专题 44 推理与证明、算法初步
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
推理与证明、算法初步近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2020年新课标II（文科），第7题,5分 程序框图
2020年新课标I（文科），第9题,5分 程序框图
2021年新高考I卷，第16题,5分 归纳推理
2022年全国乙（理科），第6题,5分
程序框图
2022年全国乙（文科），第7题,5分
2023年北京卷，第10题,5分 数学归纳法
2023年全国甲（理科），第3题,5分
程序框图
2023年全国甲（文科），第6题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.主要考察的是逻辑推理能力。需要掌握并运用各种推理方法，如归纳推理、类比推理等。
同时需要注意，推理过程需要符合逻辑，结论需要经过证明才能确定为真；
2.主要考察的是编程和算法基础。需要理解算法的概念、表示方法、基本结构等，同时需要
掌握一些基本的算法，如排序、查找等。在解题时，需要能够分析算法的时间复杂度、空间
复杂度等，并能够根据问题选择合适的算法进行解决；
【备考策略】1.需要理解推理与证明和算法初步的基本概念和基础知识，如基本概念的定义、性质、定理
等，以及算法的基本结构和步骤；
2.需要学习和掌握一些经典的推理和证明方法，如直接证明、间接证明、数学归纳法、反证
法等，以及常用的算法，如排序、查找等；
3..结合实际应用场景来学习和理解推理与证明和算法初步的知识，如利用算法解决实际问题、
利用逻辑推理解决争议等；
4.在解题时，需要注意细节和规范，如逻辑推理的严密性、算法实现的正确性等；
【命题预测】1.推理与证明：这部分的命题可能会涉及各种逻辑推理和证明方法，如归纳推理、类比推理、
反证法等。题目可能会给出一些条件，要求考生根据这些条件进行推理和证明。同时，考生
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】需要注意推理过程的严密性和正确性；
2.算法初步：这部分的命题可能会涉及各种算法，如排序、查找、动态规划等。题目可能会
要求考生根据问题选择合适的算法进行解决，并分析算法的时间复杂度和空间复杂度。此外，
还可能涉及到程序设计和代码实现等方面；
知识讲解
一、合情推理
(1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征
的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出
猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
二、演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是
由一般到特殊的推理．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三、直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：―→―→―→…―→
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
四、间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛
盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当 取第一个值 时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立．
五、算法
1．算法的概念
（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。
（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。
2．算法的特征：
①指向性：能解决某一个或某一类问题；
②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一
步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前
一步”的继续.
③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。
3．算法的表示方法：
（1) 用自然语言表示算法: 优点是使用日常用语, 通俗易懂；缺点是文字冗长, 容易出现歧义；
（2) 用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象, 易于理解。
注：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。
六、流程图
1. 流程图的概念：
流程图，是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符合表示操作的
内容，流程线表示操作的先后次序。
2.流程图常用符号：
图形符号 名称 含义
开始/结束框
用于表示算法的开始与结束
输入/输出框
用于表示数据的输入或结果的输出
处理框
描述基本的操作功能，如“赋值”操作、数
学运算等
判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标
明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或
“N”
流程线
表示流程的路径和方向
连接点
用于连接另一页或另一部分的框图
注释框
框中内容是对某部分流程图做的解释说明
3.画流程图的规则：
(1)使用标准的框图的符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框是具有超过一个退出点的唯一符
号；
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种
不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
4.算法的三种基本逻辑结构：
（1)顺序结构：由若干个按从上到下的顺序依次进行的处理步骤（语句或框）组成。这是任何一个算法都
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】离不开的基本结构。
（2)条件结构：算法流程中通过对一些条件的判断，根据条件是否成立而取不同的分支流向的结构。它是
依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。
（3)循环结构：根据指定条件，决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构。
七、基本算法语句
程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计
语言都包含输入输出语句 、赋值语句、条件语句和循环语句。以下均为BASIC语言。
1.输入语句
这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。每次运行程序时，计算机每次都把新输入的值赋
给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
注：
①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开，但最后的变量的后面不需要。
2.输出语句
它的一般格式是：PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息；
（2）输出数值计算的结果。
3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是：变量=表达式
赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
注：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”与“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）。
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
4.条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。
它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则
执行ELSE后的语句2。
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
IF 条件 THEN
语句
END IF
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行 判
断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语
句。
注：条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。
需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有
当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构，即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
WHILE 条件
循环体
WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体
或跳出循环体的。当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND
之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一
次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
（2）UNTIL语句的一般格式是：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
考点一、归纳推理
1．观察下列等式：
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
；
；
……
照此规律， ________.
