） ；（2）14；（3）121
【解析】
【分析】
（1）根据图形，利用面积的不同计算方法可以写出相应的等式；
（2）根据（1）中的结果和 ，可以求得所求式子的值；
（3）将 展开，即可得到x、y、z的值，本题得以解决．
【详解】
解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是： ，
故答案为： ；
（2）∵ ，∴ ，
∴ ；
（3）由题可知，所拼图形的面积为： ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练2】（2021·河南南阳·八年级阶段练习）老师出了一道题，让学生计算（a＋b）（p＋q）的值．
（1）填空：小聪发现这是道“多×多”的问题，直接利用多项式的乘法法则计算即可，（a＋b）（p＋q）
＝ ；
小明观察这个式子后，发现可以把这个式了看成长为（a＋b），宽为（p＋q）的长方形，式子的结果就是
长方形的面积；如图，通过分别大长方形为四个小长方形，就可以用四个小长方形的面积表达这个大长方
形的面积_______．
比较大长方形和四个小长方形的面积我们可以得到等式：_______．
（2）请你类比上面的做法，通过画出符合题意得图形，利用分割面积的方法计算（a＋b）（a＋2b）．
【答案】（1） ， ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据多项式乘以多项式的法则直接计算即可；
（2）画一个长为 ，宽为 的长方形即可．
【详解】解：（1） ，
大长方形的面积为： ，
可以得到等式为： ，
故答案为： ， ， ；
（2）如图所示： ．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是利用数形结合的思想来求解．
【类型五 多项式乘多项式与规律探究问题】
例5．（2020·福建·石狮市中英文实验学校八年级阶段练习）探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：
．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4） B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
【答案】（1）x3﹣1，8x3﹣y3；（2）a3﹣b3；（3）C；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；
（3）判断各选项是否符合公式的特点；
（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．
【详解】解：（1）（x-1）（x2+x+1）
=x3+x2+x-x2-x-1
=x3-1；
（2x-y）（4x2+2xy+y2）
=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3
=8x3-y3；
故答案为：x3-1；8x3-y3；
（2）从第（1）问发现的规律是：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，
故答案为：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；
（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；
B．最后一项应该是4n2，不符合题意；
C．符合题意；
D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．
故选：C．
（4）A=109-1
=（103）3-1
=（103-1）（106+103+12）
=999×1001001
=3×3×3×37×1001001，
∴A能被37整除．
【点晴】
本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．
【变式训练1】（2022·江苏·七年级专题练习）观察下列各式：
……
（1）根据以上规律， ______；（2）你能否由此归纳出一般规律： ______；
（3）根据以上规律求 的结果．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据已知等式的规律即可求出结论；
（2）根据已知等式的规律即可求出结论；
（3）将x=2，n=2018代入（2）的公式中即可求出结论．
【详解】
解：（1）根据已知等式的规律可得：
故答案为： ；
（2）
故答案为： ；
（3）令x=2，n=2018
由（2）可得 ．
【点睛】
此题考查的是探索运算规律题，找出运算规律并归纳公式是解决此题的关键．
【变式训练2】（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算
法》中提出右表，此表揭示了 （ 为非负数）展开式的各项系数的规律，通常称它为“杨辉三角”，
杨辉三角的发现要比欧洲早四百多年，它与勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示
了我国古代劳动人民的卓越智慧与才能．例如：规定：
那么， ，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据以上规律， 展开式共有________项，系数分别为________……
根据以上规律，写出 的展开式： =________
【答案】五；1，4，6，4，1；
【解析】
【分析】
由图可知，从第三行开始，除去首项和最后一项，其余项应该等于上一行与其列数相同的数+上一行前一
列的数．那么第五行的五个数就应该是1，4，6，4，1．即可得到答案．
【详解】
解：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
所以（a+b）4的展开式有五项，系数分别为：1，4，6，4，1．
故答案为：五；1，4，6，4，1．
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查完全平方公式的推广，读懂题目信息，准确找出规律是解题的关键，这类题型在中考中经常出现．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【变式训练3】（2021·山西省灵石县教育局教学研究室八年级期中）（1）探究发现：
小明计算下面几个题目
① ；② ；③ ；④
后发现，形如 的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算 ，发现这个规律是正确的．小明记得学
习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右
面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了
因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式： .
