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特训04 整式及其加减 压轴题
一、解答题
1．已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
(2)小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
(3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所
取的b的值是多少呢？
【答案】(1)2ab+3a﹣8
(2)7
(3)3
【分析】（1 ）计算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）后可得多项式A；
（2 ）由ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0知2+3a﹣8＝0，据此求得a的值，继而得出b的值，再代入计算即可；
（ 3）先计算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根据B﹣A＝7且与字母a
无关知b﹣3＝0，据此可得答案．
【解析】（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根据题意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝ ，
则B＝3ab﹣2b+5
1＝3×1﹣2× +5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由题意知，B﹣A＝7且与字母a无关，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
【点睛】本题主要考查整式的加减，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；
然后去括号、合并同类项．
2．如图1是2022年1月的月历．
（1）带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试
试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由：
（2）如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为t，则
①t是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由；
②t能否等于92，请说明理由．
【答案】（1）三数之和不为36，理由见解析；（2）①t存在最大值且最大值为88；②t不能等于92，理
由见解析．
【分析】（1）设中间行的那个数为x（x＞7），则同一列上一行的数为x-7，同一列下一行的数为x+7，然
后求和即可判断和说明；
（2）①设中间行的那个数为x（9＜x＜24），则其余数分别为x-7、x-8、x+7，然后求和，即可说明；②根
据①确定t的取值范围，然后判断即可．
【解析】解：（1）三数之和不为36，理由如下：
2设中间行的那个数为x（x＞7），则同一列上一行的数为x-7，同一列下一行的数为x+7，
所以这三个数之和为：（x-7）+x+（x+7）=3x
只有x=12时，三数之和为36，故三数之和不为36；
（2）①t存在最大值且最大值为88
设中间行的那个数为x（9＜x＜24），则其余数分别为x-7、x-8、x+7，
所以，t=（x-8）+(x-7)+x+(x+7)=4x-8（9＜x＜24）
当x=24时，t有最大值88；
②t不能等于92，理由如下：
由①得t=4x-8（9＜x＜24）
所以t的取值范围为24＜t＜88
所以t不能等于92．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，发现日历中左右相邻的数相隔1、上下相邻的数相隔7是解答本题
的关键. ．
3．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代
码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为
例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和 ，即 ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和 ，即 ；
步骤3：计算 与 的和 ，即 ；
步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ；
步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753 ，则“步骤3”中的 的值为______，校验码 的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，你能用只含有 的代数式表示上
述步骤中的 吗？从而求出 的值吗？写出你的思考过程．
3（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出
结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【解析】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，
∴a=7+7+3=17，
b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．
故答案为：73，7；
（2）依题意有：
a=m+1+2=m+3，
b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，
d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能是9，
∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，
b=6+1+q=q+7，
c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，
则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，
∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
4故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
4．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过 的部分 a元/
超过 但不超过 的部
1．5a元/
分
超过 的部分 2a元/
(1)当 时，某户一个月用了 的水，求该户这个月应缴纳的水费．
(2)设某户月用水量为 ，当 时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）．
(3)当 时，甲、乙两户一个月共用水 ，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水 ，
试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共
缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元
【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（3）分当 时，当 时，当 时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可．