【答案】
通过类比，可以发现，最前面的数字是 ，接下来是和项数有关的两项的乘积，
即 ，故答案为： .
2．观察下列不等式： ， ， ，…，可归纳的一个
不等式是 __________ （ 且 ）．
【答案】
不等式右边是从 开始的逐渐增加1，
每个式子的左边的分母逐渐增加1，末项分母分别为 ．
所以归纳的一个不等式是
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．设函数 ，观察 ， ，
，根据以上事实，由归纳推理可得第5个等式为______.
【答案】
由题意得： ，
.
故答案为： .
2．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难
题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是
__________．
【答案】144
由题意及图形知，不妨构造数列 表示第 行实心圆点的个数的变换规律，
其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．
故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．
即 ，且 时， ，
故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．
考点 二 、类比推理
1．“已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 ”给有如下的一种解法：
解：由 的解集为 ，得 的解集为
即关于 的不等式 的解集为
类比上述解法：若关于 的解集为 ，则关于 的不等式
的解集为____________．
【答案】
根据题意:由关于 的解集为 得:
的解集为 ,
即 的解集为 .
2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表
无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 确定x＝2，则 ＝________．
【答案】
令 ，即 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ， （舍），故 ．
1．①用数学归纳法证明不等式 ＜n（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k到n＝k+1，不
等式的左边增加了2k﹣1项.
②一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′（x ）＝0，那x＝x 为函数f(x)的极值
0 0
点因为f(x)＝x3满足f′（0）＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点此三段论的结论错误是因为大前提错误；
③在直角△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径为r＝ .运用此类比推理，
若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为R＝
.
以上三个命题不正确的是 .
【答案】①③.
解：对于①，当 时，不等式左边为1+ +…+ ，
当 时，不等式左边为1+ +…+ +…+ ，
可得增加了 项，故①错误；
对于②，如果 ，则 不一定函数 的极值点，若 在 处附近导数同号，就不
是极值点，故②正确；
对于③，可将三棱锥补为以互相垂直的三条侧棱为边的长方体，可得长方体的对角线为外接球的直径，
可得该三棱锥外接球的半径为R＝ ，故③错误.
2．在直角 中，若 ， ， ，则 外接圆半径为 ．运用此
类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为
________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为 ， ， ，可补成一个长方体，体对角线长为
，
体对角线就是外接球的直径， 棱锥的外接球半径 ．
考点 三、演绎推理
1．设m为实数,利用三段论求证:方程 有两个相异实根.
【答案】
大前提：一元二次方程 中,若 ,则方程有两个相异实根,
小前提：方程 中, ,
结论：所以方程 有两个相异实根.
2．已知“三段论”中的三段：① 可化为 ；②
是周期函数；③ 是周期函数．其中为小前提的是__________．（填写序号）
【答案】①
【解析】大前提② 是周期函数；
小前提① 可化为 ；
结论③ 是周期函数.
故答案是①
1．设有三个命题：“①0＜ ＜1.②函数f(x)＝ 是减函数．③当0＜a＜1时，函数 减
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是________．(填序号)
【答案】①将以上命题写成三段论形式：
大前提：③当 时，函数 减函数”，小前提：①0＜ ＜1，
结论：②函数 是减函数.
故答案为：①
2．利用导数和三段论证明：函数 在 上是增函数．（必须用三段论，否则0分）
【答案】
如果函数 在其定义域上，有 ，那么函数 在其定义域上为增函数．
因为函数 在 上，有 ，
当 时 ，
所以函数 在 上是增函数．
考点 四、 综合法的应用
1．设 ，用综合法证明： ．
【答案】证明见解析.
证明如下：
又 ，而
故
即
2．用综合法证明：如果 ，则 .
【答案】见证明
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意，当 时，有 ，
根据对数函数的单调性，可得 ，
∴ ，∴ .
1．已知a､b､c>0，求证： .
【答案】证明见解析
证明：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
同理， ， ，当且仅当 等号成立
将三式相加得， .
∴ .
∴ .
2．已知 .
（I）试猜想 与 的大小关系；
（II）证明（I）中你的结论.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】（I）取 ，则 ， ，则有 ；
再取 ，则 ， ，则有 .
故猜想 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（II）令 ，则 ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
即 ，
故 .
3．已知： ；
；
.
通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．
【答案】
【解析】已知 ；
；
.
发现三个角为公差是 的等差数列，形式为平方和等于定值
所以
证明：
等式左边可化为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】原式得证
考点 五、分析法的应用
1．已知a＞0，证明： － ≥a＋ －2.
【答案】证明见解析.
