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专题 4.1 导数的运算及几何意义
题型一 平均变化率和瞬时变化率
题型二 导数的定义运算
题型三 导数的四则运算和复合函数求导
题型四 求曲线切线的斜率（倾斜角）
题型五 曲线上一点处的切线问题
题型六 过一点的切点问题
题型七 已知切线（斜率）求参数
题型八 两切线的平行、垂直问题
题型九 公切线问题
题型一 平均变化率和瞬时变化率
例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数
的图象，函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，则 ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在 时，
半径为 .当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当
温度为 时铁球的半径为 ，其中 为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬
时变化率为（ ）
A．0 B． C． D．练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路
程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段 ， ， ， 上的平均速度
的大小分别为 ， ， ， ，则平均速度最小的是（ ）
A． B． C． D．
练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数 在区间 上的平均变化率
为（ ）
A．2 B．6 C．12 D．48
练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照
射的关系近似满足函数关系式： ，其中 为蜥蜴的体温（单位： ），
为太阳落山后的时间（单位： ）．
(1)求 ，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为 时的时刻 是多少（精确到 ）？
练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水
缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数
的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为
（g为常数），该小球在 到 的平均速度为 ，在 的瞬时速度为 ，
则 和 的大小关系为 ________ （填“ ”，“ ”或“ ”）
题型二 导数的定义运算
例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知 ，
则 （ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
例4．若 在 处可导，则 可以等于（ ）．
A． B．
C． D．
练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．0
练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数 ，则
________．练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是
，则 （ ）
A． B． C． D．
练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数 在 处可导，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：
（ ）
A．0 B． C． D．
题型三 导数的四则运算和复合函数求导
例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函
数 的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已
知函数的导函数
(1)
(2)(3)
(4)
练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) .
练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数 ，则
________.
练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数 的导函数的定义
域为__________.
题型四 求曲线切线的斜率（倾斜角）
例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线在点 处的切线斜率是（ ）
A． B． C． D．
例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数
与 的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示， 是函数
的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线 与曲线
相切，则k的取值范围是（ ）A． B． C． D．
练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数 的导函数为 ， 的图
象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线
上一动点， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线 在
处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五 曲线上一点处的切线问题
例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线
在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ，
则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数
，则 在 处的切线方程为_______．
练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数 ，若 的图
象在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则 （ ）
A． B．2 C．±2 D．
练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数 在点 处的
切线方程为______________．
练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数 的图象在点 处
的切线方程为__________．
题型六 过一点的切点问题
例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线
过点 的切线方程为______________________.例12．已知经过点 的两条直线 ， 均与曲线 相切，若直线 的方程为
，则m的值为______，直线 的方程为______．
练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切点的横坐标
为___________.
练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线
，过点 作曲线的切线，则切线方程________．
练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过 轴上一点 作曲线 的
切线，若这样的切线不存在，则整数 的一个可能值为_________．
练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点 且与曲线 相
切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线
的切线，则切线的条数为_______________．
题型七 已知切线（斜率）求参数
例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与直
线 平行，则实数 的值为________.
例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数a＝
（ ）
A．0 B． C． D．练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线 在点
P处的切线与直线 垂直，则P点的横坐标为___________.
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线 在点
(0, )处的切线方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线 是曲线 的切
线，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点 不在函数
的图象上，且过点 能作两条直线与 的图象相切，则 的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．
练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，过点 存在3
条直线与曲线 相切，则实数 的取值范围是___________.
题型八 两切线的平行、垂直问题
例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线 ，
过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为
，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，曲线 上存在分别以 和 为切点的两条互相平行
的切线，求 的最大值.
练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝ 存在两条互
相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个零点 B．过坐标原点可作曲线 的切线
C． 有唯一极值点 D．曲线 上存在三条互相平行的切线
练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数
的图象上不存在互相垂直的切线，则实数 的值可以是
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数
，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数 ，则下列说
法正确的有（ ）
A． 时， B． 在定义域内单调递增时，
C． 时， 有极值 D． 时， 的图象存在两条相互垂
直的切线题型九 公切线问题
例17．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）若直线 是曲线 的切线，也
是曲线 的切线，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
例18．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a
（a>0）的直线l与曲线 与 都相切，则实数b的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
练习41．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知两曲线 和 都
经过点 ，且在点 处有公切线，试求 、 、 的值．
练习42．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线 是曲
线 与 的公切线，则 ________.
练习43．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）写出曲线 与曲线
的公切线的一个方向向量______.
练习44．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 与 有公共切线，则实
数 的取值范围为__________.
练习45．（2023·湖北·统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线
都相切，则 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
