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专题 23 概率统计综合大题必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
1．医学统计表明， 疾病在老年人中发病率较高．已知某地区老年人的男女比例为3：2，为了解 疾病
在该地区老年人中发病情况，按分层抽样抽取100名老人作为样本，对这100位老人是否患有 疾病进行
统计，得条形图如下所示．
（1）完成下列2×2列联表，并判断有没有90%的把握认为患 疾病与性别有关？
男性 女性 合计
患有 疾病
未患 疾病
合计
（2）在这100个样本中，将未患 疾病老年人按年龄段 ， ， ， ， 分
成5组，得频率分布直方图如图二所示．求未患病老年人的中位数（精确到小数点后一位）．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）填表见解析；没有90%的把握认为患 疾病与性别有关；（2）中位数约为74.5．【分析】
（1）由分层抽样确定样本中老年男性、女性的人数，根据条形图可知未患X疾病的男性、女性人数，进
而写出列联表，由卡方公式求 值，即可给出结论.
（2）由频率直方图中频率和为1求参数a，根据中位数在直方图中的性质：其两侧面积相等，即可求中位
数.
【详解】
解：（1）由条形图知男性共60人，女性共40人，
未患有X疾病男性有40人，未患有X疾病女性25人，完成2×2列联表如下：
男
女性 合计
性
患有 疾病 20 15 35
未患 疾病 40 25 65
合计 60 40 100
计算：
所以，没有90%的把握认为患 疾病与性别有关．
（2）由频率分布直方图得： ，
得
设中位数为 ，则 ．
，得
即未患病老人的年龄中位数约为74.5.
2．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出 （ 且 ）瓶外观相
同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再
让其品尝这 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离
程度的高低为其评分．现分别以 ， ， ，…， 表示第一次排序时被排在 ， ， ，…， 的 种酒在第二次排序时的序号，并令 ，则 是对两次排序的偏离程度的
一种描述．下面取 研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下， ， ， ， 等可能地为 ，
， ， 的各种排列，且各轮测试相互独立．
（1）直接写出 的可能取值，并求 的分布列和数学期望；
（2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 ，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现
这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．
【答案】（1） 的可能取值为 ， ， ， ， ，分布列见解析，5；（2） ，答案见解析.
【分析】
（1）先求出 的可能取值，根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式进行求解判断即可.
【详解】
解：（1） 的可能取值为 ， ， ， ，
， ， ，
， ，所以 的分布列为
从而 的数学期望 ．
（2）记“在相继进行的三轮测试中都有 ”为事件 ，“在某轮测试中有 ”为事件 ，则
，
又各轮测试相互独立， ，因为 表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而 ，该可能性非常小，
所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，不是靠随机猜测，故这种测试合理．
3．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行 亿元
政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随
机抽样的方法在全市市民中随机抽取了 人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下
表所示，其中年龄在 岁及以下的人数占样本总数的 ，没使用过政府消费券的人数占样本总数的 .
使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计
45岁及以下 90
45岁以上
总计 200
（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有 的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？
（2）现从 岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取 人做进一步访谈，然后再
从这 人中随机抽取 人填写调查问卷，则抽取的 人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消
费券的概率为多少？
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）表格见解析，有；（2） .
【分析】
（1）求出年龄在45岁及以下的人数，没使用过政府消费券的人数，再由列联表中数据可填写列联表，然
后计算 可得结论；
（2）利用分层抽样可知，抽取使用过政府消费券的市民6人，没有使用过政府消费券的市民2人，设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为 ， ，列出全部情况，根据古典概
型的概率计算公式即可得出结果．
【详解】
解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为 人，
没使用过政府消费券的人数为 人，完成表格如下：
使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计
45岁及以下 90 30 120
45岁以上 50 30 80
总计 140 60 200
由列联表可知 ，因为 ，
所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关.