证明：要证 － ≥a＋ －2，
只需证 ≥ －(2－ )．
因为a＞0， ，
所以 －(2－ )＞0，
所以只需证 ≥ ,
即2(2－ ≥8－4 ，
只需证a＋ ≥2.
因为a＞0，a＋ ≥2显然成立当a＝ ＝1时等号成立，
所以要证的不等式成立．
2．用分析法证明：若a，b，m都是正数，且 ，则 .完成下列证明过程.
因为 ， ，所以要证原不等式成立，只需证明 ，即只需证明________.
因为 ，所以只需证明 ，由已知显然成立，所以原不等式成立.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解：因为 ， ，所以要证原不等式成立，只需证明 ，
而 可化为 ，
所以只需证明 即可.
1．若 ， ，则 的大小关系________.
【答案】 .
【解析】
假设 ，因为要证 ，只需要证 ，
只需要证 ，
只需要证 ，
只需要证 .
因为 成立，所以 .
2．要证明“ ”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是__________．（填序号）
①反证法 ②分析法 ③综合法
【答案】②
要证“ ”,
只需证“ ”,
即证“ ”,
只需证“ ”,
即证“ ”,显然成立,
故分析法更合理,
故答案为：②
3．用综合法或分析法证明：
（1） ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）如果 ， ，则 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
证明：（1）要证 ，只要证 ,
即 ，即证 ，这是显然成立的，所以，原不等式成立；
（2）当 ， 时，由基本不等式可得 ，所以，
.
当且仅当 时，等号成立.
考点 六、反证法的应用
1．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 .
【答案】证明见解析
在 中，由内角和定理得 ，
假设至少有一个内角大于或等于 不正确，则三个角都小于 ，即 ， ， ，
则 ，这与三角形内角和定理相矛盾，
故假设不成立，所证结论正确.
2．已知 是有理数， 是无理数，求证： 是无理数．
【答案】证明过程见解析.
假设 是无理数不成立，即 是有理数，
因为 是有理数，所以 是互质的整数 ，
因为 是有理数，所以 是互质的整数 ，
因此 ，因为 是整数，显然 也是整数，
故 是有理数，这与已知 是无理数矛盾，故假设不成立，所以 是无理数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（1）已知 ， .求证： ；
（2）在 中，内角 的对边分别为 .若 ，用反证法证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）证明 ， ，
， ，
可得 ， ，
又因为 ，
所以 .
（2）假设 ，
又因为 是三角形的内角，)
所以 ，
因为 ，可得 ，则 ，
所以 ，与 矛盾，
即假设不成立，因此 成立.
2．设x，y都是正数，且 ,证明： 和 中至少有一个成立.
【答案】证明见解析
证明：
（反证法）假设结论不成立，
即有 且 ，由已知 ，
所以有 且 ，
故 ，
与已知 矛盾，假设不成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以有 与 中至少有一个小于3成立.
3．（1）已知 ，证明：若 ，则a，b，c中至少有一个小于 ；
（2）已知 ，判断“ ”是“a，b，c中至少有一个小于 ”的什么条件？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.
（1）证明：假设 ， ， ，
则 ，这与 矛盾，
所以 中至少有一个小于 .
（2）由（1）可得 中至少有一个小于 ，
反之不一定成立，例如： ， ， ，则 ，
所以“ ”是“ 中至少有一个小于 ” 的充分非必要条件.
考点 七、 用数学归纳法证明等式
1．用数学归纳法证明：
【答案】证明见解析
证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边
②假设 时等式成立，
即
那么当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，
即等式成立.
综合①②可得等式成立.
2．用数学归纳法证明：
．
【答案】详见解析
证明（1）当 时，左边 ，右边 ，命题成立．
（2）假设 时，命题成立，即 ．
则当 时，
．
所以当 时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．
3．用数学归纳法证明： ．
【答案】答案见解析
证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，不等式成立；
②假设当 时，不等式成立，即 ，
则当 ，
左边=
=右边，
所以当 时不等式成立，
综上可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．是否存在常数 使得等式 对一切正整数 都成立？若存在，求出
值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】分别令 ，可得 ，解得 ．
故猜想等式 对一切正整数 都成立.
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上面的探求可知等式成立．
②假设 时猜想成立，
即 ．
当n=k＋1时，
．
所以当n=k＋1时，等式也成立．
由①②知猜想成立，即存在 使命题成立．
2．观察下列等式：
按照以上式子规律：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；（ ）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立.（ ）
【答案】(1) ， .(2)见解析.
（1）第5个等式为 ；
第 个等式为 ， .
（2）①当 时，等式左边 ，等式右边 ，所以等式成立.
