专题5.2分式的运算（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 5.2 分式的运算 分式的乘除运算 【例1】下列计算错误的是 A． B． C． D． 【解答】解： ． ，故 不符合题意； ． ，故 不符合题意； ． ，故 符合题意； ． ，故 不符合题意； 故选： ． 【变式训练1】下列运算中正确的是 A． B． C． D． 【解答】解： ，故此选项不合题意； ，故此选项不合题意； ． ，故此选项不合题意； ，故此选项符合题意．故选： ． 【变式训练2】计算： A． B． C． D． 【解答】解：原式 ， 故选： ． 【变式训练3】约分 A． B． C． D． 【解答】解：原式 ． 故选： ． 分式的加减运算 【例2】下列式子运算结果为 的是 A． B． C． D． 【解答】解： ，故选项 的运算结果不是 ； ，故选项 的运算结果不是 ； ，故选项 的运算结果是 ； ，故选项 的运算结果不是 ；故选： ． 【变式训练1】下列各式从左到右变形正确的是 A． B． C． D． 【解答】解： 选项， ， ， 分式的分子和分母同时除以 ，分式的值不变，故该选项符合题意； 选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，不能都加1，故该选 项不符合题意； 选项， ，故该选项不符合题意； 选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于 0的整式，不可以分子乘 ，分 母乘 ，故该选项不符合题意； 故选： ． 【变式训练2】下列计算正确的是 A． B． C． D． 【解答】解： ．因为 ，所以 选项计算错误，故 选项不符合题意； ．因为 ，所以 选项计算正确，故 选项符合题意； ．因为 ，所以 选项计算错误，故 选项不符合题意； ．因为 ，所以 选项计算错误，故 选项不符合题意． 故选： ． 【变式训练3】下列运算正确的是 A． B． C． D．【解答】解： 、原式 ，故此选项不符合题意； 、原式 ，故此选项不符合题意； 、原式 ，故此选项不符合题意； 、原式 ，故此选项符合题意； 故选： ． 整体思想 【例3】若实数 满足 ，则代数式 的值是 A．3 B．2 C．1 D．以上都不正确 【解答】解： ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练1】已知 ，则 的值为 A． B．27 C．23 D．25 【解答】解：把 两边平方得： ，即 ， 则 ． 故选： ．【变式训练2】已知 ，则 的值为 A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解： ， ，即 ， 则 ， 故选： ． 【变式训练3】已知 ，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： 且 ， ， ， 故选： ． 分式化简求值 【例4】计算： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1） ； （2）原式． 【变式训练1】根据要求解答下列问题： （1）化简： ； （2）解方程： ． 【解答】解：（1）原式 ； （2）整理，可得： ， 方程两边同时乘 ，得 ， 解得： ， 检验：当 时， ， 是原方程的增根， 原分式方程无解． 【变式训练2】计算： （1） ； （2） ． 【解答】解：（1）原式 ；（2）原式 ． 【变式训练3】计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【例5】先化简 ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作 为 的值代入求值． 【解答】解：， ， ， ，3， ， 当 可以取整数0或2， 当 时，原式 ． 【变式训练1】先化简，再求值： ，从 ， ， 中选择一个 合适的数作为 值代入． 【解答】解：原式 ， 要使分式有意义，则 、 ， 当 时，原式 ． 【变式训练2】先化简，再求值： ，其中 是已知两边分别为2和3 的三角形的第三边长，且 是整数． 【解答】解：原式 ，且为整数， ，3， ， 把 代入，原式 ． 【变式训练3】先化简再求值： ，其中 ． 【解答】解： ， ． ， 当 时，原式 ． 【变式训练4】（1）计算： ． （2）先化简： ，再从2， ，3， 中选一个合适的数作为 的值 代入求值． 【解答】解：（1）原式 ；（2）原式 ， 且 ， 且 ， ， 则原式 ． 分式与不等式 【例6】阅读下面的解题过程： 已知 求 的值． 解：由 知 ， 即 ， ， ． 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知： ，求 的值． 【解答】解：法1：由 ，得到 ，即 ，， 则原式 ； 法2：由 ，得到 ，即 ， 则原式 ． 【变式训练1】若分式 值为正，求 的取值范围． 关于这道题，某同学根据分式即除法，根据除法处理符号的原则，同号相除得正，得 ，求得 ． 根据这位同学的做法，若 ，求 的取值范围 ． 若 ，求 的取值范围 ． 若 ，求 的取值范围 ． 【解答】解： ， ， 解得 ； ， ， ， 解得 ； ， 或 ， 解得 或 ；故答案为： ； ； 或 ． 【变式训练2】阅读材料： 对于两个正数 、 ，则 （当且仅当 时取等号）． 当 为定值时， 有最小值；当 为定值时， 有最大值． 例如：已知 ，若 ，求 的最小值． 解：由 ，得 ，当且仅当 ，即 时， 有 最小值，最小值为 根据上面的阅读材料回答下列问题： （1）已知 ，若 ，则当 时， 有最小值，最小值为 ． （2）已知 ，若 ，则 取何值时， 有最小值，最小值是多少？ （3）用长为 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围 的长方形花园面积最大，最大面积是多少？ 【解答】解：（1）由题目中提供的方法可得， ， 当 时，即 时， 的最小值为12， 故答案为： ，12； （2） ， ， 由 可得 ， 当 时，即 时， 的最小值为9， 答：当 时， 的最小值为9；（3）设这个长方形的长为 ，则宽为 ， 长方形的面积 ， 由题意得 ， ，即 ， 由 可得 ， 即 ， 但且仅当 时，即 时， 取最大值，最大值为 ， 此时宽为 ， 最大值为625， 答：当长方形的长、宽均为 时，所围成的长方形的花园的面积最大，最大面积为 ．