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专题 17 一元二次方程的应用(重难题型)
1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户
高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门
的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符
合题意的是（ ）
A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12
C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002
【答案】D
【分析】
1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定
理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
【详解】
解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.
设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，
依题意得：x2+（x+68）2＝1002.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关
键．
2．如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B
同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q
移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的
时间是（ ）A． B． 或 C． D．
【答案】A
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，用t分别表示出BP和BQ的长，
利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒，能使 的面积为 ，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t =3，t =5（当t =5，BQ=10，不合题意，舍去）
1 2 2
∴动点P，Q运动3秒，能使 的面积为 ．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
3．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）
余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】
将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得
到方程即可．
【详解】
解：根据题意得： ；
故答案为： ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条
道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键．
4．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，
求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增
长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为 ，根据增长率公式列式即可；
【详解】
则可列方程为 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程增长率公式的应用，准确分析列式是解题的关键．
5．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共
送了 张照片，如果全班有 名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】
如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张
相片”，可得出方程为x（x-1）=2550．
【详解】
解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为（x-1）张，
∴x（x-1）=2550．
故选：B．
【点睛】
此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共
送，也是互送，所以要把握住关键语．
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干
和小分支的总数是31，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．1+x2=31 B．1+x+x2=31 C．x+x2=31 D．(1+x)2=31
【答案】B
【分析】
设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，
可求得答案．
【详解】
解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：1＋x＋x2＝31
故选：B．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
7．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 张，设参加活动的同学有
人，根据题意，可列方程（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
设参加活动的同学有x人，则每人送出（ ）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42
张，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（ ）张贺卡，
依题意得： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
8．一个菱形两条对角线的长是方程 的两个根，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．6或12 C．8 D．6
【答案】D
【分析】
利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积= 对角线的积求解即可．
【详解】
解： ，
（x-6）（x-2）=0，
∴x =6，x =2，
1 2
∵菱形的两条对角线长分别为6，2，
∴菱形面积为 ，
故选：D．
【点睛】
综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用
到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积= 对角线的积．9．如图，在长20米，宽12米的矩形ABCD空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边
垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面
积是40平方米，若设小路的宽是x米，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．32x+2x2＝40 B．x（32+4x）＝40
C．64x+4x2＝40 D．64x﹣4x2＝40
【答案】B
【分析】
设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为2x米，根据小路的横向总长度（20+2x）米和
纵向总长度（12+2x）米，根据矩形的面积公式可得到方程．
【详解】
解：设道路宽为x米，则中间正方形的边长为2x米，
依题意，得：x(20+2x+12+2x)=40，
即x(32+4x)=40，
故选：B．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式
列出方程并解答．
10．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛
90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，
可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求
解．
11．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，
设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【分析】
关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．
【详解】
解：本次比赛共有x个参赛棋手，
所以可列方程为： x（x 1）=45．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关
系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
12．某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低 %，连续两次
降低后成本为64万元，则 的值为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】D
【分析】
设平均每次降低成本的百分率为x%的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x%）元，再
经过一次下降后成本变为100（1-x%）（1-x%）元，根据两次降低后的成本是64元列方程
求解即可．
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x%，根据题意得100（1-x%）（1-x%）=64，解得x=20或180（不合题意，舍去）
故选：D．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用的知识，是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就
变为原来的（1±x%）倍，调整2次就是（1±x%）2倍．
14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，
这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】
设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精 升，然后根据
题意列出方程求解即可．
【详解】
解：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．
若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，
第二次倒出纯酒精 升，
根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数，
∴ ，
解得 ， （舍），
因此每次倒出溶液10升，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．