（2）由题意可知，
从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人，
没有使用过政府消费券的市民2人，
设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为 ， ，则全部情况为：
12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，1
，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ， ， 共计28种情况，
其中，一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的情况有12种，
所以恰好抽到“一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券”的概率为 .
4．为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行
合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：
单价 （元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量 （万件） 90 84 83 80 75 68
（1）根据以上数据，求 关于 的线性回归方程；
（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程 ，其中 ， ）
【答案】（1） ；（2）该产品的单价定为9.75元.
【分析】
（1）利用已知的数据先求出 ，再求 ， ，然后利用公式求出 ，再求出 ，
从而可得到 关于 的线性回归方程；
（2）设工厂获得的利润为 万元，结合（1）可得 ，化简后利用二次函数的性质可
求得答案
【详解】
解：（1） ，
，
，
，
∴ .
∴ ，
∴回归直线方程为 .
（2）设工厂获得的利润为 万元，则，
∴该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.
5．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测
量其直径后，整理得到下表：
直径/mm 57 58 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 72 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值 ，标准差 ，以频率作为概率的估计值．
（1）为评估设备M的性能，从样本中任意抽取一个零件，记其直径为X，并根据以下规则进行评估（P
表示相应事件的频率）：
① ；② ；③ ．
若同时满足上述三个不等式，则设备M的性能等级为甲；若满足其中两个不等式，则设备M的性能等级
为乙；若仅满足其中一个不等式，则设备M的性能等级为丙；若全部不满足，则设备M的性能等级为丁．
试判断设备M的性能等级．
（2）将直径小于或等于 或直径大于 的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望；
②从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望
【答案】（1）设备M的性能等级为丙；（2）① ；② ．
【分析】
（1）由题意分别计算出三种情况的结果，即可判断出性能等级；（2）①由题意可得次品共6个，次品率
为0.06，然后计算出数学期望，②先列出分布列，然后计算出数学期望.
【详解】
（1）因为 ，
，
，
所以设备M的性能等级为丙．
（2）易知样本中次品共6个，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．①由题意可知 ，于是 ．
②Z的分布列为
Z 0 1 2
P
故 ．
6．某校高三年级共有学生1200人，经统计，所有学生的出生月份情况如表：
月
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
份
人
180 110 120 160 130 100 80 50 90 70 50 60
数
（1）从该年级随机选取一名学生，求该学生恰好出生在上半年(1-6月份)的概率；
（2）为了解学生考试成绩的真实度，也为了保护学生的个人隐私，现从全体高三学生中随机抽取120人进
行问卷调查，对于每个参与调查的同学，先产生一个 范围内的随机数 ，若 ，则该同学回答
问题 ，否则回答问题 ，问题 ：您是否出生在上半年(1-6月份)？，问题 ：您是否在考试中有过作弊
行为？，假设在问卷调查过程中，问题只对参与者本人可见，且每个参与的同学均能如实回答问题且相互
独立，若最后统计结果显示回答“是”的人数为38，则：
①求该年级学生有作弊情况的概率；
②若从该年级随机选取10名同学，记其中有过作弊行为的人数为 ，求 的数学期望 和方差 .
【答案】（1） ；（2）① ；② ， .
【分析】
（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）①分别求出回答问题 和问题 的概率，设该年级学生有作弊情况的概率为 ，求出回答问题 和问
题 的人数，列出关于 的等式，求解即可；
②由题意， 服从二项分布，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可.
【详解】（1）由题意可得，该年级随机选取一名学生，求该学生恰好出生在上半年(1-6月份)的概率为
；
（2）①回答问题 的概率为 ，回答问题 的概率为 ，上半年出生的概率为 ，
设该年级学生有作弊情况的概率为 ，
故回答问题 的人数为 人，
回答问题 的人数为 人，
所以 ，解得 ，
所以该年级学生有作弊情况的概率为 ；
②由题意， 服从二项分布，即 ，
所以 ， .
7．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个黑球)轮流摸出1
球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一
次游戏.
（1）求先摸球者获胜的概率；
（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下
一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和
数学期望 .
