文档内容
专题 10 等腰（直角）三角形中的分类讨论思想
目录
A题型建模・专项突破
题型一、等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论..........................................................................................1
题型二、等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论......................................................................................3
题型三、三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论.......................................................................5
题型四、求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论.............................................................................................11
题型五、求有关直角三角形中的边长时未分类讨论............................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论
1．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知等腰三角形的两边长为 、 ，则它的周长为
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之
和大于第三边）是解题的关键．
分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长．
【详解】解：情况一：当腰长为 时，
因为 ，
所以三边 能构成三角形，
周长为 ，
情况二：
当腰长为 时，
因为 ，
所以三边 能构成三角形，
周长为 ，
故答案为： 或 ．
2．（25-26八年级上·全国·周测）已知等腰三角形的周长为 ，一边长为 ，则另外两边的长分别为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知没有明确腰和底边的题目一定要进行
分类讨论，还需验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
题中给出一边长为 cm，但未明确是底边长还是腰长，因此分两种进行讨论，再通过三角形的三边关系验
证是否能构成三角形即可．
【详解】解：根据题意，分类讨论：①当底边长为 cm，则腰长为： cm，
∵ ，
∴能组成三角形
∴此时其它两边长分别为 cm， cm；
②当腰长为 cm，则底边长为： cm，
∵
∴能组成三角形
∴此时其它两边长分别为 cm， cm
故答案为： 或 ．
3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做
“倍长三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，腰 的长为6，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关
系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三
角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当腰是底的2倍时，底边为 ，
∵ ，
∴可以构成三角形；
②当底是腰的2倍时，底边为 ，
∵ ，
∴不能构成三角形．
∴ 的周长=
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·月考）在 中， ， 边上的中线 将 的周长分
为 和 两部分，求 的边长．
【答案】 或 ．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握有关等腰三角形边的
分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键．
先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系求得三角形三边
的长即可．
【详解】解：如图，设
∵ 是中线
∴
若
即
解得： ，
此时， ，符合题意，
若
即
解得： ，
∵此时 ，符合题意，
综上所述， 或 ．
题型二、等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论
5．（25-26八年级上·江苏·月考）等腰三角形的一个角是 ，则它的底角是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为 和底角为 ，讨论求
解即可．
【详解】解：当顶角为 时，则底角为 ，
当底角为 时，则底角为 ，
综上所述，它的底角是 或 ，
故答案为： 或 ．
6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的顶角为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分 角为底角和顶角两种情况求解即可，
掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解： 当 的角为底角时，
此时顶角为 ；
当 的角为顶角时，
此时顶角为 ；
即该三角形的顶角为 或 ，
故答案为： 或 ．
7．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）在等腰三角形 中，已知 ，则顶角的大小为
度．
【答案】 或
【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可知 的角可能是顶角，也可能是底
角，利用三角形内角和定理，可求解．
【详解】解：当顶角为 时，则这个等腰三角形的顶角为 ；
当底角为 时，顶角为 ，
故答案为： 或 ．
8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末） 中， ， ，点D在直线 上，连
接 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，分点D在直线 上，点
D在 延长线上两种情况讨论即可．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
如图，当点D在直线 上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当点D在 延长线上时，
∵ ， ，∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
题型三、三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论
9．已知等腰 ， ，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ．
【答案】 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的
运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可
【详解】解：如图，
∵ ，
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴ ．
如图，
∵∴
∵
∴
∵