14．在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，如
果A，B两点关于原点对称，那么 的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2【答案】C
【分析】
利用A，B两点关于原点对称，得到关于a的一元二次方程，解方程后检验即可．
【详解】
解：因为A，B两点关于原点对称，
∴ ，
解得 ，或 ；
因为A、B是不同的两点，
当 时， ，因此 不合题意，故舍去；
∴a 的值是2；
故选：C．
【点睛】
本题考查了数轴上关于原点对称的两点对应的数之间的关系，涉及到了相反数的概念和解
一元二次方程等内容，解决本题的关键是能正确列出方程并能正确求解，最后要检验结果
是否符合题意．
15．如图，某小区在一块长为 ，宽为 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其
中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使
得花草区域占地面积为 ．设小路的宽度为 ，则下列方程：
① ；
② ；
③ ．
其中正确的是（ ）A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【详解】
设小路的宽度为 ，那么草坪的总长度和总宽度应该为 ，根据题意即可得
出方程为 或 ，故选C．
16．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关
于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这
种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
先求得x2=x+1，再代入 即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴ =（x+1）2+x(x+1)-5x+3
=x2+2x+1+x²+x-5x+3
=2x2-2x+4
=2(x+1)-2x+4
=2x+2-2x+4
=6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过
把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关
键．
17．某市 年投入教育经费 万元， 年投入教育经费比 年增加 万
元，若 年至 年该市投入教育经费的年平均增长奉为 则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
年投入教育经费（1+增长率）2= 年投入教育经费，据此列方程即可．
【详解】
解： 年至 年该市投入教育经费的年平均增长率为 ，
年投入教育经费 万元，
年投入教育经费为 ， 年投入教育经费为 ，
由题意得， ，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键时读懂题意，设出未知数，找出合适的等量
关系列出方程．
18．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均
每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1-x），那么第二次降
价后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程即可．【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
25（1-x）2=16．
故选：A．
【点睛】
此题考查了由实际问题一元二次方程抽象出一元二次方程，最基本数量关系：商品原价×
（1+平均每次提价的百分率）=现在的价格．
19．如图①，在矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，动点 由点
出发，沿 向点 运动．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ，
与 的函数关系图象如图②所示，则对角线 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
略
20．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有
81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染 人，则下列方程正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．
【详解】
设每人每轮平均感染 人，由题意得，
x（x+1）+x+1=81，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，
本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．
21．国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务
收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长
率为x，根据题意可列出方程为（ ）
A．5000（1+2x）=7500
B．5000（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【答案】C
【分析】
根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量 x(1+增长率)2=2020年的快递业务量，根据
等量关系列出方程即可；
【详解】
设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000(1+x)2=7500，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程关键是掌握平均变化率的方法，若设变化
前的量为 a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1士
x)2=b；
22．小明看到关于四川大凉山留守儿童的相关报道后，想为这些孩子献一份爱心，六一儿
童节当天他将三、四、五三个月挣得的800元零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣
得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方
程为（ ）
A．200（1＋2x）＝800 B．200×2（1＋x）＝800
C．200（1＋x）2＝800 D．200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2＝800【答案】D
【分析】
等量关系为：三月份零花钱+四月份零花钱+五月份零花钱=800，据此列出方程即可．
【详解】
解：设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2=800，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关
系，注意四月份的零花钱是在三月份零花钱的基础上得到的．
23．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，
BC＝ ，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
【答案】C
【分析】
在 中，由勾股定理可得 ，结合 ，
，即可得出 ，进而可得出AD的长是方程
的一个正根．
【详解】
在 中，由勾股定理可得与方程 相同，且AD的长度是正数
AD的长是方程 的一个正根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长得出
是解题关键．
24．某商品的售价为100元，连续两次降价 后售价降低了36元，则 的值为（ ）
A．60 B．20 C．36 D．18
【答案】B
【分析】
起始价为100元，终止价为100-36=64元，根据题意列方程计算即可．
【详解】
∵起始价为100元，终止价为100-36=64元，
∴根据题意，得
100 =64，
解得x=20或x=180（舍去），
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，熟练掌握增长率问题的计算方法，正确布列方程
是解题的关键．
25．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为 元．若每份盒饭的售价为 元，每天可
卖出 份．市场调查反映：如调整价格，每涨价 元，每天要少卖出 份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到 元，设每份盒饭涨价 元，则符合题意的方程是（ ）2-
1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为
元．若每份盒饭的售价为 元，每天可卖出 份．市场调查反映：如调整价格，每
涨价 元，每天要少卖出 份”即可得出答案．
【详解】
解：每份盒饭涨价 元后，利润为(16+x-12)元，
销售量为(360-40x)盒，
∴可得方程为 ，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关
键．
26．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有 人感染，设每轮传染中平均一个
人传染了 个人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中
平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传
染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，
即(1+x)2=121，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染
给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．
27．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长 ，宽 的矩形作
品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为
，则 满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
28．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评
为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，
预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增
长率为（ ）
A．4.4% B．12% C．20% D．24%
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.【详解】
解：设平均增长率为x，根据题意，得
10 =14.4，
解得x=0.2或x=-2.2（舍去），
所以x=0.2即平均增长率为20%，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.