②假设 时，等式成立，即
，（ ， ）
那么，当 时，
.
即 时等式成立.
根据①和②，可知对任何 ，等式都成立.
考点 八、 归纳—猜想—证明
1．如图，曲线 与直线 相交于 ，作 交 轴于 ，作 交曲线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于 ，……，以此类推.
（1）写出点 和 的坐标；
（2）猜想 的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】（1） ， ， ； ， ，
；（2） ，证明见解析.
（1）由 得： ，即 ；
直线 方程为： ，即 ，
令 ，解得： ， ；
直线 方程为： ，由 得： ，即 ；
直线 方程为： ，即 ，
令 ，解得： ， ；
直线 方程为： ，
由 得： ，即 ；
直线 方程为 ，即 ，
令 ，解得： ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）猜想 的坐标为 ，
设 ， ，则直线 的方程为： ，
令 ，解得： ， ，
直线 的斜率为 ，即 ，即 ，
，
用数学归纳法证明 的坐标如下：
①当 时， 满足 ；
②假设当 时， 成立，
那么当 时，由 得：
，解得： ，
即当 时， 成立；
综上所述： .
2．设 为正整数，如果表达式 同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①
， ；② ；③当 时， （
）；④规定：当 时， 也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数 可以表示为“交错和” ，求证： ；
（3）对于任意正整数 ，判断 一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
【答案】（1） 或 ； 或 ；（2）证明见解析；
（3）两种，证明见解析.
（1） 或 ， 或
（2）假设 ，
当 时， ，这与“n是正整数”矛盾！
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，因为 ，
所以
，
这与“n是正整数”矛盾！
故 .
(3)①首先 使 ,若
必有 ，这是因为若 ，不论m为奇数或偶数，由正负交错，
矛盾，
所以 .
② 时， 仅有 或 两种交错和表示.
(i)当n=1时，不难发现1=1, 均为交错和表示，且由①知 ，所以1仅
有1=1或 两种交错和表示.
(i)假设 仅有 或 两种交错和表示，又因为 或 为
的两种交错和表示，假设 又不同于上述两种交错和的
新表示 ，因为 为偶数，所以 ,
所以 为 的不同于 或
的交错和表示，与假设矛盾,
所以 或 为 的唯二交错和表示.
③ 时，n均只有两种交错和表示.
(i) 当n=3时，3=-1+4或3=1- 2+4为3的两种交错和表示，又由①知 ，
且 均不成立，所以3的交错和仅上述两种.
(ii) 假设对于 ，n均只有两种交错和表示，对于
，因为 ，其中 ,所以由归纳
假设及②知 仅两种交错和交错和表示，且 的交错和表示中相应的
(由①可得)，所以此时 已有两种交错和表示，若l还
有其他不同的交错和表示，此表示对应 ,所以 也有第三种交错和表
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】示，与假设矛盾，所以 ， l仅有两种交错和表示.
综上， 有两种交错和表示.
1．数列 满足 ， ， ，其中 为实数.
（1）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（2）设 ，证明： ；
（3）设 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
（1）必要性： ， ，又因为 ，解得 ；
充分性：设 ，对任意的 ，利用数学归纳法证明 .
当 时， ；
假设当 时， ，
那么当 时， ， ，
所以， .
由数学归纳法可知，对任意的 ， ；
（2）当 时，当 时， ，结论成立；
当 时， ， ，
，由（1）可知 ，则 ，
所以， ，
故 ，
故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，若 ，对任意的 ， ；
（3）若 ，当 时， ，结论成立；
当 时，由（2）可知， ，
则 ，
所以，
.
综上所述，若 ，对任意的 ， .
2．已知函数 ， （其中 ，且 ），
（1）若 ，求实数k的值；
（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析.
（1）
.
因为函数 与 具有相同的单调性，且都是单调函数，
是单调函数， .
（2）由 ，猜想： .
证明：
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
3．已知数列 的前n项和为 ，其中 且 .
（1）求 ；
（2）猜想数列 的通项公式，并证明．
【答案】（1） ， ，；（2）猜想 ，证明见解析.
（1）由题意，数列 满足 ，且 ，
可得 ， 即 ，
又由 ，可得 ，可得 .
（2）由 ， ， ，
猜想： ，
证明：当 时，由（1）可知等式成立；
假设 时，猜想成立，即 ，
当 时，由题设可得 ，
所以 ，
，又由 ，所以
，
所以 ，
即当 时，命题也成立，综上可得，命题 对任意 都成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点 九、程序框图
1．为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.
详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在
空白框中应填入 .