∴7∠A=180°，
∴ ，
故答案为： 或 ．
10．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知 分别是等腰三角形 的高线与角平分线，且
相交于F．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键．
由题意知，等腰 分 ； ； ；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，
三角形内角和定理计算求解即可．
【详解】解：由题意知，等腰 分 ； ； ；三种情况求解；
如图1，当 时，
∴ ， ，
∵ 分别是等腰 的高线与角平分线，
∴ ， ，
∴ ；
如图2，当 时，∴ ，
同理， ， ，
∴ ；
如图3，当 时，
∴ ，
同理， ， ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
11．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知 分别是等腰三角形 的高线与角平分线，且
相交于F．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键．
由题意知，等腰 分 ； ； ；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，
三角形内角和定理计算求解即可．
【详解】解：由题意知，等腰 分 ； ； ；三种情况求解；
如图1，当 时，∴ ， ，
∵ 分别是等腰 的高线与角平分线，
∴ ， ，
∴ ；
如图2，当 时，
∴ ，
同理， ， ，
∴ ；
如图3，当 时，
∴ ，同理， ， ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
12．在 中， 为钝角， ，如果经过 其中一个顶点作一条直线能把 分成两个
等腰三角形，那么 的度数为 ．
【答案】 或 或
【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和
三角形内角和定理分多种情况求解即可．
【详解】解：①过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为
，如下图，
∴ ，
∴ ，
若 是等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设成立；
②过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设成立；③过顶点C作一条直线把 分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为 ，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
∴ ，
故假设不成立；
④过顶点A作一条直线把 分成两个等腰三角形，等腰三角形为 只能以点C为顶点，如图，
设 ， ，
则 ，
∴ ，
若 为等腰三角形，顶点为M，
∴ ，
解得 ，
故假设成立；
⑤由题得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
若过顶点B作直线交 于点M，等腰三角形为 以点C为顶角，如图，
∵ ，故矛盾；
综上所述， 的度数为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
题型四、求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论
13．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在 中， ， ，点 在边 上（点
与 ， 不重合），作 ， 与边 相交于点 ．若 是等腰三角形，则 度数为
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：① ；② ；③以
的等腰三角形不存在；由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 ，
①如图， ，即 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图， ，即 是等腰三角形，∴ ，
∴ ；
③∵D不与B、C重合， ，
∴以 的等腰三角形不存在；
综上所述， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
14．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在 中， ，点D在线段 上运动
（点D不与点B，C重合），连接 ，作 ， 交线段 于点E．当 是等腰三角形时，
的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得 的度数，
是等腰三角形，分情况讨论：① 时，② 时，③ 时，分别求解即可．
【详解】解： ，
，
，
， 是等腰三角形，
分情况讨论：① 时， ，
，此时D点与B点重合，不符合题意；
② 时， ，
；
③ 时， ，
，
综上， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 △ 中， ， ， ，动点
从点 出发，沿线段 以每秒1个单位的速度向 运动，过点 作 交 所在的直线于点 ，
连接 ， ．设点 运动时间为 秒．当△ 是等腰三角形时，则 秒．【答案】5或 或4
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用三角形的
面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
由勾股定理求出 ，再分三种情况讨论如下：①当 时，根据 得 ，
由此得点 运动时间为 秒；② 时，根据 得 ，则 ，由三
角形的面积公式得 ，进而在 △ 中，由勾股定理得 ，由此得点 运动时间
为 秒；③当 时，则 ，在 △ 中，由勾股定理得 ，再由
三角形面积公式得 ，进而在 △ 中，由勾股定理得 ，由此得点 运动时间为
秒，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在 △ 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
当△ 是等腰三角形时，有以下三种情况：
①当 时，如图，
交 所在的直线于点 ，
，
此时点 运动时间为 （秒 ；
② 时，如图，，
，
，
，
由三角形的面积公式得： ，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
此时点 运动时间为 （秒 ；
③当 时，如图，
，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
交 所在的直线于点 ， ，
由三角形面积公式得： ，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
此时点 运动时间为 （秒 ，
综上所述：当△ 是等腰三角形时，点 运动时间为 为5秒或 秒或4秒．
故答案为：5或 或4．
16．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在 中， ， ， ，在直线
上找一点 ，使得 为以 为腰的等腰三角形，则 的长度为 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出 的
长度为5， 为以 为腰的等腰三角形，分两种情况： 当 时由
得 ； 当 时根据P点位置得 为8或2.
【详解】 在 中， ， ， ，
∴
当 时，如图1所示，
∵
∴在 与 中
∴
∴ ，
当 时，如图2所示，
P点在B点左侧：
或P点在B点右侧： .
综上所述： 的长度为3或8或2.