29．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价
为 元/瓶，经两次下调后价格变为 元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意得，
250（1-x）2=160，
解得，x =0.2，x =1.8（舍去），
1 2
答：该药品平均每次降价的百分率为20%；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或
下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．
30．双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天商场
又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的
84%，则这个给定的百分比为（ ）
A．16% B．36% C．40% D．50%
【答案】C
【分析】把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则提升后的价格为1+x，双十一的价格为(1+x)
(1-x)，由题意可得方程，解方程即可得给定的百分比．
【详解】
把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则由题意得方程：(1+x)(1-x)=84%
解得：x=0.4或x=-0.4（舍去）
∴x=0.4
即提升的百分比为40%
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键两个：一是设衬衫的价格为1，二是找到等量关系．
31．某市2019年年底自然保护区覆盖率为15%，经过两年努力，预计该市2021年年底自
然保护区覆盖率将会达到21.6%，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率为（ ）
A．25% B．20% C．6.6% D．3.3%
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程增长率应用公式计算即可；
【详解】
设这两年自然保护区面积的平均增长率为x，
依题意得 ，
解得： ， （舍）；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程增长率公式应用，准确计算是解题的关键．
32．电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率
增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10 B．3 （1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【答案】D
【分析】
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
33．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减
少了19%，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设降价前的房价为1，则降价后的房价为(1-19%)，根据增长率问题，一般增长后的量=增长
前的量×（1+增长率）列出方程即可．
【详解】
解：设平均每次降低的百分率为x，
根据题意，得
（1-x）2=1-19%，
解得： =0.1=10%， =1.9（舍去）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为
x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
34．由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月
生产量的增长率为 ，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为
x万个，则可列方程（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据增长率分别表示出11月、12月的生产量，再依据第三季度的生产量为2375万个，列
方程即可．
【详解】
解：根据题意，11月的生产量为： （万个）；
12月的生产量为： （万个）；
第三季度的生产量为2375万个，列出方程为： ．
故选：C．
【点睛】
本题看考查了一元二次方程应用的增长率问题，解题关键是明确增长率问题的解题特征，
注意所求为一季度产量．
35．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年
起到2020年累计投入5250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长
率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．1500 （1+x） 2＝5250
B．1500 （1+2x）＝5250
C．1500+1500x+1500x2＝5250
D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x） 2＝5250
【答案】D
【分析】
根据题意分别表示出2019年、2020年的投入进而得出等式；
【详解】
设投入经费的年平均增长率为x，根据题意得：
1500+1500 (1+x)+1500 (1+x) 2=5250；
故选：D．【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出每年的投入是解题关键．
36．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量
不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低
元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液
的瓶数是（ ）
A．200 B．150 C．150或200 D．200或300
【答案】A
【分析】
设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可；
【详解】
设购买洗手液x瓶，
∵ ＜ ，
∴ ＞ ，
∴ ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
37．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新
冠”，平均一个人传染（ ）个人．
A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C
【分析】
据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为361人，设平均每人感染x
人，则列式为1+x+（x+1）x=361．即可解答．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝361，
解得，x＝18或x＝﹣20（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了18个人．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