【答案】（1）x， ，pq；（2）如图见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论
（2）通过总结（1）的计算结果： 在结合图形的面积，即可已得到答案．
（3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可
得到答案．
【详解】（1） ，
，
，
，
总结规律为：
（2）根据（1）中总结的规律：
结合图形的面积可知： 为长方形的面积，
则 为长方形的宽， 为长方形的长，
所以答案如图：
（3）按照小明发现的规律：
【点睛】
本题主要考查了多项式乘法中最基本的两个一次系数为1的一次二项式的乘法，通过运算能总结出规律是
解题关键．
【专项训练】
一、选择题1．（2022·福建·泉州五中八年级期末）若 的结果中不含 项，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含x的平方的项的系数为0，求出a即可．
【详解】
解：（x2+ax+2）（2x-4）
=2x3+2ax2+4x-4x2-4ax-8
=2x3+（-4+2a）x2+（-4a+4）x-8，
∵（x2+ax+2）（2x-4）的结果中不含x2项，
∴-4+2a=0，
解得：a=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
2．（2022·贵州遵义·八年级期末）若 ， 则 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
，代值求解即可．
【详解】
解：∵
∴(1−2x)(1−2y)=−1
故选B．
【点睛】
本题考查了代数式求值．解题的关键在于将代数式化成与已知式子相关的形式．3．（2022·北京东城·八年级期末）若 的运算结果中不含 项和常数项，则m，n的值分
别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m，n的值；
【详解】
解:
=
=
∵结果中不含 项和常数项
∴3-m=0，3n=0
∴ ，
故答案为D
【点睛】
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题
4．（2022·全国·七年级）将关于x的多项式 +2x+3与2x+b相乘，若积中不出现一次项，则b＝_____．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】
根据多项式乘法法则，乘完后，合并同类项，令x的系数为零即可．
【详解】
解：根据题意得：（ +2x+3）（2x+b）＝2 +（4+b） +（6+2b）x+3b，
由积中不出现一次项，得6+2b＝0，
解得：b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题考查了多项式的乘法中不含某项的问题，熟练掌握多项式的乘法及正确合并是解题的基础．
5．（2022·八年级期末）图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________．
【答案】(x＋2y)(x＋y)＝
【解析】
【分析】
根据图形，从两个角度计算长方形面积即可求出答案．
【详解】
解：大长方形的面积=(x＋2y)(x＋y)，
大长方形的面积= ，
∴(x＋2y)(x＋y)＝ ，
故答案为：(x＋2y)(x＋y)＝ ．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则．
6．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）对a，b，c，d定义一种新运算： ，如，计算 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据新定义规则把行列式化为常规乘法，利用多项式乘法法则展开，合并同类项即可．
【详解】
解： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查新定义，整式的乘法混合运算，掌握新定义规则，整式的乘法混合运算法则是解题关键．
三、解答题
7．（2021·全国·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）先提出一个负号，然后利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；
（3）先用 ，再利用多项式乘以多项式的计算方法求解即可；
（4）先计算多项式乘以多项式，然后利合并同类项求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学八年级期中）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，【解析】
【分析】
利用单项式乘以多项式计算法则及多项式乘以多项式法则去括号，合并同类项，由 推出
，再整体代入计算可得答案．
【详解】
解：原式= = ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= ．
【点睛】
此题考查整式的化简求值，利用整体代入法求值，正确掌握整式的乘法法则是解题的关键．
9．（2022·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值： ，其中 ，
【答案】 ， 1
【解析】
【分析】
先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把 ， 代入计算，即可
得到答案．
【详解】
解：
；当 ，
原式 ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
10．（2021·重庆实验外国语学校七年级期末）先化简，再求值：ab [（2a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣
b）]，其中a、b满足：（a+2）2+|b﹣1|＝0．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
根据整式的乘法运算化简，再根据非负性求出a，b，代入即可求解．
【详解】
ab [（2a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）]
= ab （2a2-2ab+ab-b2﹣2a2+2ab）