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择
结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明
确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
2．如图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】D
【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 ，故
填 ，又要求 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填 ，故选D.
点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地
设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据
选项排除.
3．执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】阅读流程图，初始化数值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】循环结果执行如下：
第一次： ；
第二次： ；
第三次： ；
第四次： ；
第五次： ；
第六次： ，
结束循环，输出 .故选B.
点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，
包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环
规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.
1．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】若 ,第一次进入循环， 成立， ， 成立，第二次进
入循环，此时 ， 不成立，所以输出 成立，所以输入
的正整数 的最小值是2.
2．执行如图的程序框图，如果输入的 ，则输出 的值满足（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ，不满足 ；
，不满足 ； ，满
足 ；输出 ，则输出的 的值满足 .
【点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题的形式出现,难度不大,求解此类问题只需按照
程序逐步列出运行结果.
3．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的
， ，依次输入的 为2，2，5，则输出的 （ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环：
；结束循环，输出 .
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择
结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明
确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
4．用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式 都成立．
【答案】证明见解析
证明：（1）当n＝2时，左边＝ ，右边 ，左边＜右边，成立；
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，不等式 都成立．
则当n＝k+1时，左边＝ ，
＝右边．
∴当n＝k+1时，不等式成立．
综上可得：对于任意大于1的正整数n，不等式 都成立．
5．证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ <2 (n∈N*)．
【答案】证明见解析
当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ，
当n＝k＋1时，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上，原不等式对任意n∈N*都成立．
6．试比较 与 的大小关系，并用数学归纳法证明.
【答案】答案见解析
证明：当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
猜测：当 时， ，
下面用数学归纳法证明猜测成立.
①当 时，由上可知猜测成立.
②假设 时，命题成立，即 ，
当 时，可得 ，
即 时命题也成立，由①②可得，当 时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【基础过关】
1．执行如图所示的程序框图，则输出的 ___________.
【答案】
【分析】由框图可知，此程序是计算1到19这19个自然数的和
【详解】解：由题意可得 .
2．执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】试题分析：根据程序框图，第一次循环时， ， ， ，符合
判断条件，继续执行循环， ， ， ，不符合判断条件，退出循环，
输出 ．
考点：程序框图．
3．已知 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯， 是单纯由碳原
子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.
已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为__________个.
【答案】12
设 中的正五边形的面有 个，根据每个顶点由三个面共用可得
，解得： .
4．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．A= B．A= C．A= D．A=
【答案】A
【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与
程序框图结构，即可找出作出选择．
【详解】执行第1次， 是，因为第一次应该计算 = ， =2，循环，执
行第2次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3， ，否，输出，
故循环体为 ．
【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ．
5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为 ，此类椭圆被称为
“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于________．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为 (a＞0，b＞0)，
则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以 ＝(c，b)， ＝(－a，b)．
易知 ⊥ ，所以 · ＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，又e＞1，所以e＝ .
6．运行如图所示的程序框图，若输入的 ， 的值分别为2，3，输出的 的值为111，则判断框中可以填
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】模拟程序的运行，当 时，确定n的值，即可得出答案.
【详解】运行该程序，第一次， ， ， ， ；第二次， ， ， ，
；
第三次， ， ， ， ；第四次， ， ， ， ，此时输出
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故判断框中可以填 .
7．执行下边的程序框图，则输出的 （ ）
A．87 B．89 C．91 D．93
【答案】B
【分析】根据给定的程序框图，可得该程序框图的计算功能，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，根据给定的程序框图，可得该程序框图的计算功能是 的求和，根
据等差数列的求和公式，可得 ，
要使得 且 ，可得 ，当 时，此时 ，所以输出
的结果为 .
8．执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照循环结构，依次计算即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 时， ； 时， ； 时， ； 时.
此时退出循环，输出的 .
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
A．171 B．190 C．210 D．231
【答案】B
【分析】根据所给数值，判断是否满足判断框中的条件，不满足继续循环，满足条件退出循环，得出结果.
【详解】由题意可得．
；
；
；
；
；
，
则输出 .
10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位
良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道
我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道甲、丁两人的成绩 B．乙、丁可以知道自己的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道乙、丙两人的成绩
【答案】B
【分析】根据所给信息进行分析推理，即可判断选项．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，
因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，
则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））学生的语文、数学成绩均被评定为三
个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少
有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，
并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【答案】B
【详解】试题分析：用 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得 的学生最多只有 个，语
文成绩得 也最多只有 个，得 的最多只有 个，因此人数最多只有 人，显然 满足条件，
故选B．
考点：合情推理的应用．
12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三
人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
【答案】A
【分析】利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次
为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙
的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑
推理能力的考查．
13．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚
脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”
便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两
个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
【答案】B
【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高．
【详解】头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 ≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于 ≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，
可得肚脐至足底的长度小于 ＝110，即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，即人的身高大于170 小于178 ,
14．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷））我国古代数学名著《九章算术》中
“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出
了已知球的体积 ，求其直径 的一个近似公式 . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据
判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，设选项中常数为 ，则 ； 中代入得 ，
中代入得 ， 中代入得 ， 中代入得 ，由于
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中值最接近 的真实值，故选择 .