【解析】（1）解：
元，
∴该户这个月应缴纳的水费为 元；
5（2）解：
元，
∴当 时，该户应缴纳的水费为 元；
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
当 时，甲用水量超过 但不超过 ，乙用水量超过 ，
∴
元；
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量超过 但不超过 ，
∴
元，
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量不超过 ，
∴
元；
综上所述，当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一
个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利
6用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为7，十位数字与个位数字的和为8，那么我
们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453的千位数字与百位数字的和为： ，十位数字与个
位数字的和为： ，所以3453是一个“七上八下数”；3452的十位数字与个位数字的和为：
，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个“七上八下数” ，交换其百位数字和十位数字得到新数 ，并且定义 ，
若 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数” ，
并说明理由．
【答案】（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由见详解；（2）2562、6153、3426、7017
【分析】（1）根据“七上八下数”的定义，直接判断即可；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，根据 、 与 个位数字的135倍的和刚好为
一个正整数的平方，可得 ，从而得 ，再对d的值进行分类讨论即可．
【解析】解：（1）2571是七上八下数，4425不是七上八下数，理由如下：
∵2571的千位数字与百位数字的和为：2+5=7，十位数字和个位数字和为：7+1=8，
∴2571是七上八下数，
∵4425的千位数字与百位数字的和为：4+4=8≠7，十位数字和个位数字和为：2+5=7≠8，
∴4425不是七上八下数；
（2）设七上八下数m=1000a+100b+10c+d，其中a+b=7，c+d=8，
其中1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，则交换百位数字和十位数字后得到新数为
=1000a+100c+10b+d，
∴ = = ，
∵ 与 个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设 ，
7∴ ，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a、b、c、d为整数，
∴ 是正整数，
∵c+d=8，即c=8-d，
∴ ，即： ，
当d=0时， ＞8，不合题意，舍去；
当d=1时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合的n值；
当d=2时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴ =5符合条件，此时，b=5，d=2，a=7-b=2，c=8-d=6，
∴m=2562，
同理：当d=3时， ，
∵0≤b≤6，
∴ =4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴ =5符合条件，此时，b=1，d=3，a=7-b=6，c=8-d=5，
∴m=6153；
8同理：当d=4时，没有满足条件的n；
当d=5时，没有满足条件的n；
当d=6时，m=3426；
当d=7时，m=7017；
当d=8时，没有满足条件的n．
综上所述：满足条件的所有“七上八下数” 为2562、6153、3426、7017．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，理解“七上八下数”的定义，列出代数式，式解题的关键．
6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数——整体．试按提示解答下面问题．
（1）已知A＋B＝3x2－5x＋1，A－C＝－2x＋3x2－5，求：当x＝2时，B＋C的值．提示：B＋C＝（A＋B）
－（A－C）．
（2）若代数式2x2＋3y＋7的值为8，求代数式6x2＋9 y＋8的值．提示：把6x2＋9 y＋8变形为含有2x2＋3y
＋7的形式．
（3）已知 ，求代数式 的值．提示：把 和 分别看作整体；再由已知可得
，代入 ．
【答案】（1）0；（2）11；（3）
【分析】（1）按提示把A+B和A-C整体代入，可得B+C的表达式，然后再代值计算即可．
（2）按提示把后个代数式转化为第一个代数式的变形式，然后把第一个代数式的结果代入，可简化运算．
（3）把代数式先进行合并同类项，然后按提示把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2（x+y），代入求
值即可．
【解析】解：（1）∵B+C=（A+B）-（A-C），
∴B+C=3x2-5x+1-（-2x+3x2-5）=-3x+6；
当x=2时，上式=-6+6=0；
（2）∵6x2+9 y+8=3（2x2+3y）+8，
已知2x2+3y+7=8，得2x2+3y=1
∴上式=3×1+8=11；
（3）原代数式= ，由已知得xy=2（x+y），
9所以原式= ．
【点睛】本题主要考查了用整体思想解题，为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体，可以
达到简化运算的目的．
7．一个多项式的次数为 ，项数为 ，我们称这个多项式为 次多项式或者 次 项式，例如：
为五次三项式， 为二次四项式．
（1） 为________次________项式．
（2）若关于 、 的多项式 ， ，已知 中不含二次项，求a+b的
值．
（3）已知关于 的二次多项式， 在 时，值是 ，求当 时，
该多项式的值．
【答案】（1）六，四；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据一个多项式的次数为 ，项数为 ，我们称这个多项式为 次多项式或者 次 项式，
即可解答；
（2）计算出 ，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出 ， 的值，即可解答；
（3）先将关于 的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出 、 的值，进而求出当 时，该多
项式的值．
【解析】解：（1） 为六次四项式；
故答案为：六，四；
（2） ，
中不含二次项，
， ，
， ，
；
（3） ．
10是关于 的二次多项式
，即 ．
又当 时，原代数式的值是
解得： ．
关于 的二次多项式
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．
8．按照下面的步骤计算：
任意写一个三位数，百位数字比个数数字大3交换差的百位数字与个位数字用大数减去小数交换它的百位
数字与个位数字做加法
问题：(1)用不同的三位数再做两次，结果都是1089吗？
(2)你能解释其中的道理吗？
11【答案】(1)结果是1089；用不同的三位数再做几次，结果都是一样的；(2)见解析.