题型五、求有关直角三角形中的边长时未分类讨论
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线 上一动点， ．当 的度数为时， 为直角三角形．
【答案】 或
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意， 为直角三角形时，
当 为直角三角形时， ；
当 时， ，
故答案为： 或 ．
18．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形 的底边 为 ，腰 为 ，一动点
Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以 的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，
是直角三角形．
【答案】2或
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，
列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
先利用等腰三角形“三线合一”求出 以及 边上的高 ，再分别讨论 和 为直角的
情况，利用勾股定理分别求出两种情况下 的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作 ，
，
， ，
当点 运动到与点 重合时， 是直角三角形，
此时 ，
∴运动时间为 （秒）；
当 时，设 ，，
又 ，
，
，
，
所以运动时间为 （秒）；
综上可得：当 运动2秒或 秒时， 是直角三角形；
故答案为：2或 ．
19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在 中， ， ， ，点 ，
分别是 ， 边上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点 的对应点 始终落在边 上，若
是直角三角形时，则 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当
时，根据含 角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出 ，根据勾股定理可
求出 ，然后结合线段的和差求解即可；②当 时，根据含 角的直角三角形
的性质和折叠的性质可得出 ，然后结合线段的和差求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴
①当 时，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
20．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
D是边 上的一点（不与点B，C重合），连接 ，将 沿 折叠，使点C落在点E处．当
是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】6或 / 或6
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到 ，
根据已知条件得到当 是直角三角形时， 或 ，①当 时，则
，根据折叠的性质得到 ，于是得到 ，②当 时，
根据折叠的性质得到 ， ，推出点E在 上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∴
∵ ,
∴
∴ ，
∵点D是 边上的一点，
∴ ，
∴当 是直角三角形时， 或 ，
①当 时，则 ，
∵将 沿 折叠，使点C落在点E处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当 时，
∵将 沿 折叠，使点C落在点E处，
∴ ，
∴ ，
∴点E在 上，如图，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 6或 ，
故答案为：6或 ．一、单选题
1．（25-26八年级上·云南大理·期末）已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为（
）
A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，根据等腰三角形的定义，分类讨论：分腰长为
2或腰长为3两种情况讨论，计算周长并验证是否满足三角形三边关系．
【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为2和3，
∴当腰长2，底边3时，三边为2，2，3，
∵ ，
∴满足三边关系，周长 ；
当腰长3，底边2时，三边为3，3，2，
∵ ，
∴满足三边关系，周长 ；
∴周长为7或8，
故选：A．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰三角形中一个内角的度数为 ，则该等腰三角形底角的度
数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分顶角
为 和底角为 ，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为 时，则底角的度数为 ；
当等腰三角形的底角为 时，则底角的度数为 ，
综上所述，该等腰三角形的底角度数为 或 ，
故选：B．
3．（24-25八年级上·北京·期末）已知等腰三角形的周长为25cm，一边长为11cm，那么这个等腰三角形
的腰长为（ ）
A．11cm B．7cm C．14cm D．7cm或11cm
【答案】D
【分析】由于本题中等腰三角形的腰和底不确定，因此要分类讨论，最后还要根据三角形的三边关系将不
合题意的解舍去．本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，
还要注意看最后的结果是否符合三角形的三边关系．
等腰三角形周长为 ，一边长为 ，需分 为腰或底边两种情况讨论，并利用三角形两边之和大
于第三边验证是否构成三角形.
