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专题04 绝对值的非负性基础篇
1．若|a﹣1|＋|b﹣2|＝0，则a＋b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
由绝对值的非负性，先求出a、b的值，然后相加即可得到答案．
【详解】
解：∵|a﹣1|＋|b﹣2|＝0，
∴a﹣1=0，b﹣2=0，
∴a=1，b=2，
∴a＋b=1+2=3；
故选：A
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握非负数的应用，正确求出a、b的值．
2．若|a﹣3|+|2﹣b|＝0，则a2+b2的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
先由非负数性质得出a、b的值，再代入算式计算可得．
【详解】
解：∵|a﹣3|+|2﹣b|＝0，
∴a﹣3＝0且b﹣2＝0，即a＝3、b＝2，
则原式＝32+22＝13，
故选：B．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题关键是掌握绝对值的非负性．
3．已知|4+a|+（4﹣2b）2＝0，则a+2b＝（ ）
A．﹣4 B．0 C．﹣8 D．8
【答案】B【解析】
【分析】
根据绝对值的非负性、偶次方的非负性解决此题．
【详解】
解：∵|4+a|≥0，（4﹣2b）2≥0，
∴当|4+a|+（4﹣2b）2＝0时，4+a＝0，4﹣2b＝0．
∴a＝﹣4，b＝2．
∴a+2b＝﹣4+2×2＝﹣4+4＝0．
故选：B．
【点睛】
本题考查非负数的定义，两个非负数相加为0，则分别为0．
4．如果 ，那么x-y的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-7 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据任何数的绝对值、平方都是非负数，可以得x-4=0，y+3=0，即可求解．
【详解】
解：∵|x-4|≥0，|y+3|≥0，
而|x-4|+|y+3|=0，
∴x-4=0，y+3=0，
解得：x=4，y=-3，
∴x-y=4-（-3）=7，
故选：D．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：多个非负数的和为零，那么每一个加数必为零．
5．如果 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得 ，进行解答即可得．
【详解】
解：∵
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的非负性．
6．若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＝b＝0 B．a与b互为倒数
C．a与b异号 D．a与b不相等
【答案】A
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值即可．
【详解】
解：∵|a|+|b|=0，|a|≥0，|b|≥0，
∴|a|=0，|b|=0，
∴a=0，b=0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性：注意两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．
7．若 与 互为相反数，则a＋b的值为（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．3或﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】
解：由| 与 互为相反数，得
a−1＝0，b−2＝0，解得a＝1，b＝2，
a＋b＝1＋2＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零是解题关键．
8．若|m-3|+(n+1) =0，则m+n的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用绝对值以及偶次方的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵|m-3|+（n+1）2=0，
∴m=3，n=-1，
则m+n=3-1=2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
9．若 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可列式 ＝0， ＝0，即可求出a、b的值．
【详解】
解：根据题意得： ＝0， ＝0，
解得 ．故选：B．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
10．若 的三条边长分别是 、 、 ，且 则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负性质求出a,b,c的关系,即可判断．
【详解】
∵ ,
∴a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查平方和绝对值的非负性,等边三角形的判定,关键在于利用非负性解出三边关系．
11．若|a－2|+|b+3|=0，则 －ab的值为（ ）
A．6 B．-6 C．12 D．-12
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0求得a和b的值，进而求得代数
式的值．
【详解】
解：根据题意得：a-2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=-3，
则原式=6，
故选A．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，理解性质是关键．12．若 ，则 的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由非负数的性质可得： ，解方程组可得答案．
【详解】
解：由题意得：
．
故选C．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
13．|x－2|＋9有最小值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据绝对值的非负性解答即可．