【分析】设这个三位数为100（3+c）+10b+c，再交换百位数字与个位数字后为100c+10b+3+c．再根据条件
推理，可得结果是1089．
【解析】解：(1)结果是1089；用不同的三位数再做几次，结果都是一样的；
(2)设这个三位数为100(3+c)+10b+c，再交换百位数字与个位数字后为100c+10b+3+c．
根据题意，有[100(3+c)+10b+c]﹣[100c+10b+3+c]＝297．
再交换297的百位和个位数字得792，而297+792＝1089．
所以用不同的三位数再做几次，结果都是1089．
【点睛】本题考查了整式加减的运用．认真读题，理解题意是关键．
9．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a、b、c、d满足 ，那么就可以交换
b、c的位置，这称为一次操作．
(1)如图1，圆周上放着数1、2、3、4、5、6，问：能否经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个
数a、b、c、d，都有 ？如果能，请在图2中填写出满足要求的最后结果；如果不能，请
说明理由．
(2)若圆周上从小到大按顺时针依次放着2021个正整数1、2、3、…、2021，问：能否经过有限次操作后，
对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有 ？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意交换位置，经过变换得出结论；
（2）设这2021个数的相邻两数乘积之和为P，经过 次操作后，这2021个数字相邻两数乘积之和
12为 ，根据题意，设圆周上依次相连的四个数满足其不等式大于0，即 ，交换b、c的位
置后的情况分析得出矛盾．
【解析】（1）解：∵ ，
∴交换2，3，如图，
，
∵ ，
∴交换2，4，如图，
∵ ，
∴交换3，4，如图，
∵ ，
∴交换2，5，如图，
13此时，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有 ；
（2）解：能；
设这2021个数的相邻两数乘积之和为P，
则 ，
经过 次操作后，这2021个数字相邻两数乘积之和为 ，
若圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有 ，
即 ，交换b、c的位置后这2021个数字相邻两数乘积之和为 ，
则 ，
∴ ，
即每次操作，相邻两数的乘积和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，
故经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a、b、c、d，都有 ；
【点睛】本题考查有理数的运算，涉及有理数大小比较， 解题的关键在于理解题意， 寻找出变换的一般
规律，考查学生的观察与运算能力．
10．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
． ． ．……；
下面我们依次对 展开式的各项系数进一步研究发现，当 取正整数时可以单独列成表中的形式：
…………………………………………………1 1
14………………………………………………1 2 1
……………………………………………1 3 3 1
…………………………………………1 4 6 4 1
………………………………………1 5 10 10 5 1
……………………………………1 6 15 20 15 6 1
……………………………………
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式 的第三项的系数 ______；
(2)请你预测一下多项式 展开式的各项系数之和 ______；
(3)拓展：①写出 展开式中含 项的系数为______；
② 展开式按 的升幂排列为： ，若 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）由题意可求得当 时，多项式 的第三项的系数是多少，找到规律，即可
得出答案；
（2）求得当 时，多项式 展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；
15（3）①首先确定 是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将 代入求解即可．
【解析】（1）解：当 时，多项式 的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为： ；
当 时，多项式 的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为： ；
……
多项式 的展开式是一个 次 项式，第三项的系数为： ；
故答案为： ；
（2）解：当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
当 时，多项式 的展开式的各项系数之和为： ；
……
多项式 展开式的各项系数之和为 ，
故答案为： ；
（3）解：① ，
展开式中含 项是其展开式的第二项，
，
故答案为： ；
16② ，
当 时，令 ，
则 ，
．
【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表示展开
式．
11．将连续的奇数1，3，5，7，⋯排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数．
[探究规律一]：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为 ；
[结论]：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是 ．
[探究规律二]：落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39，51⋯则这一列数可以用代数式表示为
（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列的奇数分别可表示为 ，
（用含m的式子）；
[运用规律]：
（1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是 ；这个奇数落在从左往右
第 列；
（2）被十字框框中的五个奇数之和可能是425吗？可能是2025吗？说说你的理由．
【答案】[探究规律一]： ，[结论]：5；[探究规律二]： ， ；（1）1205；在第3列；（2）
不可能是425，可能是2025，理由见解析．
【分析】探究规律一：可设正中间的数为a，根据表中框的数得到其余数的表示方法，相加即可；看含有