38．《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在
云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为
20m的矩形场地 （如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 平行、
另一条与 平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为 ，求道路的宽度、
若设道路的宽度为 ，则 满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为 ，宽为 的矩形即可列出方程．【详解】
解： 道路的宽度为 米，
将6块草坪拼在一起，便组成一个长为 ，宽为 的矩形，
每块草坪的面积为
则有
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题目，将6个草坪拼接成一
个矩形，利用等量关系列方程．
39．某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，
当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10
千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超
过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
【答案】5
【分析】
设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，则需要支付费用40x元，损失10x千克，价格为
（6+0.5x）元，根据获利1175元，列方程求解．
【详解】
解：设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，
由题意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，
解得：x =5，x =15
1 2
∵储藏时间不超过10天，
∴x =15舍去．
2
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列方程求解．
40．如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点E在线段 上
（不与点A，B重合），过点E分别作 和 的垂线，垂足为C，D．当矩形 的
面积为1时，点E的坐标为_________．
【答案】 或
【分析】
先根据一次函数的解析式求出点 的坐标为 ，再设点 的坐标为 ，
从而可得 ，然后根据矩形的面积公式可得一个关于
的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】
解：对于一次函数 ，
当 时， ，解得 ，则 ，
由题意，设点 的坐标为 ，则 ，当矩形 的面积为1时，
则 ，
解得 或 ，均符合题意，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上，点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确解一元二次方程是解题关键．
41．如图，某小区规划在一个长为 、宽为 的矩形场地 上修建三条同样宽
的小路，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草．若草坪部分的总面
积为 ，则小路的宽度为________m．
【答案】2
【分析】
设小路的宽度为xm，则根据平移的性质得草坪是一个长为(24-2x)m，宽为(10-x)m的矩形，
根据其面积为 ，可得方程，解方程即可．【详解】
设小路的宽度为xm，则由题意可得：(24-2x)×(10-x)=160
解方程，得： ，
当 时，10-x=-10<0，不合题意，舍去
所以
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移性质，通过左右平移和上下平移，得到
一个新的矩形，此时新矩形跟原矩形相比，长减小了两个路宽，宽减小了一个路宽，同时
注意检验解的合理性．
42．为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在 一块正方形的空
地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“┛”带，鲜花带一边宽1m．另一边宽2m，
剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长 m，可列方程为_______．
【答案】
【分析】
根据正方形的性质，矩形的判定，后表示出长方形的长与宽，计算即可．
【详解】
设原正方形的边长为x，则长方形的长为x-1，宽为x-2，
根据题意，得（x-1）（x-2）=18，
故答案为：（x-1）（x-2）=18．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，准确理解正方形的性质，正确列出方程是解题的关键．
43．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 ．去年，新丰收公司用各
100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌
试验田的面积减少了 ．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下
的每亩用水量都进一步减少了 ．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求
的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道
维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．
在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是
否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、
3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【分析】
（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水 吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】
（1）解：设漫灌方式每亩用水 吨，则
，
，
漫灌用水： ，
喷灌用水： ，
滴灌用水： ，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．（2）由题意得，
，
解得 （舍去）， ，所以 ．
（3）节省水费： 元，
维修投入： 元，
新增设备： 元，
，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】
本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正
确列式计算是解题关键．