【详解】
解：∵
∴
∴ 的最小值为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
14．y等于__时，式子|y-3|+1有最小值．【答案】3
【解析】
【分析】
利用绝对值的非负性计算求值即可；
【详解】
解：∵|y-3|≥0，当y=3时，绝对值为零，
∴当y=3时，|y-3|+1有最小值1，
故答案为：3；
【点睛】
本题考查了绝对值（数轴上表示数a的点与原点的距离，记作│a│；正数的绝对值是它本身，零
的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数）；掌握定义是解题关键．
15．当式子 取最小值时， ______，最小值是______．
【答案】 2 3
【解析】
【分析】
利用绝对值的非负性即可解答；
【详解】
解：∵|b-2|≥0，
∴当b=2时， 取得最小值3，
故答案为：2，3；
【点睛】
本题考查了绝对值的性质；掌握其性质是解题关键．
16．代数式 的最小值为________．
【答案】-10
【解析】
【分析】
直接运用绝对值的性质分析得出答案．
【详解】
解：∵|x-1|最小值为0，
∴当x=1时，-10+|x-1|有最小值，最小值为：-10．
故答案为：-10．【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
17．当a=________时，代数式 有最小值是________．
【答案】 4 3
【解析】
【分析】
根据绝对值的非负性分析求解．
【详解】
解： ，
，
当 ， ，即 时，
代数式 的最小值是3，
故答案为：4；3．
【点睛】
本题考查绝对值的非负性，解题的关键是理解 ．
18．式子 的最________（选：大，小）值是_______；当 _______时，代数式
取得最小值是_______．
【答案】 大 2 -2 5
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值2
∵ ，
∴∴当 时， 的最小值是5，
故答案为：大，2，-2，5．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的非负性，平方的非负性，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解．
19．当5-| |取最大值时， =________；这时的最大值是________．
【答案】 -1 5
【解析】
【分析】
结合题意，根据绝对值的性质，得当 时，5-| |取最大值；通过求解绝对值方程得 的值，
结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
当 取最小值，即 时，5-| |取最大值；
∴
∴
故答案为：-1，5．
【点睛】
本题考查了绝对值、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值和代数式的性质，从而完成求
解．
20．代数式 的最小值等于__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据绝对值的非负性即可得出结论
【详解】
解：∵ ； 2
∴ 的最小值为2
【点睛】此题考查了绝对值的非负性和绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键．
21．当 取最小值时，代数式 的值是________．
【答案】3．
【解析】
【分析】
根据 取最小值时， ，则2x+y=0，然后将代数式 变形为2(2x+y)+3，
整体代入即可求解．
【详解】
解：∵
∴当 取最小值时，
∴2x+y=0
∴
=2(2x+y)+3
=3
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考察了绝对值的性质、用整体代入法求代数式的值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性
质以及用整体代入法求代数式的值．
22．如果 为有理数，式子 的最小值等于________．
【答案】2020
【解析】
【分析】
根据绝对值的非负性解得即可
【详解】
∵ 为有理数，
∴根据绝对值的非负性： ≥0，∴6 ≥0，
∴ ≥2020，
∴ 的最小值为2020，
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握：任何一个数的绝对值都是非负数．
23． 有最大值是_______，此时 的取值为__________ ．
【答案】 8 2
【解析】
【分析】
由绝对值的性质非负性，即 ，减一个非负数，只有当减数最小时，差才最大，当
， 最大=8，此时3x—6=0，求出x即可．
【详解】
由 ，当 ， 最大值为8，此时3x—6=0，x=2．
故答案为8；2．
【点睛】
本题考查最值问题，掌握减一个非负数，差最大，减数越小差越大，会利用非负数求最值问题．
24．式子 ，当 ____时，它存在最小值，式子 ，当 _____时，它存在最大值．
【答案】 3
【解析】
【分析】
分别找到 和 的最小值即可得出答案．
【详解】
，，
∴ 的最小值为1，此时 ，即 ；
，
，
∴ 的最大值为5，此时 ，即 ；
故答案为：3， ．
【点睛】
本题主要考查最大值和最小值，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
25．当 ________时，式子 有最大值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值非负数解答即可．
【详解】
解： 即 时，式子 有最大值 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了绝对值非负性的应用，熟练应用绝对值的性质是解题关键．
26．式子︱x +1︱的最小值是__ ，这时x值为 ____ ．
【答案】 0 -1
【解析】
【分析】
根据一个有理数的绝对值非负可得所求式子的最小值，进而可得x的值．
【详解】
解：一个数的绝对值最小是0，所以 的最小值是0，此时 ，所以 ．
故答案为：0，﹣1．【点睛】
本题考查了有理数的绝对值，明确题意、熟知绝对值的意义是关键．
27．式子9-︱2m-1︱有最大值_____，m=______
【答案】 9
【解析】
【分析】
由绝对值的非负性可得出结论.
