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专题 2.3 一元二次不等式与其他常见不
等式
题型一 解不含参的一元二次不等式
题型二 分式不等式
题型三 绝对值不等式
题型四 指数，对数不等式
题型五 高次不等式
题型六 解含参的一元二次不等式
题型七 一元二次不等式的恒成立问题
题型八 一元二次不等式的有解问题
题型九 一元二次不等式的实际应用
题型一 解不含参的一元二次不等式
例1．（2023·四川自贡·统考三模）已知集合 ，集合
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出集合A,B,再根据并集的概念运算可得.
【详解】因为 ，
，
.
故选：C.
例2．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
(1) ；
(2)
【答案】(1) 或(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）原不等式整理得， ，
即 ，解得 或 ，
原不等式的解集为 或
（2）原不等式整理得， ，
，
原不等式的解集为 .
练习1．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】∵不等式 ，
又 ，
∴不等式 的解集为 .
故选：A.
练习2．（2023·北京·高三统考学业考试）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数的性质，解二次不等式.
【详解】当 时， ；当 时， ，
所以不等式 的解集是 .
故选：B
练习3．（2023·全国·高一专题练习） 的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】解不等式 ，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式 可得 或 ，因为 或 ，
故只有C选项中的条件才是“ ”的充分不必要条件.
故选：C.
练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知集合
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求解一元二次不等式化简集合 ，利用被开方数大于零化简集合 ，再利用交集
的定义求解 .
【详解】化简集合 ， ，
根据交集的定义， .
故选：B
练习5．（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）设全集为 ，集合
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的单调性计算得出 ，然后求出交集，根据
集合的补集运算计算，即可得出答案.
【详解】由已知可得 ， ，
所以， ，
所以 .
故选：D.
题型二 分式不等式
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知 ， ，则
__________．
【答案】
【分析】解不等式，再求交集.【详解】 等价于 ，解得 ，即 .
则 .
故答案为：
例4．求关于 的不等式的解集：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) 或 (2)
【分析】（1）先通分，将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解；
【详解】（1） ，即 ，等价于 ，解得
或 ，故 的解集为 或 ；
（2）不等式 可化为 ，也即 ，
所以 ，解得： ，
所以原不等式的解集为 .
练习6．已知全集 ，集合 ， ，则 ______，
______.
【答案】 或 或
【分析】先由分式不等式求法求解出集合 , 结合绝对值不等式解法求出集合 ,然后结合
集合的交集与并集运算即可求得答案.
【详解】由 得 ,
整理得 ,
解得 或 , 即 或
因为 或 或
所以 或 ;或 .
故答案为： 或 ; 或 .
练习7．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）全集 ，设集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A与集合B，运用集合的补集、交集计
算即可.
【详解】因为 或 ，
所以 或 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
练习8．（2022秋·云南昆明·高三统考期末）写出一个 的充分条件________．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】解不等式 得 ，只要找 的一个子集即可.
【详解】 等价于 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以 的一个充分条件是 ，
故答案为： （答案不唯一）.
练习9．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集 ，集合
， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可解出集合 ， ，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】集合 ，
或 ；
；
则 ．
故选：C
练习10．已知集合 ， ，求 ．
【答案】 .
【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再利用交集的
定义求解作答.
【详解】依题意，解不等式 ，得 ，解得 ，则 ，
解不等式 ，得 ，解得 ，则 ，
所以 .
题型三 绝对值不等式
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得 ， ，
所以 ．
故选：C．
例6．（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则
的非空真子集的个数为（ ）
A．14 B．6 C．7 D．8【答案】B
【分析】由绝对值不等式化简集合 ,进而由集合的交补运算即可化简 即
可求解.
【详解】由 可得 或 ，故集合 或 ，
所以 ，
所以 ，所以 的非空真子集的个数为 .
故选：B.
练习11．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.
【详解】由 可得 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
故选：A.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别化简集合 ，由集合的交集运算即可得出结论.
【详解】由题意可得 ， ，则 ．
故选：C.
练习13．（2023·上海·高三专题练习）若不等式 ，则x的取值范围是
____________．
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.
【详解】∵ ，则 ，解得 ，
∴x的取值范围是 .故答案为： .
练习14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知全集
，集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算 ， ，再计算补集得到答案.
【详解】 ， ， .
故选：A
练习15．（2023·河南新乡·统考三模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求集合 ，进而求 .
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：C.
题型四 指数，对数不等式
例7．（2023·浙江·高三专题练习）若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解绝对值不等式求出集合 、再解指数不等式求出集合 ，最后根据交集的
定义计算可得.