哪个因数即可；
探究规律二：若为第二列的奇数，起始数为3，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在3的基
础上增加几个12；
17同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可；
运用规律：（1） 即可得到中间的数，根据中间的数÷12得到的余数，看符合第一行中的哪个奇数，
即可得到相应的列数；
（2）除以5后看在哪一列，若在最左边一列或最右边一列则不能反之则能．
【解析】解：探究规律一：设正中间的数为a，易得上下，左右2数之和均为中间数的2倍，则5个数之和
为 ；其中含有因数5，所以一定是5的倍数；
故答案为：5a；5；
探究规律二：若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，
∴这列的数为： ；
同理可得第四列的奇数分别可表示为 ．
故答案为： ， ．
（1） ； ，所以在第3列，
（2）不可能是425，可能是2025．
理由：∵ ，
又 中间的数不可能在第一列，
五个奇数之和不可能是 ；
同理： ，
中间的数在第五列，
则五个奇数之和有可能是2025
【点睛】本题考查的是有理数的规律型，解题的关键是仔细观察已有数据的特点，从而得出规律．
12．如果一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，那么我们可以把这个两位数简记为 ，即
．如果一个三位数的个位数字是 ，十位数字是 ，百位数字是 ，那么我们可以把这个三位
数简记为 ，即 ．
(1)列式分别表示出两位数 和 ，并证明 和 的差能被9整除．
(2)若规定：对任意一个三位数 进行 运算，得到整数 ． 如： ．
若一个三位数 满足 ，求这个三位数．
18(3)已知一个三位数 和一个两位数 ，若满足 ，请求出所有符合条件的三位数．
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)507或516或523
(3)104，115，126，137，148，159，208，219
【分析】（1）根据题意可求出 ，即得出 和 的差能被9整除；
（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的法则，得x和y的关系式为 ，再根据x，y均为0
到9的整数，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数
的性质，通过计算即可得到答案．
【解析】（1）由题意得： ， ，
∴
．
∵ ，
∴ 和 的差能被9整除；
（2）由题意可知 ，
∵x，y均为0到9的整数，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时，y为负数，不符合题意，
∴这三个数是507或516或523；
19（3） ， ， ，
∴ ，
∴ ．
a为1到9的整数，b，c均为0到9的整数，
∴当 时，若 ，则 ，此时三位数是104；
若 ，则 ，此时三位数是115；
若 ，则 ，此时三位数是126；
若 ，则 ，此时三位数是137；
若 ，则 ，此时三位数是148；
若 ，则 ，此时三位数是159；
若 ，则 ，舍去；
当 时，若 ，则 ，此时三位数是208；
若 ，则 ，此时三位数是219；
若 ，则 ，舍去；
∵当 时，显然不符合题意．
综上可知，符合条件的三位数有104，115，126，137，148，159，208，219．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、列代数式、整式加减的应用．解题的关键是熟练掌握含乘方的有理
数混合运算法则、合并同类项的法则．
13．已知式子 是关于 的二次多项式，且二次项系数为 ，数轴上 ， 两点所
对应的数分别是 和 ．
(1)则 _____， _____； ， 两点之间的距离为_____；
(2)有一动点 从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，
再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2022次时，求点
所对应的有理数；
(3)若点 以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点 从
原点开始以每秒 （ ）个单位长度在 ， 之间运动（到达 或 即停止运动），运动时间为t秒，
在运动过程中， 的值始终保持不变，求 点运动的方向及 的值．
20【答案】(1)-4，6，10；
(2)1007；
(3)向左运动， 的值为 ．
【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）根据点的运动特点，可得 ；
（3）当点D向左运动时，当点D向右运动时，分别进行求解即可得出结论．
【解析】（1）解：由题意知： ，
∴
∴AB的距离为10，
故答案为： ，6，10；
（2）解：依题意：点P第一次运动到 对应的数为 ，
点 第一次运动到 对应的数为 ，
点 第一次运动到 对应的数为 ，…
即 ，
即点P对应的数为1007，
（3）解：依题意，运动后点A对应的数为 ，点B对应的数为 ，
①当点D向左运动时，点D对应的数为
点B到D的距离： ，
点A到D的距离： ，
，
当 的值始终固定，则 ， ；
②当点D向右运动时，点D对应的数为 ，
点B到D的距离： ，
点A到D的距离： ，
21，
当 的值始终固定，则 ， ，
因为 ， 不符合题意，舍去，
综上所述，当 的值始终固定，点D向左运动， 的值为 ．
【点睛】本题考查整式的加减运算和数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键．
14．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与 时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整
式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如： 是“偶整式”， 是“奇整式”．
(1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与 时，对应的整式值分别为 ， ，则
___________；
(2)判断式子 是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；
(3)对于整式 ，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和．