15．（2011年江西省普通高中招生考试文科数学）.观察下列各式：则 ，…，则
的末两位数字为（ ）
A．01 B．43 C．07 D．49
【答案】B
【分析】依次计算 ，观察其后两位数，得出周期性后可得结论．
【详解】根据题意， ， ， ，则 的末两位数字为07，
进而可得 的末两位数字为49， 的末两位数字为43， 的末两位数字为01， 的末两位数字为07，
…
分析可得规律： 从2开始，4个一组，成周期性变化，即 的末两位数字依次为49、43、01、07，
则 72011的与 对应，其末两位数字43；
【能力提升】
1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果 ，则 的取值范围是______．
【答案】 （或写成 ）
【分析】根据流程图依次计算，再根据输出的结果 可得 的取值范围.
【详解】由 ， ；
， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ；
， ；
， 退出结束，
则 .
故答案为： .
2．执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】执行第1次， , ,
,是，循环，
执行第2次， ,是，循环，
执行第3次， ,是，循环，
执行第4次， ,是，循环，
执行第5次， ,是，循环，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】执行第6次， ,是，循环，
执行第7次， ,否，输出
.
考点：程序框图
3．如图是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析式子 的特征，可以得到程序框图的功能是求 的值，
观察循环量 的特征，得到结果.
【详解】由于程序框图的功能是求 的值，
分母 的初值为1，终值为19，步长为2，故程序共执行10次，
故循环变量 的值不大于10时，应不满足条件，继续执行循环，
大于10时，应满足条件，退出循环，故判断框内应填的是 .
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，解题思路如下：
（1）观察式子的特征，得到程序框图的功能；
（2）由式子的项数，得到循环量 的特征，得到结果.
4．执行如图所示的程序框图，结果是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出 的值，模拟程序的运行过
程，可得答案.
【详解】根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下：
17不是偶数， ， ， ；
52是偶数， ， ， ；
26是偶数， ， ， ；
13不是偶数， ， ， ；
40是偶数， ， ， ；
20是偶数， ， ， ；
10是偶数， ， ， ；
5不是偶数， ， ， ；
16是偶数， ， ， ；
8是偶数， ， ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4是偶数， ， ， ；
2是偶数， ， ， ；
【点睛】关键点睛：解题的关键是要读懂程序框图，模拟程序框图的运行过程，即突破难点.
5．设 ， （其中 ，且 ）
（1）请将 用 ， 来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广
【答案】（1） ；（2）结论为： ，
可以推广
（1）由题意得：
又
（2）由 ，即
推测：
证明：因为 ，
所以 ， ，
所以
可知 可以推广
6．已知 满足 ， ．
（1）求 ，并猜想 的表达式；
（2）用数学归纳法证明对 的猜想.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1）
（ ）
（2）见解析
【解析】（1）
猜想： （ ）
（2）下面用数学归纳法证明 （ ）
①当 时， ，显然成立；
②假设当 ）时，猜想成立，即 ，
则当 时，
即对 时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想 对一切 都成立.
7．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（辽宁卷））已知 ， ，其中
，设 ， ．
(1)写出 ；
(2)证明：对任意的 ，恒有 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意求出 、 、 ，即可猜想 ，再由数形归纳法证明，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】最后将 代入计算可得；
（2）首先得到 的解析式，根据函数的奇偶性与单调性，求出 得到结论即可；
【详解】（1）解：因为 ， ，
则 ， ，
， ，
即可猜想 ，
显然当 时上式成立，
假设 时成立，即 ，
所以 也成立，
所以 ，所以 .
（2）证明：当 时， ，
则 ，即函数 为偶函数，
又 ，且 ，所以当 时， ，
所以 在 上为增函数，所以 在 上为减函数，
所以对任意的 ， ， ，
又
，2，3， ，
所以
，
所以 ．
【点睛】思路点睛：本题解答的关键是理解题意，利用不完全归纳法得到 的解析式，再利用数学归
纳法证明，对于第二问主要是结合函数的奇偶性与单调性，转化为计算 ，再结合组合数公式及
性质计算.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知数列 、 、 、 ，其中 、 、
、 是首项为 ，公差为 的等差数列； 、 、 、 是公差为 的等差数列； 、 、 、
是公差为 的等差数列 .
