文档内容
专题 20 空间向量与立体几何（八大题型+模拟精练）
目录：
01 空间向量的线性运算
02 空间向量的数量积
03 空间向量的基本定理
04 空间向量的坐标表示
05 利用空间向量判断位置关系
06 利用空间向量求角度
07 利用空间向量求距离
08 空间向量与立体几何 解答题
01 空间向量的线性运算
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱 中， ，P为 的中点，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若 是空间任意四点，则有
B．若表示向量 的有向线段所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面
C．若 共线，则表示向量 与 的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点 与不共线的三点 、 、 ，若 （其中 、 、 ），
则 、 、 、 四点共面
4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱 中， 分别为 中点，过 作
三棱柱的截面交 于 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
02 空间向量的数量积5．（23-24高二下·湖北·期末）空间向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱 中， ，
， ，则 （ ）
A．48 B．32 C． D．
7．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体 的棱长为 ， 是正方体外接球的直径，
为正方体表面上的动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南新乡·二模）已知圆锥 的底面半径为 ，高为1，其中 为底面圆心， 是底面圆的
一条直径，若点 在圆锥 的侧面上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
03 空间向量的基本定理
9．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中， ， ， ，
若 ，且 ∥平面ABC，则实数 （ ）A． B． C． D．
10．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，实数
满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
11．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）以等腰直角三角形斜边 上高 为折痕，把 和
折成 的二面角.若 ， ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
04 空间向量的坐标表示
12．（2023·河南·模拟预测）已知空间向量 ，若 共面，则实数
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（23-24高二下·福建莆田·期末）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且
.若 为该三棱锥外接球上的一点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
14．（23-24高二下·福建·期中）在棱长为2的正方体 中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足 的点P的个数为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
05 利用空间向量判断位置关系
15．（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面 外的直线l的方向向量为 ，平面 的一个法向量为
，则（ ）
A．l与 斜交 B． C． D．
16．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）空间四边形 中 分别为 的点（不
含端点）.四边形 为平面四边形且其法向量为 .下列论述错误项为（ ）
A． ，则 //平面
B． ，则 平面
C． ，则四边形 为矩形.
D． ，则四边形 为矩形.
17．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体 的棱长为1，动点 在线段 上，动点
在平面 上，且 平面 ，线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线 为平面
与平面 的交线，现有如下说法
①不存在点 ，使得 平面②存在点 ，使得 平面
③当点 不是 的中点时，都有 平面
④当点 不是 的中点时，都有 平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
06 利用空间向量求角度
19．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体 中， ， ， ，
，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 中，已知 ，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 与BD所成的角为90°B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
21．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形 ，现将
沿 折起，当二面角 的大小在 时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
07 利用空间向量求距离
22．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）平行六面体 中，
，点 为 的中点，则点 到直线 的距离为
．23．（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体 中，E，F分别为正方形 和正
方形 的中心，则点 到平面 的距离为 .
24．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于
底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ．
25．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
点 为 的中点，则 与平面 的位置是 ．
26．（19-20高二·全国·课后作业）正方体ABCD-A BC D 的棱长为4，M，N，E，F分别为AD，AB，
1 1 1 1 1 1 1 1
C D，BC 的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
1 1 1 1
08 空间向量与立体几何解答题
27．（24-25高三上·湖南·开学考试）如图，在直三棱柱 中， 是侧棱 的中点，
.(1)证明：平面 平面 ；
(2)求锐二面角 的余弦值.
28．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，
为线段 的中点， ， 为线段 上的动点.
(1)证明： ；
(2)当 为线段 的中点时，求点 到面 的距离.
29．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 为等边三角
形， ，点 为棱 上的动点．
(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 的大小为 时，求线段 的长度．30．（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱 与四棱锥 拼接而成的组合体中， 是半圆弧
上（不含 ）的动点， 为圆柱的一条母线，点 在半圆柱下底面所在平面内，
.
(1)求证： ；
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到直线 距离的最大值.
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 中， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设 ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．3 D．
3．（2024·山西·三模）正方体 的棱长为2， 分别为 的中点， 为底面的中心，则三棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中， ， ，
，点D，E，F满足 ， ， ，则直线CE与DF所成的角为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体 ，以正方体中心为球心的球 与正方
体的各条棱相切，若点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形 ， ，将 沿对角线 折起，使以
四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·三模）在四面体 中， 是边长为2的等边三角形， 是 内一点，四面
体 的体积为 ，则对 ， 的最小值是（ ）A． B． C． D．6
8．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长
度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·河北承德·二模）如图，在正四棱柱 中， 是棱 的中点，
为线段 上的点（异于端点），且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是平面 的一个法向量
B．C．点 到平面 的距离为
D．二面角 的正弦值为
10．（2024·山东滨州·二模）图，在边长为4的正方形 中， 为 的中点， 为 的中点．若分
别沿 ， 把这个正方形折成一个四面体，使 、 两点重合，重合后的点记为 ，则在四面体
中，下列结论正确的是（ ）
A．
B． 到直线 的距离为
C．三棱锥 外接球的半径为
D．直线 与 所成角的余弦值为
11．（2024·江西宜春·三模）如图，正方体 的棱长为2，设P是棱 的中点，Q是线段
上的动点（含端点），M是正方形 内（含边界）的动点，且 平面 ，则下列结论正
确的是（ ）A．存在满足条件的点M，使
B．当点Q在线段 上移动时，必存在点M，使
C．三棱锥 的体积存在最大值和最小值
D．直线 与平面 所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题
12．（2024·山东济南·一模）在三棱柱 中， ， ，且 平面 ，
则 的值为 .
13．（2024·河南·一模）三棱锥 中， ， ， ， ，点M，
N分别在线段 ， 上运动.若二面角 的大小为 ，则 的最小值为 .
14．（2024·山东青岛·一模）已知球O的表面积为 ，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面
上，球心O为 的外心，棱AB与球面交于点P．若 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平
面 ， 且 与 之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与 交于点Q，
R，则 的周长为 .
四、解答题
15．（2024·广东·模拟预测）如图，在直四棱柱 中，
.(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值.
16．（2024·青海·模拟预测）如图，在斜三棱柱 中， ，M为AC的中点， ．
(1)证明： ．
(2)若 ， ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
17．（2024·山东烟台·三模）如图，在直三棱柱 中， ，M，N分别为 ，
中点，且 ．
(1)证明： ；(2)若D为棱 上的动点，当 与平面 所成角最大时，求二面角 的余弦值.
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形 中， ， ，将 沿矩形的对角
线 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥 ，且 .
(1)求翻折后线段 的长；
(2)点 满足 ，求 与平面 所成角的正弦值.
19．（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在多面体 中，侧面 为菱形，侧面 为直角梯
形， ， ， 为 的中点，点 为线段 上一动点，且 ， ，
.
(1)若点 为线段 的中点，证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角
的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