44．2020年春节期间人们积极响应政府关于疫情防控的号召，线上拜年、云聚会、春节视
频分享等活动成为主要娱乐互动方式，拉动了移动流量的攀升．据了解，2020年春节假期
期间，移动流量消费了约275万 ．而2018年春节假期期间我国移动流量共消费了约85
万 ．若每年移动流量的平均增长率相同．
（1）求每年移动流量的平均增长率约为多少？
（2）若按此增长率再增长一次，则增长后的移动流量消费量约为多少？
【答案】（1） ；（2）增长后的移动流量消费量约为495万 ．
【详解】
解：（1）设每年移动流量的平均增长率为x，
根据题意可得 ，解得 （不合题意，舍去）．
答：每年移动流量的平均增长率约为 ．
（2）若按此增长率再增长一次，则增长后的移动流量消费量约为
（万 ）．
答：增长后的移动流量消费量约为495万 ．
45．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生
产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件
A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业
互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下
产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单
价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 %．
求a的值．
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【分析】
（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方
程解出即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程
解出即可；
【详解】
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．解这个方程，得 ．
则 ．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得
设a%=m，则原方程可化简为 ．
解这个方程，得 （舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
46．问题提出：
如果在一个平面内画出 条直线，最多可以把这个平面分成几部分？
问题探究：
为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进
到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．
探究一：
如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为 ．
探究二：
如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可
记为 ．
探究三：
当在平测内而2条使线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相
变（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可
记为 ，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多
探究四：
当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3
条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个
交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7
部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为
．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部
分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．
探究五：
当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交
点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．
因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为
．探究六：
在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解
答过程，不需画图）
__________
问题解决：
如果在一个平面内画出 条直线，最多可以把这个平面分成 部分．
应用与拓展：
（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至
多被分成 个部分．
（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有 条．
（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为 块．
【答案】探究六：16；问题解决：1+ ；应用与拓展：（1）73；（2）31条．
（3）16．
【分析】
探究六：平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，
这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到
1+1+2+3+4+5=16个部分；
问题解决：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论；
应用与拓展：
（1）根据10条直线将平面分成了50个部分，少了6个部分，再按12条直线，计算出平
面的个数减去6，即可得出结论；
（2）根据公式1+ =497，那计算得出结果即可；
（3）当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
当切4刀时，块数为1+1+2+3+4=11块；
当切5刀时，块数为1+1+2+3+4+5=16块；
…继而可得出切n刀时所得的蛋糕块数．
【详解】
解：探究六：根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线
最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总
共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分；
问题解决：根据规律得，n条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+ ，
故答案为1+ ；
应用与拓展：
（1）如果一个平面内的10条直线时，最多可分为1+ = 部分，
现在只有50个部分，少了6个部分，当再增加2条直线，即n=12时，则最多有
个部分；
（2）当被分成了497部分时，1+ =497，解得 (舍去)，那么直线
的条数至少有31 条．