(1)若 ，求 ；
(2)试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；
(3)续写已知数列，使得 、 、 、 是公差为 的等差数列， ，依次类推，把已知数列推广为无
穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
【答案】(1)
(2) ，且 的取值范围是
(3)答案见解析
【分析】（1）求出 的值，再由 可求得 的值；
（2）根据等差数列的定义可得出 关于 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得 的取值范围；
（3）根据题意归纳出：当 时，数列 、 、 、 是公差为 的等差数列，可以续写出已
知数列，并利用类似（2）中的方法归纳出 的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得 ， .
（2）解： ， ，
因为 ， .
（3）解：所给数列可推广为无穷数列 ，其中 、 、 、 是首项为 ，公差为 的等差数列，
当 时，数列 、 、 、 是公差为 的等差数列，
研究的问题是：试写出 关于 关系式，并求 的取值范围.
研究的结论可以是：由 ，
依次类推可得 ，
当 时， 的取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在数列 中，若 是正整数，且
，则称 为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）：
(2)若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ，分别判断当
时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
【答案】(1) （答案不唯一）；
(2) 的极限不存在， ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据“绝对差数列”的定义，列举一个符合题意的即可；（2）由绝对差数列题意可求得该数
列自第20项开始.每三个相邻的项周期地取值3,0,3.即可求极限；（3）根据定义,数列{an}必在有限项后出
现零项.再由反证法进行证明 必有零项.皮带秤第一次出现的零项为第n项,记 ,则自第n项
开始,每三个相邻的项周期地取值 .即可证明.
【详解】（1）由“绝对差数列”的定义，不妨取：
（答案不唯一）
（2）因为“绝对差数列” 中， ，
所以从第20项起， ， .
即自第20项开始每三个相邻的项周期地取值3,0,3.
所以当 时, 的极限不存在.
当 时, ,所以 .
（3）根据定义,数列 必在有限项后出现零项.
证明如下:假设 中没有零项,因为 所以对于任意的n,都有 ,从而当 时，
当 时，
即 的值要么比 至少小1,要么比 至少小1.
令 则 .
由于 是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与 ,矛盾.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而 必有零项.
若第一次出现的零项为第n项,记 ,则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值 .
即 （其中 ），
所以“绝对差数列” 中有无穷多个为零的项.
【点睛】（1）“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据
此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，
透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识；
（2）一些问题正面思考比较困难时，可以“正难则反”，利用反证法突破.
10．（2003年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））设 是定义在区间 上的函
数，且满足条件：
① ；
②对任意的 ，都有 ．
(1)证明：对任意的 ；
(2)证明：对任意的 ；
(3)在区间 上是否存在满足题设条件的奇函数 ；且使得 ，若
存在，请举一例；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）根据条件可得 ，进而即得；
（2）分类讨论，验证满足条件即得；
（3）利用反证法，结合条件得出矛盾即得.
【详解】（1）由题可知对任意的 ，有 ，
所以 ；
（2）对任意的 ，当 时，有 ，
当 时，有 ，设 ，则 ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上可得，对任意的 .
（3）不存在，理由如下：由 得， ，
又 所以， .
又 为奇函数，所以有 ，
由 得， ，
则 与前面结论矛盾，
所以假设不成立，这样的函数不存在.
【点睛】数学证明题有时候正面证明非常复杂，而且难度较大，这时候常用反证法.应用反证法时必须先否
定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出
发进行推理，就不是反证法．
11．（2003年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））设 是定义在区间 上的函
数，且满足条件：
① ；
②对任意的 ，都有 ．
(1)证明：对任意的 ；
(2)判断函数 是否满足题设条件；
(3)在区间 上是否存在满足题设条件的函数 ，且使得对任意的 ，都有
，若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2) 满足题设条件，详见解析；
(3)这样的函数不存在，详见解析.
【分析】（1）根据条件可得 ，进而即得；
（2）分类讨论，验证满足条件即得；
（3）利用反证法，结合条件得出矛盾即得.
【详解】（1）由题可知对任意的 ，有 ，
所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） 满足题设条件，
因为 ，
对于任意的 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，不妨设 ，则
；
所以 满足题设条件；
（3）这样的函数不存在，
假设存在函数 满足条件，则由 ，
可得 ，
又对任意的 ，都有 ，
所以 ，这与 矛盾，
所以假设不成立，即这样的函数不存在.