①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；
②当x分别取 ， ， ，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________．
【答案】(1)0
(2)奇整式；理由见解析
(3)① ； ②35
【分析】（1）根据定义直接判断即可；
22（2）将 代替x代入观察结果与原式的结果关系即可判断；
（3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式；
②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解．
【解析】（1）由定义可知，整式的值互为相反数，
故答案为：0；
（2）奇整式
理由：将 代入 中可得 ；
∵ 与 互为相反数，
∴该式为奇整式；
（3）① ，
∵ ， ，
∴ 是偶整式， 是奇整式．
②由于 是偶整式， 是奇整式，
∴当x分别取 ， ， ，0，1，2，3时，
的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时 的值也互为相反数，即和为0；
∴这七个整式的值之和是 ；
故答案为：35．
【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的
定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等．
15．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
其中500元部分给予八折优惠，
500元或超过500元
超过500元部分给予七折优惠
(1)若王老师一次性购物600元，他实际付款___________元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性
购物可能是___________元；
23(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款___________元，当x大
于或等于500元时，他实际付款___________元（用含x的代数式表示并化简）；
(3)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（ ），用含a的
代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当 元时，王老师两天一共节省了多少元？
【答案】(1)470，160或200
(2) ，
(3) ，195
【分析】（1）500元按8折计算，超出的7折计算，实际付款160元，分两种情况讨论：一次性购物160
元，没有优惠；一次性购物超过200元，有八折优惠；
（2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时．他实际付款，500
这部分按8折计算，超出的 这部分7折计算；
（3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款．
【解析】（1）解： （元），
实际付款160元，有两种可能：
一是一次性购物160元，没有优惠；
二是一次性购物超过200元，则有八折优惠，则原价为 （元）．
所以，王老师一次性购物可能是160或200元．
（2）解：当x小于500元但不小于200时，实际付款 （元）
x大于或等于500元时，实际付款： （元）
（3）因为第一天购物原价为a元
则第二天购物原价为 元，则
第一天购物优惠后实际付款 （元）
第二天购物优惠后实际付款 （元）
则一共付款 （元）
当a=250元时，实际一共付款 （元）
24一共节省 （元）
【点睛】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握要正确列代数式，只有分清数量之间的关系，表示超
出的部分是解题关键．
16．对于一个四位自然数 ，如果 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数
字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数 为“差同数”．对于一个“差同数” ，将它的
千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为 ，将它的千位和十位构成的两位数减
去百位和个位构成的两位数所得差记为 ，规定： ．例： ，因为 ，故：
是一个“差同数”．所以： ，则： ．
(1)写出一个“差同数”___________
(2)请判断4378是否是“差同数”．如果是，请求出 的值；
(3)若自然数P，Q都是“差同数”，其中 ， （
，x，y，m，n都是整数），规定： ，当 能被11
整除时，求k的最小值．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)是“差同数”，
(3)
【分析】（1）根据“差同数”的定义即可得；
（2）根据“差同数”的定义和 的定义即可得；
（3）根据“差同数”的定义和已知条件，用一个字母的代数式表示 ，再根据此字母的取值范围即可求出
的最小值．
【解析】（1）解： ，
写出的“差同数”为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
25（2）解： ，
是“差同数”，
，
．
（3）解：∵ ， ，且 ， 都是整数，
∴ 的千位数为 ，百位数为6，十位数为 ，个位数为6，
∵ 是“差同数”，
∴ 即 ，
，
，
∴ ，
∵ ， ，且 ， 都是整数，
∴ 的千位数为3，百位数为 ，十位数为4，个位数为 ，
∵ 是“差同数”，
∴ ，即 ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ， ，
∴ ，
∵ 且 ， ，
26∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 能被11整除，
∴ 或0或11，
①当 时，则 ，
此时 ，
②当 时，则 ，
此时 ，
③当 时，则 ，
结合 ， ，有 ，
此时 ， 不存在，
综上， 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用、有理数加减乘除运算的应用．理解“差同数”的定义，善于把
新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键．
17．将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形．
(1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的