【详解】解：①若 为腰长，则底边长为 （ ），
∵ ,
∴能构成三角形，腰长为 ．
②若 为底边长，则腰长 （ ），
∵ ，
∴能构成三角形，腰长为 ．
综上，腰长为 或 ．
故选：D．
4．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）已知 ， ，若 的周长是 ，
，则 的边长可能为（）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．根据
等腰三角形的性质求出 ，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：∵ 的周长是 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ 的边长可能为 或 ．
故选：D．
5．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）已知等腰三角形 的周长为 ， ， 与 全等，
则 的边 （ ）
A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根
据等腰三角形的性质，分 为腰和 为底两种情况，求出三角形 的边长，再根据全等三角形的性
质， 可能等于三角形 的任意一边．
【详解】解：∵等腰三角形 的周长为 ， ，
当 为腰时，另一腰长为8，底边长为 ；当 为底时，两腰长均为 ；
∴三角形 的边长可能为8，8，2或5，5，8；
∵ ，
∴ 可能等于三角形 的任意一边，即 或5或8．
故选：C．
二、填空题
6．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）等腰三角形的一边长是6，周长是16，则其另外两边长是 ．
【答案】5和5或4和6
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况讨论：当边长为6的边是腰
时和边长为6的边是底边，根据等腰三角形的定义求出另外两边的长，再根据构成三角形的条件验证即可．
【详解】解：当边长为6的边是腰时，则底边长为 ，
此时该三角形的三边长分别为6，6，4，
∵ ，
∴此时能构成三角形，符合题意；
当边长为6的边是底边时，则腰长为 ，
此时该三角形的三边长分别为5，5，6，
∵ ，
∴此时能构成三角形，符合题意；
综上所述，该等腰三角形的另外两边长为5和5或4和6，
故答案为：5和5或4和6．
7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的
顶角的度数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三
角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解．
【详解】解：设等腰三角形 中， ， 为腰 上的高，与另一腰 的夹角为 ，
①当 为锐角三角形时，高 在三角形内部，如图，
在 中， ， ，则 ，
②当 为钝角三角形时，顶角 为钝角，高 在外部，即点 在 的延长线上，如图：在 中， ， ，
则 ，
综上，该等腰三角形的顶角的度数是 或 ，
故答案为： 或 ．
8．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的
“和谐比”．若等腰三角形 的周长为 ，其中一边长为 ，则这个等腰三角形的“和谐比”为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的
关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可．
【详解】解：等腰三角形 的周长为 ，其中一边长为 ，
若 为腰长，则底边长为 ，满足三角形的三边条件，其和谐比为 ，
若 为底边长，则腰长为 ，满足三角形的三边条件，其和谐比为 ．
故答案为： 或 ．
9．（22-23七年级下·江苏苏州·月考）如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的
三角形为“准直角三角形”．如图，在 中， ， ， 是射线 上一点，且
是“准直角三角形”，则 的所有可能的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角
形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
分三种情况讨论，
如图，当点P在 延长线上， ，则 ，此时 ，
即 ，
∴ ①，
∵ ②，
由 ，可得 ，
∴ ；
如图，当点P在 延长线上， 时，则 ，
此时 ，即 ，
∴ ③，
∵ ④，
由 ，可得 ，
∴ ；
如图，当点P在线段 上时， ， ，
∴ ，
∴此时 ；
综上所述， 的所有可能的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．10．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ，动点P从
点C出发，以 的速度沿折线 移动到B，当点P在 上运动时，则点P出发 秒
时， 为等腰三角形；当点P在 上运动时，则点P出发 秒时， 为等腰三角形．
【答案】 6 12或13或
【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点P在 上运动时，
， 为等腰三角形， ，则 ，即可求出t的值；当点P在 上运动时，
为等腰三角形，分三种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当点P在 上运动时， ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：6
当点P在 上运动时，
∵
∴ ，
当 为等腰三角形时，
有三种情况∶①当 时
∴ ，
解得： ；
②当 时，过点P作 ，如图，
∴E是 的中点，
∴ ,设 边上的高为h,则 ,
解得： ，
∵
∴ ，
即
解得 ；
③当 时，过点C作 ，如图∶
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
即 ，
解得： ，
综上：当点P在 上运动时，则点P出发12或13或 秒时， 为等腰三角形
故答案为：12或13或 ．
三、解答题
11．（2026八年级·全国·专题练习）已知 为等腰三角形，它的一个外角为 ，求 的度数．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做
题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后用内角和定理或三角形外角的性质求 的度数
即可．
【详解】解：当 是顶角，且 的外角是 时， ；当 是顶角，且 或 的外角是 时，故底角 ；
当 是顶角，且 或 的外角是 时，底角为 ，
故顶角 ；
当 是顶角，且 的外角是 时， ．
综上所述， 的度数为 或 或 ．
12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，若点P是边
上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从 运动，同时点Q从 以每秒1个单位的
速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，当t为
何值时， 为直角三角形？
【答案】