【详解】由 可得 ，解得 ，所以
，
由 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：B例8．（2023·全国·模拟预测）若集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.
【详解】由题意得 或 ， ，
所以 ．
故选：C．
练习16．（2022秋·浙江杭州·高三校考期中）不等式 成立的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.
【详解】不等式 可以化简为： 解得 或 ，则
或 ，所以满足条件则选项为A.
故选：A
练习17．（2021春·广东·高三校联考专题练习）已知全集 ，集合 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先化简集合 和 ，再结合选项一一判断即可．
【详解】由 或 ，
所以 ， ，所以选项A，B都错；
因为 ，则 ，所以选项C正确；由 ，所以 ，故选项D错
故选：C
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知集合， ， 或
，则 （ ）．
A． 或 B． 或
C． 或 D．
【答案】B
【分析】解法一利用对数不等式及绝对值不等式的解法，结合交集的定义即可求解.
解法二利用特殊值及交集的定义即可求解.
【详解】解法一：由题可得 或 ， 或 ，
所以 或 .
解法二：由题可得 ，所以 ，故排除A，D；
又 且 ，所以 ，故排除C．
故选：B．
练习19．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解对数不等式及一元二次不等式，求出集合 、 ，再根据交集的定义计算，
即可判断.
【详解】由 ，即 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
练习20．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解集合中的不等式，得到集合 ，再求两个集合的交集.【详解】不等式 解得 ，∴ ，
不等式 即 ，解得 ，∴ ，
则
故选：B
题型五 高次不等式
例9．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 的图像如图所示，则不等式
的解集是_______________.
【答案】
【分析】根据图像判断出 的关系，进而求得不等式 的解集.
【详解】根据函数 的图像可知：
，即 ，
不等式 可化为 ，
即 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
例10．（2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）不等式 的解集是
________．
【答案】 或
【分析】将该不等式进行等价转化，从而利用数轴标根法即可得解.【详解】不等式 可化为 ，故等价于 ，
利用数轴标根法解得 或 ，
即不等式 的解集是 或 .
故答案为： 或 .
练习21．（2004·全国·高考真题）不等式 的解集是___________．
【答案】
【分析】原不等式化为 ，即得解.
【详解】原不等式可以化为 ，
因为 ，所以 .
所以不等式的解集为 .
故答案为：
练习22．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）解下列不等式
(1)
(2)
【答案】(1) 或 ，
(2)无解
【分析】（1）将原不等式转化为两个不等式组，然后解不等式组即可得答案，
（2）先对不等式变形，得 ，然后通过求判别式结合抛物线的性质可得结果.
（1）
由 ，得
或 ，
得 或 ，
由 ，解得 或 ，由 ，解得 ，
综上， 或 ，
所以原不等式的解集为 或 ，
（2）
由 ，得 ，
因为 ，抛物线 的开口向上，
所以 ，
所以原不等式无解.
练习23．（2022秋·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）不等式
的解集为_______________．
【答案】
【分析】由题知 ，再根据穿根法求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因为 的根为 ， ， ， ，
所以如图，根据穿根法可得可得不等式的解集为
故答案为：
练习24．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）不等式
的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】原式可化为 ，解不等式即可．
【详解】解：原式可化为 ，
即 或 ，
解得： 或 ．
∴不等式解集为： ．
故选：D．
练习25．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式 的解
集为______.
【答案】
【分析】将不等式变形为 ，利用数轴标根法得到不等式的解集.
【详解】解：不等式 ，即 ，
方程 的根有 （2重根）， ， ， ， （2重根），
按照数轴标根法可得不等式的解集为 .
故答案为：
题型六 解含参的一元二次不等式
例11．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式
【答案】答案见解析
【分析】讨论 大小关系求一元二次不等式的解集.【详解】由 ，可得 或 ，则：
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
例12．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【答案】
【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式
的解集即可.
【详解】依题意 ，且 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
练习26．已知函数 ．
(1)当 时，求关于x的不等式 的解集．
(2)若 ，求关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2）不等式因式分解得到 ，分 ， 与 三种情况，
求出不等式的解集.
【详解】（1） 时， ，解得： ，
故解集为 ；
（2） 时， ，
变形为 ，
当 时， ，解得 ，当 时，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上：当 时，解集为 ，
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 .
练习27．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）（多选）已知关于x的不等式
的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式 的解集为
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得
，进而结合选项即可求解.
