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专题 1.1 关于整式乘除的扩展知识
配方法最值问题
【例1】已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的
最小值是 ，依此方法，代数式 的最小值是 2 ．
【解答】解： ，
， ，
的最小值是2
故答案为：2
【变式训练1】对于代数式 ，利用完全平方公式，可求其最小值是 2 ．
【解答】解：
，
则代数式 的最小值是2
故答案为：2
【变式训练2】多项式 的最小值为 ．
【解答】解：原式 ，
当两完全平方式都取0时原式取得最小值 ．
故答案为： ．
【变式训练3】已知 ，当 、 各取何值时， 的值最小？【解答】解： ，
由于 等于两个非负数的和加上5，所以最小值是 ，即 ，
即 ， ，
， ．
故 ， ， ．
【变式训练4】若 ，则 的最小值是 9 9 ．
【解答】解： ，
， ，
，
最小值为99，此时 ， ．
故答案为99
三项完全平方
【例2】 ；
【解答】原式
；
【变式训练1】计算： ；
【解答】解：；
【变式训练2】
【解答】
立方和与立方差公式
立 方 和 公 式 ： a3+b3=（a+b）（a2−ab+b2）
立方差公式：a3−b3=（a−b）（a2+ab+b2）
【例3】由 ， 即
．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行
的变形不正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解： 立方公式
． ． ； 符
合以上公式，故 正确；
． ； 符合以上公式，故 正确；． ； 符合以上公式，
故 正确；
． 不符合以上公式，故 正确；
故选： ．
【变式训练1】实数 ， 满足 ，则 1 或 ．
【解答】解： 由题意得：
或 ，
由 整理得： ，
又 ， 是实数， 所以上述方程有实数解，
也就是： ，
故： ，代入上式解得 ，
所以此时 ；
综上所述可得： 或 ．故答案为： 1 或 ．
【变式训练2】若 ， ，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ，有 ．
又因 ，则 ， ．
由
故 ．
故选： ．
【变式训练3】若 ， ，则 ．
【解答】解： ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【变式训练4】已知 ， ， 等于
A．10 B．20 C．30 D．40
【解答】解： ，
，
，
，故 ，
，
解得： ．
故选： ．
【变式训练5】已 知 有 理 数 ， ， 满 足 ， ， 则
A．1 B．3 C．6 D．27
【解答】解：根据题意可令： ， ， ．明显满足条件要求，
那么计算 ．
故选： ．
大除法
大除法是指多项式除以多项式．
多项式除以多项式一般用竖式进行演算：
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．
（2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项．
（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不
相等的项结合起来．
（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次
数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被
另一个多项式整除．
【例4】
所以，商为 ，余数为-5【变式训练1】求 除以 所得的商式和余数
所以, 商式为 ，余数为 5
【变式训练2】求多项式 除以 所得的商式和余数
所以, 商式为 , 余数为7.