12．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（福建））等差数列 的前 项和为
．
（Ⅰ）求数列 的通项 与前 项和 ；
（Ⅱ）设 ，求证：数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【详解】（Ⅰ）由已知得 ， ，
故 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
假设数列 中存在三项 （ 互不相等）成等比数列，则 ．
即 ．
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
与 矛盾．
所以数列 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））设 和 是两个等差数列，记
，
其中 表示 这 个数中最大的数．
（Ⅰ）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得
是等差数列．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）分别代入求 ，观察规律，再证明当 时，
，所以 关于 单调递减. 所以
，从而得证；（Ⅱ）首先求 的通项公式，分
三种情况讨论证明.
试题解析：（Ⅰ）
，
.
当 时， ，
所以 关于 单调递减.
所以 .
所以对任意 ，于是 ，
所以 是等差数列.
（Ⅱ）设数列 和 的公差分别为 ，则
.
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此 .
此时， 是等差数列.
②当 时，对任意 ，
此时， 是等差数列.
③当 时，
当 时，有 .
所以
对任意正数 ，取正整数 ，
故当 时， .
【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，
本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，
即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能
力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生.
14．若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有性质 .
（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；
（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ， ，
判断 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有性质 ”的充要条件
为“ 是常数列”.
【答案】（1） ．（2） 不具有性质 ．（3）见解析．
【详解】试题分析：（1）根据已知条件，得到 ，结合 求解即可．
（2）根据 的公差为 ， 的公比为 ，写出通项公式，从而可得 ．
通过计算 ， ， ， ，即知 不具有性质 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为 ，所以 ， ， ．
于是 ，又因为 ，解得 ．
（2） 的公差为 ， 的公比为 ，
所以 ， ．
．
，但 ， ， ，
所以 不具有性质 ．
[证]（3）充分性：
当 为常数列时， ．
对任意给定的 ，只要 ，则由 ，必有 ．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设 不是常数列，则存在 ，
使得 ，而 ．
下面证明存在满足 的 ，使得 ，但 ．
设 ，取 ，使得 ，则
， ，故存在 使得 ．
取 ，因为 （ ），所以 ，
依此类推，得 ．
但 ，即 ．
所以 不具有性质 ，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意 ， 都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列”．
【考点】等差数列、等比数列、充要条件的证明、反证法
【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等
比数列的相关知识及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不
得法，二是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运
算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【真题感知】
1．（2023年全国高考甲卷数学（理）试题）执行下面的程序框图，输出的 （ ）
A．21 B．34 C．55 D．89
【答案】B
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【详解】当 时，判断框条件满足，第一次执行循环体， ， ， ；
当 时，判断框条件满足，第二次执行循环体， ， ， ；
当 时，判断框条件满足，第三次执行循环体， ， ， ；
当 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出 ．
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）执行下边的程序框图，输出的 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据框图循环计算即可.
【详解】执行第一次循环， ，
，
；
执行第二次循环， ，
，
；
执行第三次循环， ，
，
，此时输出 .
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】C
【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数 ，根据等差数列
求和公式即可求出．
【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的 是满足 的最小正奇数，
因为 ，解得 ，所以输出的 ．
【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前 项和公式的应用，属于基础题．
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，
则输出的k为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 值，模拟程序的运行过
程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 值
模拟程序的运行过程
第1次循环， ， 为否
第2次循环， ， 为否
第3次循环， ， 为否
第4次循环， ， 为是
退出循环
输出 .
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力
和计算能力，属于基础题.
5．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造 ，利用导数求得 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项 所
在区间，从而判断 的单调性；对于A，构造 ，判断得 ，
进而取 推得 不恒成立；对于B，证明 所在区间同时证得后续结论；对于C，记
，取 推得 不恒成立；对于D，构造
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，判断得 ，进而取 推得 不恒成立.
【详解】法1：因为 ，故 ，
对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立，
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，
故 为减数列，注意
故 ，结合 ，
所以 ，故 ，故 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立，
故A不成立.
对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，故 为增数列，
若 ，则 恒成立，故B正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为减数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若 ，若存在常数 ，使得 恒成立，
则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为增数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】法2：因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 或 或 ，
注意到 ， ，
所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ，
对于A，因为 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，即 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为 ，
当 时， ， ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又当 时， ，即 ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
此时，取 ，满足题意，故B正确；
对于C，因为 ，则 ，
注意到当 时， ， ，
猜想当 时， ，
当 与 时， 与 满足 ，
假设当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，所以 ，
综上： ，
易知 ，则 ，故 ，
所以 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
记 ，取 ，其中 ，
则 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 不恒成立，故C错误；
对于D，因为 ，
当 时， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故D错误.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合
放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