代数式表示）
(2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长；
(3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长．
【答案】(1) ， ；
27(2)6；
(3)88．
【分析】（1）观察图形，易知1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，同理易知2
号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长；
（2）根据观察，可知图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和，即： ，宽为2
号正方形的边长与3号正方形的边长和，即： ，又知长方形的周长，即可求出x的值，
从而得出3号正方形的边长；
（3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形 的周长，再利用大
长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出 的长，从而解得阴影部分的周长．
【解析】（1）解： 号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，
1号正方形的边长为 ， 2号正方形的边长为 ，
（2）解：长方形的长为： ，宽为： ，
长方形的周长为48，即 ，
，
号正方形的边长为x，
号正方形的边长为6；
（3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形 的周长，
由（2）可知 号正方形的边长为 ，
4号正方形的边长为y，
5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：
，
，
28周长为100的长方形的长为： ，宽为 ，
，
，
则长方形 的周长为：
，
即阴影部分的周长为88．
【点睛】本题考查了整式的加减应用，列代数式表示各线段的长从而可解决问题．
18．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ．
如： ．
（1）计算： ．
（2）计算： ．
（3）在 ， ， ，…， ， ， ， ，…， ， 这 个数中：
①任取三个数作为a，b，c的值，进行“ ”运算，求所有计算结果中的最小值；
②若将这 个数任意分成五组，每组三个数，进行“ ”运算，得到五个不同的结果，由于分组不
同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值．
【答案】（1）4；（2）3；（3）①当 ， ， 时， 可取最小值为 ；② ．
【分析】（1）根据新运算法则列式计算即可；
（2）根据新运算法则列式计算即可；
（3）①分类讨论 ， ，化简求得原式的最小值；
②将 ， ， ， 分别赋予 和 ，同时赋予 四个负数，最后一组 ，同时 ， 为两个负数，分别
进行计算，从而求解．
【解析】解：（1）根据题意：
29；
故答案为：4；
（2）根据题意得：
；
故答案为：3；
（3）①当 时，
，
当 时，
，
当 ， ， 时，
可取最小值为 ，即 的最小值为 ；
②当 ， ， 时，此时 ，
30；
当 ， ， 时，此时 ，
；
当 ， ， 时，此时 ，
；
当 ， ， 时，此时 ，
；
当 ， ， 时，此时 ，
；
即五个结果的最大值为 ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算法则及绝对值的意义，发现当
时， ，当 时， 是解题关键．
19．如图1．在数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 到点 的距离记为 ．我们规定:
的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即 ．
请用上面的知识解答下面的问题:
如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b,点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足 与
互为相反数．
（1） ， ， ；
（2）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数 表示的点重合；
31（3）点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以
每秒 个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过后，
①请问， 的值是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
②探究，若点 向右运动，点 向左运动，速度保持不变， 的值是否随着时间的变化而改变？
若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-3，-1，5；（2）3；（3）①不变，14；②见解析
【分析】（1）利用|a+3|+（c-5）2=0，得a+3=0，c-5=0，解得a，c的值，由b是最大的负整数，可得
b=-1；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）①由 3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+2）求解即可；
②由3BC-4AB=3（4t+6）-4|3t-2|．求解即可．
【解析】解：（1）∵|a+3|+（c-5）2=0，
∴a+3=0，c-5=0，
解得a=-3，c=5，
∵b是最大的负整数，
∴b=-1．
故答案为：-3，-1，5．
（2）（5-3）÷2=1，
对称点为1-（-1）=2，1+2=3．
故答案为：3．
（3）①AB=2t+t+2=3t+2，
BC=3t-t+6=2t+6，
3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+2）=14．
故3BC-2AB的值不随着时间t的变化而改变；
②AB=|2t+t-2|=|3t-2|，
BC=3t+t+6=4t+6，
3BC-4AB=3（4t+6）-4|3t-2|．
当3t-2＜0时，即 ＜ ＜
原式=24t+10，3BC-4AB的值随着时间t的变化而改变；
32当3t-2 0时，即 时，
原式=26，3BC-4AB的值不随着时间t的变化而改变．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
33