（3）当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+ ．则切5刀时，块数为1+ =16块；
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了规律的寻找，连续n个正整数的和的公式，解本题的关键是申清题意，找出变
化规律，是一道中等难度的题目．
47．重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出
经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面
（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”
小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该
面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 ．统
计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基
础上增加 ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 ．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．
【分析】
（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，
解方程组即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，
，解得， ，
答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
（2）根据题意得，
，
解得， （舍去）， ，
答：a的值为8．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量
关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．
48．根据农业部提出“大力发展农村产业，实现乡村全面振兴”的方针，我市精准扶贫，
指导某县大力发展枇杷种，去年、今年枇杷产量连续获得大丰收．该县某种植户枇杷销售
采用线下销售和线上销售两种模式．
（1）今年该种植户枇杷产量为3600千克，全部售出．其中线上销量不超过线下销量的3
倍．求线下销量至少多少千克？
（2）该种植户去年枇杷线下销售均价为15元/千克，销售量为900千克．线上销售均价为
12元/千克，销售量为1800千克．今年线下销售均价上涨了 ，但销售量下降了 ，
线上销售均价上涨了 ，销售量与去年持平．今年枇杷的销售总金额比去年销售总金
额减少了 ，求 的值．
【答案】（1）线下销量至少900千克；（2）
【分析】
（1）设线下销量为x千克，根据题意，列出不等式求解即可；（2）根据题意，分别表示出今年线下和线上销量与均价，然后根据“今年枇杷的销售总金
额比去年销售总金额减少了 ”列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：（1）设线下销量为x千克，则线上销量为 千克，
由题意： ，
解得： ，
答：线下销量至少900千克．
（2）由题意，今年线下销售均价为 ，销售量为 ，
线上销售均价为 ，销售量为1800千克，
根据题意，建立方程：
令 ，整理得， ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
即： ，
∴ ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式以及一元二次方程的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确
建立出方程，灵活运用换元思想是解题关键．
49．巫山脆李又名巫山大李子，果形端正、质地脆嫩、汁多味香．某水果商将收购的巫山
脆李包装成 、 两种礼盒通过某网络平台进行销售， 礼盒每盒的售价比 礼盒每盒的
售价贵35元，5月份第一周售出了200盒 礼盒和300盒 礼盒，总销售额为73000元．（1）求 、 两种礼盒的售价分别是多少元？
（2）进入6月份，各地李子大量上市，李子的价格受到一定冲击，该水果商决定将 礼盒
的售价保持不变， 礼盒的售价降低 ，销售一周， 、 两种礼盒的销量分别比5
月份第一周的销量减少了 、增加了 ，总销售额恰好不变，求 的值．
【答案】（1） 、 两种礼盒的售价分别是125元和160元；（2）
【分析】
（1）设 种礼盒的售价是x元， 种礼盒的售价是（x+35）元，列出方程解方程即可；
（2）根据总销售额恰好不变，列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设 种礼盒的售价是x元， 种礼盒的售价是（x+35）元，根据题意列方程得，
200x+300（x+35）=73000，
解得，x=125，125+35=160，
答： 、 两种礼盒的售价分别是125元和160元；
（2）根据题意可列方程得，
，
解得， （舍去）， ，
答： 的值为 ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题关键是熟练运用方程思想建立方程，
准确解方程．
50．第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进 两种牡丹制品，若购进 种牡丹制
品5件， 种牡丹制品3件，共需450元；若购进 种牡丹制品10件， 种牡丹制品8件，
共需1000元．
（1）购进 两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的 两种牡丹制品，在销售中发现， 种牡丹制品售价为每件
80元，每天可销售100件，现在决定对 种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每
件每降价1元，多售出20件，该商店对 种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；
种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售 两种牡丹制品每天总获利
为10000元， 种牡丹制品每件降价多少元？
【答案】（1）购进 种牡丹制品每件需60元， 种牡丹制品每件需50元；（2） 种牡
丹制品每件降价10元
【分析】
（1）设购进 种牡丹制品每件需 元， 种牡丹制品每件需 元，根据单价乘以件数，
把两种商品的费用相加得总费用，列二元一次方程组求解即可；
（2）设 种牡丹制品每件降价 元，则根据“每件每降价1元，多售出20件，该商店对
种商品降价销售后每天销量超过200件”，可得 ；再由题意可得 的利
润为 ；结合 每天可获利7000元， ， 两种商品每天获利
10000元，列方程即可求出 的值．
【详解】
解：（1）设购进 种牡丹制品每件需 元， 种牡丹制品每件需 元，
则由题意得： ，
解得： ，答：购进 种牡丹制品每件需60元， 种牡丹制品每件需50元．
（2）设 种牡丹制品每件降价 元，
则由题意得： ，
化简得： ，
，
答： 种牡丹制品每件降价10元．
【点睛】
本题综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，
根据实际问题准确找出等量关系是解决问题的关键．
51．夏季是葡萄上市的季节，某超市7月购进巨玫瑰和金手指两个品种的葡萄进行销售．