【详解】
∵
∴
当 即 时， 有最大值9.
【点睛】
本题考查绝对值的非负性，熟练运用非负性建立不等式是解题的关键.
28．代数式 的最大值是______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据绝对值的非负数判断 ≥0，然后求解即可．
【详解】
∵ 0，
⩾
∴当x=1时,代数式5− 的最大值，
最大值为5.
故答案为5.
【点睛】
此题考查非负数的性质：绝对值，解题关键在于掌握其性质.
29．式子5－｜a＋b｜的最大值是_______，当它取最大值时，a与b的关系是______.
【答案】 5 互为相反数【解析】
【分析】
5－｜a＋b｜有最大值，则只有当｜a＋b｜取最小值时才满足，可知｜a＋b｜是非负数，大于等于
0，所以｜a＋b｜最小值是0.由此判断出最大值和a与b的关系.
【详解】
因为5－｜a＋b｜有最大值
所以只有｜a＋b｜有最小值
因为｜a＋b｜≥0
所以｜a＋b｜的最小值是0
则当｜a＋b｜=0时，5－｜a＋b｜的最大值为5-0=5
故此时a＋b=0，所以a与b互为相反数.
故答案为5； 互为相反数.
【点睛】
本题需要注意的是非负数的形式为 ，还有互为相反数的两个数和为0.
30．当x＝___________时，5－|2x－3|有最大值．
【答案】
【解析】
【分析】
若要5-|2x-3|取得最大值，则|2x-3|需取得最小值，而|2x-3|的最小值为0，据此求解可得．
【详解】
解：若要5-|2x-3|取得最大值，
则|2x-3|需取得最小值，而|2x-3|的最小值为0，
即2x-3=0，
解得：x= ，
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查绝对值和非负数的性质，解题的关键是掌握任意一个数的绝对值都是非负数．
31．用字母 表示一个有理数，则 一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以 的最小值为0，而 一定是非正数，即它的值为负数或0，所以 有最大值0，根据这个结论完成下列
问题：
（1） 有最_____值________；
（2） 有最______值_________；
（3）当 的值为________时， 有最_________值__________；
（4）若 ，则 ____________．
【答案】（1）小，1；（2）大，5；（3）1，小，2；（4）-1．
【解析】
【分析】
（1）根据 的最小值为0即可得答案；
（2）根据 有最大值0即可得答案；
（3）根据|a-1|≥0可得|a-1|+2≥2，即可答案；
（4）根据非负数性质可得a、b的值，即可求出ab的值．
【详解】
（1）∵|a|≥0，
∴|a|+1≥1，
∴|a|+1有最小值1，
故答案为：小，1
（2）∵-|a|≤0，
∴5-|a|≤5，
∴5-|a|有最大值5，
故答案为：大，5
（3）∵|a-1|≥0，
∴|a-1|+2≥2，
∴a-1=0，即a=1时，|a-1|+2有最小值2，
故答案为：1，小
（4）∵∴a-1=0，b+1=0，
解得：a=1，b=-1，
∴ab=1×（-1）=-1．
故答案为：-1
【点睛】
本题考查非负数性质，如果几个非负数得和为0，那么这几个非负数都为0；熟练掌握非负数性质
是解题关键．