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由
题意可分当 时，当 时，进而进行分类求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴当点Q到达点C时，所需时间为 秒，点P到达点B的时间为 秒，到达终点A的时间为
秒，
由题意可分：
①如图1，当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
，
，解得： ．
②如图2，当 时，
，，
，
若 ，则 ，解得： ；
若 时，则 ，解得： ．
综上所述：当t为 时， 为直角三角形．
13．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知 是 的三边长， ．
(1)求 的取值范围．
(2)若 是等腰三角形， 的周长是多少．
【答案】(1)
(2)15或18
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可；
（2）根据 ，c必须与a或b相等，再分两种情况： 和 ，结合（1）所求的c的取值范
围，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的三边长，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴c必须与a或b相等，
当 时，满足 ，即此时能构成三角形，
∴此时 的周长 ；
当 时，满足 ，即此时能构成三角形，
∴此时 的周长 ；
综上所述， 的周长是15或18．
14．（24-25八年级上·福建南平·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直
角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在 中， ，
， ，动点 从点 出发，沿射线 运动，动点 从点 出发，沿射线 运动，如果
动点 以 ， 以 的速度同时出发，设运动时间为 ，解答下列问题：(1)当 为多少时， 是等腰三角形？请说明理由．
(2)当 为多少时， 是直角三角形？请说明理由．
【答案】(1) 或 时， 是等腰三角形，见解析
(2) 或 时， 是直角三角形，见解析
【分析】（1）由题知， ， ，再分两种情况：①当点 ，点 在线段 ， 上运动
时，即 时；②当点 ，点 在线段 ， 延长线上运动时，即 时；分别根据等腰三角形的
性质列出方程，求解即可；
（2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
由题知， ，
①当点 ，点 在线段 ， 上运动时，即 时
是等腰三角形
是等边三角形
，
解得，
②当点 ，点 在线段 ， 延长线上运动时，即 时
是等腰三角形，
解得，
综上所述， 或 时， 是等腰三角形
（2）解：当点 ，点 在线段 ， 上运动时，即 时
①当 时
，
，
解得，
②当 时
，
∴ ，
解得，
当点 ，点 在线段 ， 延长线上运动时， 是钝角三角形，不符合题意，舍去.
综上所述， 或 时， 是直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
15．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，已知在 中， ， ， ，
是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点 的运动
时间为 秒，连接 ．
(1)当 秒时，求 的长度；(2)当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)过点 作 于点 ，连接 ，在点 的运动过程中，当 平分 时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2) 或 或12
(3) 或
【分析】（1）先求出 的长，进而求出 的长，勾股定理求出 的长即可；
（2）分3种情况进行讨论求解即可；
（3）分两种情况：①点P在线段 上时，先证 ，得出 ， ，
再由勾股定理求出 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点P在线段 的延长线上时，过点D作 于E，同①得 ，得出 ，
，再由勾股定理得 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，
解方程即可．
【详解】（1）解：由题意，当 时， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ；
（2）解：由题意， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
当 为等腰三角形时，分3种情况：
① ，如图，则： ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ；
② ，则 ；③ ，如图：
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 或12；
（3）解：①点P在线段 上时，过点D作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点P在线段 的延长线上时，过点D作 于E，如图2所示：同①得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为 或 时， 平分 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类
讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．
16．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点 是边长为3cm的等边 的边 上的动点，
点 从点 出发，沿线段 向点 运动．
(1)如图1，若另一动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，动点 ， 都以 的速度同时出发，设
运动时间为 ，连接 ， 交于点 ，连接 ．
①当 为何值时， 是直角三角形？
②在 ， 运动的过程中， 会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)如图2，若另一动点 从点 出发，沿射线 方向运动，连接 交 于点 ，动点 ， 都以
的速度同时出发，设运动时间为 ，连接 ，当 为何值时， 是等腰三角形？
【答案】(1)① 或 ；②不会发生变化，
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键．
（1）①当 是直角三角形时，分 或 时两种情况列方程，即可算出t的值；②
根据 证得 ，得到 ，根据三角形外角的性质得到
，即可证明；
（2）当 是等腰三角形时， ，然后即可证明 ，即可根据题意求出t的值．
【详解】（1）解：①∵等边 的边长为3cm，
∴ ， ，
根据题意得： ， ，
∵ 是直角三角形，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
，
解得 ．
当 的值为1或2时， 是直角三角形．
②不会发生变化， ．
是等边三角形，
， ．
在 和 中，
，
，
．
，
．
故不会发生变化， ．
（2）解： ，
当 是等腰三角形时， ，．
，
，
，即 ．
，
，解得 ．
故当 的值为1时， 是等腰三角形．