= ab （ab-b2）
= ab ab b2
=
∵（a+2）2+|b﹣1|＝0
∴a+2=0，b﹣1=0
∴a=-2，b=1
∴原式= ．
【点睛】
本题考查了绝对值和偶次方的非负性，整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运算法则和乘
法公式进行化简是解此题的关键．11．（2021·四川·达州市第一中学校七年级期末）（1）先化简，再求值： ，
其中x＝-1，y＝2．
（2）已知A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，且A﹣2B的值与x的取值无关，求5a﹣1的值．
【答案】（1）﹣2x2y﹣xy2，0；（2）1
【解析】
【分析】
（1）运用整式的四则混合运算法则，先化简再代入求值即可．
（2）与x取值无关，即与x相乘的代数值为0即可．
【详解】
解：（1）原式＝5x2y﹣3xy2﹣7x2y+2xy2
＝﹣2x2y﹣xy2，
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣2×（-1）2×2﹣（-1）×22＝﹣4+4＝0；
（2）∵A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，
∴A﹣2B＝（2x2+3ax﹣2x﹣1）﹣2（x2﹣ax+1）
＝2x2+3ax﹣2x﹣1﹣2x2+2ax﹣2
＝5ax﹣2x﹣3
＝（5a﹣2）x﹣3，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5a﹣2＝0，
解得：a＝ ，
当a＝ 时，5a﹣1＝2﹣1＝1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式的化简，运算顺序：先乘方；再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的：去
括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．与x的取值无关是指合并同类项以后，所有含x的项
的系数为0，那么无论x取什么值，都不会影响函数式的值．
12．（2021·全国·七年级期末）若 的积中不含x项与 项
（1）求p、q的值；（2）求代数式 的值
【答案】（1） ， ；（2）3
【解析】
【分析】
（1）先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数合并关于x的同类项，令
x2及x的系数为0，分别求出p、q的值．
（2）把p、q的值代入求解即可．
【详解】
解：（1）
=
=
又∵式子展开式中不含x2项和x项，
∴ ，
解得， ，
（2）当 ， 时，
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
13.（2021·河南·八年级阶段练习）已知将 展开的结果不含 和 项，（m、n为常
数）
（1）求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，求 的值．（先化简，再求值）
【答案】（1） ；（2） ，-1792
【解析】【分析】
（1）先按照多项式乘以多项式的计算法则展开，根据题意不含 和 项，则展开项的 和 项的系数为
0，据此列出方程组，解方程组即可求得 的值；
（2）先将代数式化简，再根据（1）中的结论，将 的值代入代数式求解即可．
【详解】
解：（1） ，
，
由题意得： ，
解得： ；
（2）
，
当 ， 时，
原式
【点睛】
本题考查了整式的乘法运算，整式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
14．（2021·上海奉贤·七年级期中）小红准备完成题目：计算（x2 x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式
的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一
次项系数是多少？
【答案】（1） ；（2）1
【解析】【分析】
（1）根据多项式的乘法进行计算即可；
（2）设一次项系数为 ，计算 ，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，
据此即可求得 的值，即原题中被遮住的一次项系数．
【详解】
解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）
（2）设一次项系数为 ，
答案是不含三次项的
【点睛】
本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
15．（2021·江苏盐城·七年级期中）小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣3），由于他抄错了多项
式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx+12
（1）求a，b的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】（1）a=4，b=-17；（2）6x2-x-12．
【解析】
【分析】
（1）根据多项式乘多项式的法则进行解答，得出−4−3a＝b，−2a＝10，再进行计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘多项式的法则进行解答即可．
【详解】
解：（1）由题意得（3x-a）（2x﹣3）＝6x2＋（−9−2a）x＋3a＝6x2+bx+12，
∴−9−2a＝b，3a＝12，解得：a＝4，b＝−17；
（2）依题意可得（3x+4）（2x﹣3）＝6x2−9x＋8x−12＝6x2-x-12．
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 = ，如 = ．
（1）若 =4，求 的值；
（2）若 的值与x无关，求nm值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据新定义行列式的运算法则，变形，利用多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项，解一元一
次方程即可；
（2）根据新定义行列式的运算法则，变形，利用多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项，利用与x无