已知巨玫瑰葡萄的售价为40元/千克，金手指葡萄的售价为50元/千克，统计发现，第一
周共卖岀两个品种的葡萄800千克．
（1）若卖出巨玫瑰葡萄的总销售额不低于金手指葡萄的 ，求至少卖岀巨玫瑰葡萄多少
千克；
（2）由于7月份第二周葡萄大量上市，该店决定对两ˆ品种的葡萄进行降价销售．巨玫瑰
葡萄降价 ，金手指葡萄降价 ，结果巨玫瑰葡萄的销量在（1）中的最小销量下
增加 ，而金手指葡萄的销量在（1）中最高销量基础上增加了 ，最终7月份第二
周的总销售额为36000元，求 的值．
【答案】（1）至少卖出巨玫瑰葡萄400千克；（2）a的值为50．
【分析】
（1）设卖出巨玫瑰葡萄x千克，则金手指葡萄卖出（800-x）千克，由题意易得，然后求解即可；
（2）由题意易得 ，
然后求解即可．
【详解】
解：（1）设卖出巨玫瑰葡萄x千克，则金手指葡萄卖出（800-x）千克，由题意得：
，
解得： ，
答：至少卖出巨玫瑰葡萄400千克．
（2）由题意得：
，
令 ，化简得： ，
解得： （舍去），
∴ ．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式及一元二次方程的应用，熟练掌握一元一次不等式及一元二
次方程的应用是解题的关键．
52．每年的“双十二”接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机
进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价
为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果
发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高 ，乙款取暖器售价每台在
标价的基础上降低 ，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售
量增加了 ；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了 ，最终乙款取
暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
【答案】（1）120台；（2）
【分析】
（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了（200-x）台，根据总利润=每台的利润×
销售数量，结合总利润不低于6400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的
最小值即可得出结论；
（2）利用销售总额=销售单价×销售数量，结合乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额
4倍，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了（200-x）台，
依题意得：（60-40）（200-x）+（160-120）x≥6400，
解得：x≥120．
答：乙款取暖器至少卖了120台．
（2）依题意得：160（1- m%）×120（1+2m%）=4×60（1+ m%）×（200-120）
（1+m%），
整理得：m2- m=0，
解得：m = ，m =0（不合题意，舍去）．
1 2答：m的值为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
53．我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需
要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2016年的单价是200元，今
年的单价为162元．
（1）求2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，
B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
【答案】（1）2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；（2）去B店
购买足球更优惠
【分析】
（1）设2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2016年及今年该
品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据A店的优惠政策可求出A店实际需要购买的足球个数为91个，分别求出在A，B
两店购买这批足球所需的总费用，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（舍去）．
1 2
答：2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；
（2）A店买十送一，A店实际需要购买的足球个数为91个，
在A店购买需要的费用为162×91＝14742（元），
在B店购买需要的费用为162×100× ＝14580（元），
∵14742元＞14580元，
∴去B店购买足球更优惠．
答：去B店购买足球更优惠．【点睛】
本题考查一元二次方程增长率问题的应用，掌握一元二次方程的增长率应用的解法与步骤，
会利用方案设计解决问题．
54．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去
年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总
额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是
多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价
为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180
千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费
用忽略不计）
【答案】（1）24元；（2）35元
【分析】
（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是
（x＋1）元，根据今年的批发销售总额比去年增加了20%，即可得出关于x的一元一次方
程，解之即可得出结论；
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为（17﹣y）元，每天的销
售量为（300＋60y）千克，利用总利润＝每千克的平均利润×每天的销售量，即可得出关于
y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发
价是（x＋1）元，
依题意得：（1＋20%）（x＋1）＝（1＋25%）x，
解得：x＝24．
答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，
每天的销售量为300＋ ＝（300＋60y）千克，
依题意得：（17﹣y）（300＋60y）＝7260，整理得：y2﹣12y＋36＝0，
解得：y ＝y ＝6，
1 2
∴41﹣y＝35（元）．
答：这种水果的平均售价为35元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
