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特训04 概率、投影与视图（选填压轴题）
一、单选题
1．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同
年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
2．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 ， ， ， ， ， ．掷两次骰子，设其朝上的
面上的两个数字之和除以 的余数分别是 ， ， ， 的概率为 ， ， ， ，则 ， ， ， 中最
大的是（ ）
A． B． C． D．
3．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、
“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的
顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四
个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同
就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从
袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式 成立的事件发生
的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体
的个数可能是（ ）
A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个
16．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是 的正方形，若拿掉若干个小立方
块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
7．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成
平面，则展开图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（
）
2A．12 B．14 C．16 D．18
9．用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需
小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若 ，则该几何体有两种摆法；
乙：若 ，则该几何体有三种摆法；
丙：若 ，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．甲错，乙对 D．乙对，丙错
10．棱长为a的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（
）
A．100a B． C． D．
11．如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形 的边长为4，取
正方形 各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形 ，然后再取正方形 各边的四等
分点M，N，P，Q．作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随
机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
3A． B． C． D．
12．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小
区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
413．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它
们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 ，则使得关于 的一元二次方程
有实数根，且关于 的分式方程 有解的概率为 ．
14．为了庆祝“六一儿童节”，育才初一年级同学在班会课进行了趣味活动，小舟同学在模板上画出一个
菱形 ，将它以点 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后得到如图所示的图形，其中
， ，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概
率为 ．
15．哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面
朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字
之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 ．(填“公平”或“不公平”)
16．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则三辆汽
车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 ．
17．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．答案是 。
A．搭成该几何体的小立方块最少有___________个．
B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出___________种不同的图形．
18．在桌子上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面，上面看到的形状如图所示，设组成这
个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为 。
519．如图，大楼 （可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，
他们现在分别位于点 和点 处， 、 均在 的中垂线上，且 、 到大楼的距离分别为 米和
米，又已知 长 米， 长 米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面
地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米．
20．如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB
和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝ EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面
PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝
30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点
B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm．
621．如图所示，在某点光源下有两根直杆 ， 垂直于平整的地面，甲杆 的影子为 ，乙杆
的影子一部分落在地面上的 处，一部分落在斜坡 上的 处．
①点光源所在的位置是 （从 ， ， ， 中选择一个）；
②若点光源发出的过点 的光线 ，斜坡 与地面的夹角为 ， 米， 米，则乙杆
的高度为 米．
22．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷
有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位
置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针
的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平
式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
7（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影
子所在的直线相交于点 ．此时 与 满足的关系式 ．
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