关，得出 ，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵ =4，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
解得 ；
（2）∵ = ，= ，
=
= ，
∵ 的值与x无关，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查新定义行列式计算，多项式乘以多项式运算法则，多项式与x无关型，掌握新定义行列式计算，
多项式乘以多项式运算法则，多项式与x无关型是解题关键，本题是知识创新型，考查学生观察，分析问
题，知识迁移能力．
17．（2022·北京八中八年级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项
式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为________；
(2)求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，-4，4）的特征多项式的乘积；
(3)若有序实数对（p，q，-1）的特征多项式与有序实数对（m，n，-2）的特征多项式的乘积的结果为
2x4+x3-10x2-x+2，直接写出（4p-2q-1）（2m-n-1）的值为________．
【答案】(1)(3，2，-1)
(2)
(3)-6
【解析】
【分析】
（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x=-2即可得出答案．
(1)
解：关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为 （3，2，-1），
故答案为：（3，2，-1）；
(2)
解：∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，
有序实数对（1，-4，4）的特征多项式为：x2-4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2-4x+4）
=x4-4x3+4x2+4x3-16x2+16x+4x2-16x+16
=x4-8x2+16；
(3)
解：根据题意得（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2，
令x=-2，
则（4p-2q-1）（4m-2n-2）=2×16-8-10×4+2+2，
∴（4p-2q-1）（4m-2n-2）=32-8-40+2+2，
∴（4p-2q-1）（4m-2n-2）=-12，
∴（4p-2q-1）（2m-n-1）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值-2是解题的关键．
18．（2021·北京·101中学八年级期中）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以
含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式 ，
代数式的值与x的取值无关， ，解得 ．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；（2）已知 ， ，且 的值与x的取值无关，求m的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中
未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S，左下角的面积为S，当AB的长变化时，
1 2
的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项。因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为
0；
（2）先根据多项式的加减计算 ，再按照（1）的方法求得 的值；
（3）设 ，分别用含 的代数式求得 ，进而根据题意结果与 无关，根据（1）的方法求得
的关系．
【详解】
（1）
代数式的值与x的取值无关，
解得
（2） ，
，代数式的值与x的取值无关，
解得 ；
（3）设 ，则
，
当AB的长变化时， 的值始终保持不变，
．
即 ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，理解题意是解题的关键．
19．（2021·江西抚州·八年级期中）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现：
……
(1)启航小组提出的问题是：试求 的值，请你合理推算；
(2)展翅小组提出的问题是：判断 的值的末位数是几，请你写出推断过程；
(3)创新小组提出的问题是：计算 ，请你认真思考并写出解题过程．
【答案】(1)63(2) 的末位数字是3，推断过程见解析
(3) ，解题过程见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知 ，然后计算求解即可；
（2）由题意知，原式 ，从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、
6……，可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环， ，可知 的末位数字是4，
进而可知 的末位数字；
（3） 可写成 的形式，然后进行计算即可．
(1)
解：
(2)
解：由题意知：原式
从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……
可推导一般性规律为：末位数以4为周期进行循环
∵
∴ 的末位数字是4
∴ 的末位数字是3 ．
(3)
解：【点睛】
本题考查了多项式乘法规律的探究．解题的关键与难点在于理解运算过程并推导出一般性规律．
20．（2022·江西宜春·八年级期末）观察下列各式：
；
；
；
……
根据这一规律计算：
(1) ______； ______；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）观察已知等式，归纳总结确定出所求即可；
（2）将原式变形为 ，根据所得规律计算即可.
(1)
解：归纳总结得： ；
；
故答案为： ；
(2)
解：原式= = .