【详解】由不等式 的解集为 ，所以 和1是方程
的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得
，
故A错误，B正确， ，故C正确，
不等式 变为 ，解得 ，故D错误，
故选：BC
练习28．（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若关于x的不等式 的解集为 ，求 的最小值．【答案】(1)答案见解析
(2)36
【分析】（1）分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案；
（2）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和 、 与参数关系，构造
求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ．
当 时，不等式 的解集为 ．
当 时，不等式 的解集为 ．
当 时，不等式 的解集为 ．
（2）由题意，关于 的方程 有两个不等的正根，
由韦达定理知 解得 ．
则 ，
，
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立，
此时 ，符合条件，则 ．
综上，当且仅当 时， 取得最小值36．
练习29．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式
只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分 讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
【详解】不等式 化为 ，即 ，
当 时，不等式化为 ，得 ，有无数个整数解，不符合题意；当 时，由关于x的不等式 只有一个整数解，可知 ，
不等式 的解为 ，由题意， ，解得 ；
当 时，不等式 的解为 或 ，有无数个整数解，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是 .
故选：C
练习30．（2023·北京东城·统考二模）若 ，则实数 的
一个取值为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式 的解集为 的子
集即可满足题意.
【详解】因为 ，
且当 时，即 时， ，
当 时，即 时，才有可能使得 ，
当 的两根刚好是 时，即 ，此时 的解集为
刚好满足 ，
所以 ，所以实数 的一个取值可以为 .
故答案为:
题型七 一元二次不等式的恒成立问题
例13．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知 ，q：任意 ，
则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立解得 ： ，结合充分、必要条件的概念即可
求解.
【详解】命题 ：一元二次不等式 对一切实数x都成立，
当 时， ,符合题意；
当 时，有 ，即 ，解为 ，
∴ ： ．又 ： ，设 ，则 是 的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故选：A．
例14．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若 ，使得不等式
成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可转化为 ，使 成立，求 的最小值即可.
【详解】因为 ，使得不等式 成立，
所以 ，使得不等式 成立，
令 ， ，
因为对称轴为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式
在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】 ．
【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可
得答案.
【详解】令
因为 在区间 上是增函数，
所以
因此要使 在区间 上恒成立，应有 ，即所求实数m的取值范围为
．
故答案为： .
练习32．（2023·全国·高三专题练习）不等式 （ ）恒成立的一个充分
不必要条件是（ ）A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
【答案】D
【分析】先求得不等式 （ ）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条
件.
【详解】不等式 （ ）恒成立，显然 不成立，
故应满足 ，解得 ，所以不等式 （ ）恒成立的充要
条件是 ，A、C选项不能推出 ，B选项是它的充要条件， 可以推出 ，但
反之不成立，故 是 的充分不必要条件.
故选：D
练习33．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）若不等式 对一切实数
x都成立，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】由 对一切实数 都成立，结合函数的性质分成 ， 讨论
进行求解.
【详解】 对一切实数 都成立，
① 时， 恒成立，
② 时， ，解得 ，
综上可得， .
故选：A.
练习34．（2022秋·湖南张家界·高三张家界市民族中学校考阶段练习）“ ”是“关于
x的不等式 对任意实数x恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先根据关于x的不等式 对任意实数x恒成立得出 ，再根据
取值范围的关系判断即可得出答案.【详解】因为关于x的不等式 对任意实数x恒成立，
当 时，不等式可化为 恒成立；
当 时，要使不等式恒成立，则有 解得： ；
综上：实数 的取值范围为： ，
若 成立，则 不一定成立；反之也不成立，
所以“ ”是“关于x的不等式 对任意实数x恒成立”的既不充分也不必
要条件，
故选： .
题型八 一元二次不等式的有解问题
例16．（2023·全国·高一专题练习）若关于 的不等式 有解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【详解】若关于 的不等式 有解,
则 ，解得 .
故选：C.
例17．（2022秋·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）不等式
对于 恒成立，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意结合指数函数的单调性，得 对于 恒成立，设
，结合二次函数的性质可求得答案.
【详解】由 得 ，得 ，即 对于 恒成
立，
设 ，显然 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，当 时， 取得最小值0，
则 ，即 a的取值范围为 .
故答案为： .练习35．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 恒成立，
实数x的取值范围是_____.
【答案】
【分析】把题意转化为 ，设 ，由一次函数的单
调性列不等式组，即可求解.
【详解】 可转化为 .
设 ，则 是关于m的一次型函数.
要使 恒成立，只需 ，
解得 .
故答案为：
练习36．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）若关于 的不等式
的解集非空，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】运用判别式求解.