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，观察等式发现规律是解题关键．
21．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ （n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝ ．
【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；
（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．
【详解】
解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
故答案是： x4−1；
（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，
理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）
= xn＋1−1，
故答案是：xn＋1−1；
（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）
= ﹣32100×4÷8÷380
= -
= ；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3
=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3=2×（32018+32016+32014+……+32）+3
=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3
=2× +3
=2×
= ，
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋
1−1，是解题的关键．
22．（2022·福建·厦门市逸夫中学八年级期末）阅读材料一： 可以展开成一个有规律的多项式：
；
；
；
；
……
阅读材料二：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对
展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中
第二行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中的系数，(1)结合两个材料，写出 的展开式：
(2)多项式 的展开式是一个_____次_____项式？并预测第三项的系数是_____；
(3)请你猜想多项式 取正整数）的展开式的各项系数之和，并进行合理说明（结果用含字母 的代
数式表示）；
(4)利用材料中的规律计算： （不用材料中的规律计算不给分）．
【答案】(1)5，10，10，5
(2) ， ，
(3) ，理由见解析
(4)1
【解析】
【分析】
（1）根据材料二的规律即可得；
（2）根据 归纳出规律，由此即可得；
（3）先求出 的展开式的各项系数之和，再归纳出一般规律，由此即可得；
（4）参考 的展开式即可得．
(1)
解：由材料二得： ，
故答案为：5，10，10，5；
(2)解： 是一次二项式， 的展开式是二次三项式， 的展开式是三次四项式，
则多项式 的展开式是 次 项式，
由材料二的图可知， 的第三项的系数是 ，
的第三项的系数是 ，
的第三项的系数是 ，
的第三项的系数是 ，
归纳类推得： 的第三项的系数是 ，
故答案为： ， ， ；
(3)
解：多项式 取正整数）的展开式的各项系数之和为 ，理由如下：
的展开式的各项系数之和是 ，
的展开式的各项系数之和是 ，
的展开式的各项系数之和是 ，
的展开式的各项系数之和是 ，
归纳类推得：多项式 的展开式的各项系数之和为 ；
(4)
解：
．【点睛】
本题考查了多项式的乘法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
23．（2021·重庆市第二十九中学校八年级期中）阅读材料：小明遇到这样一个问题：求计算
所得多项式的一次项系数．
小明想通过计算 所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是
否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找 所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用 中的一次项x系数1乘以 中的常数项3，再用 中的常数项2乘以 中
的一次项x系数2，两个积相加 ，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算 所得多项式的一次项系数．可以先用 的一次项x系数1，
的常数项3， 的常数项4，相乘得到12；再用 的一次项x系数2， 的常数项2，
的常数项4，相乘得到16；然后用 的一次项x系数3， 的常数项2， 的常数项3，相
乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算 所得多项式的一次项系数为_______________．
（2）计算 所得多项式的一次项系数为_______________．
（3）若计算 所得多项式的一次项系数为－2，求a的值．
（4）若 是 的一个因式，求 的值．
【答案】（1）12；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）利用阅读材料中的方法求出两个数，再相加即可得；（2）利用阅读材料中的方法求出三个数，再相加即可得；
（3）根据阅读材料中的方法求出一次项系数，从而可得一个关于 的一元一次方程，解方程即可得；
（4）设多项式 的另一个因式为 ，根据各项的系数分别求出 的值，再代入计算
即可得．
【详解】
解：（1）因为 ，
所以计算 所得多项式的一次项系数为12，
故答案为：12；
（2）因为 ，
，
，
所以计算 所得多项式的一次项系数为 ，
故答案为： ；
（3）因为 ，
，
，
所以计算 所得多项式的一次项系数为 ，
又因为计算 所得多项式的一次项系数为 ，
所以 ，
解得 ；
（4）设多项式 的另一个因式为 ，
则 ，
由三次项系数得： ，解得 ，由常数项得： ，
由一次项系数得： ，
由二次项系数得： ，
则 ．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式等知识点，掌握理解阅读材料中的方法是解题关键．