【详解】由题意知 ，解得 或 ，
∴b的取值范围是 ；
故答案为： .
练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，
，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题得 ，解出 的范围，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 ．
故选：D.练习38．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在 ，有 成
立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】参数分离可得 ，设 ，将存在问题转化为 ，
求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围.
【详解】解：将原不等式参数分离可得 ，设 ，
已知存在 ，有 成立，则 ，
令 ，则 ， ，
由对勾函数知 在
上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，即 ，
故答案为： .
练习39．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 上有解，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得 在区间 上有解，求出 在区间 上的最小值，
即可得出实数 的取值范围．
【详解】因为关于 的不等式 在区间 上有解，
所以 在区间 上有解，
设 ， ，其中 在区间 上单调递减，
所以 有最小值为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：C．练习40．（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）若关于 的不等式 在区
间 内有解，则 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】将问题转化为 在区间 内有解，从而求得 的最
大值即可得解.
【详解】因为 在区间 内有解，
所以 在区间 内有解，
令 ，则 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，故 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
题型九 一元二次不等式的实际应用
例18．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）某种饲料原来每袋成本为
10元，售价为15元，每月销售8万袋．
(1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利
润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？
(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价 元，并投入 万元作为
营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少
万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
【答案】(1)
(2)当售价为 时有最大利润为
【分析】（1）设饲料每袋售价为 元，则
，解得答案.
（2）设月总利润为 ， ，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）设饲料每袋售价为 元，则
，
解得 ，故饲料每袋售价最多为 元
（2）设月总利润为 ，
则
，
当 ，即 时等号成立，此时
故当售价为 时有最大利润为 .
例19．（2022秋·高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为 元的商品按每件 元
出售，每天可销售 件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提
高 元，销售量就要减少 件．那么要保证每天所赚的利润在 元以上，每件销售价可能
为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】AB
【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y
（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案.
【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元，
则 ，
依题意有 ，
即 ，
解得 ，
所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，
故选︰AB．
练习41．（2022春·辽宁·高二统考学业考试）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交
通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，
m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系： ，要判断该汽
车是否超速，需要求解的不等式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据题意列出不等式即可.
【详解】∵汽车的刹车距离大于10 m,
∴
∴
故选：B
练习42．某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费
标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的
收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）
【答案】
【分析】设每床每晚的租金提高10的 倍，由题意可得 ，解
不等式可得 的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.
【详解】设每床每晚的租金提高10的 倍，即为 元，
出租的床位会减少10的 倍张，即为 张，
由题意可得该旅社每晚的收入为 ，
整理可得：
解得： ，
因为 ，所以 可取6，7，8，9，
此时每个床位的定价 即为110，120，130，140，
所以每个床位的定价的取值范围是 ，
故答案为： .
练习43．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离
（单位： ）和汽车刹车前的车速 （单位： ）之间有如下关系： ，
在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40 ，则这辆汽车刹车前的车速至少为
（ ）（精确到1 ）
A．76 B．77 C．78 D．80
【答案】B
【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的 的关系式和不等式关系可得 的一元二
次不等式，求 的范围可得．
【详解】设这辆汽车刹车前的车速为 ，
根据题意，有 ，移项整理，得 ，
解得 ．
所以这辆汽车刹车前的速度至少为77 ．
故选：B
练习44．（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）某地区上年度电价为0.8元
，年用电量为 ，本年度计划将电价下降到0.55元 至0.75元
之间，而用户期望的电价为0.4元 ．经测算，下调电价后新增用电量和实
际电价与用户的期望电价的差成反比（比练习系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元
．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元
）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
(2)设 ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
【答案】(1) ．
(2)0.6元 ．
【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，
得到本年度实际用电量，再乘以 即可；
（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由
求解即可.
【详解】（1）设下调后的电价为x元 ，依题意知用电量增至 ，
电力部门的收益为 ；
（2）依题意有 ，
整理得 ，
解此不等式组得 ．
答：当电价最低定为0.6元 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
练习45．（2022秋·江苏常州·高三统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的
定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整
数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则
每个床位的定价应为______（元）.【答案】120或130
【分析】设每个床位的定价应为 元，进而得旅馆每晚的收入为 元，
再解不等式 并结合 是10的整数倍求解即可.
【详解】解：设每个床位的定价应为 元，则每晚上有 张床位有人
入住，
所以，旅馆每晚的收入为 元，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，
所以， ，即 ，解得 ，
因为 是10的整数倍，
所以，每个床位的定价应为120或130元.
故答案为：120或130.