【答案】（1） ；（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【分析】
（1）按游戏进行 轮或 轮进行分类讨论，由此求得先摸球者获胜的概率.
（2）按照相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】（1）先摸球者获胜，则游戏进行3轮或5轮
3轮：白黑黑： ，黑白黑： ，
5轮：最后一球为黑球： ，所以先摸球者获胜的概率为 .
（2）X的所有可能取值为：0､1､2､3，
，
，
，
，
分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
8．随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1
月1日起我国实施了个人所得税的新政策，新政策的主要内容包括：①个税起征点为5000元；②每月应纳
税所得额(含税)=(收入)-(个税起征点)-(专项附加扣除)；③专项附加扣除包括赡养老人､子女教育､继续教育､
大病医疗等.新个税政策下赡养老人的扣除标准为：独生子女每月扣除2000元，非独生子女与其兄弟姐妹
按照每月2000元的标准分摊扣除，但每个人的分摊额度不能超过1000元；子女教育的扣除标准为：每个
子女每月扣除1000元(可由父母中的一方扣除，或者父母双方各扣除500元)税率表如下：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3000元的部分 3%
2 超过3000元至12000元的部分 10%
3 超过12000元至25000元的部分 20%4 超过25000元至35000元的部分 25%
… … …
（1）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成如图的频
率分布直方图.
（i）请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；
（ii）同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，在不考虑他们的专项附加扣除的情况下，甲､
乙两位同学用如下两种方法估计小李所在的公司员工该月平均纳税，请判断哪位同学的方法是正确的，不
需说明理由.甲同学： (元)；乙同学：
先计算收入的均值
(元)，再利用均值计算平均纳税为： (元)
（2）为研究某城市月薪为20000元群体的纳税情况，现收集了该城市500名公司白领(每人至多1个孩子)
的相关资料，通过整理数据知道：这500人中有一个孩子符合子女教育专项附加扣除(假定由他们各自全部
扣除)的有400人，不符合子女教育专项附加扣除的人有100人，符合子女专项附加扣除的人中有300人也
符合赡养老人专项附加扣除，不符合子女专项附加扣除的人中有50人符合赡养老人专项附加扣除，并且他
们均不符合其他专项附加扣除(统计的500人中，任何两人均不在一个家庭且为独生子女).若他们的月收入
均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群每月应缴纳个税金额 (单位：
元)的分布列与期望.
【答案】（1）（i）中位数为6625千元；（ii）甲同学；（2）分布列答案见解析，数学期望： .【分析】
（1）（i）中位数落在第二组，设中位数为 千元，列出 ，解方程即可；（ii）利
用均值计算的公式即可得出答案.
（2）由题意得出 的所有可能取值为990，1190，1390，1590，再由题中数据求出各随机变量的概率，列
出分布列，即可求出数学期望.
【详解】
（1）（i）由频率分布直方图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为 千元，
则有 ，解得 (千元)
估计该公司员工收入的中位数为6625千元.
（ii）甲同学
（2）符合子女教育专项附加扣除且符合赡养老人专项附加扣除的人群月应纳税所得额
(含税)为 (元)，
月应缴纳的个税金额为 (元)；
符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群月应纳税所得额(含税)为
(元)，
月应缴纳的个税金额为 (元)；
不符合子女教育专项附加扣除但符合赡养老人专项附加扣除的人群月应纳税所得额(含税)为
(元)，
月应缴纳的个税金额为 (元)；
不符合子女教育专项附加扣除且不符合赡养老人专项附加扣除的人群月应纳税所得额(含税)为
(元)，
月应缴纳的个税金额为 (元).
所以 的所有可能取值为990，1190，1390，1590，
， ， ， .
的分布列为
990 1190 1390 1590所以 .
9．某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意
度﹐分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生﹐进行评分(满分 分)，绘制如下频率分布直方图
(分组区间为 ， ， ， ， ， )，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有 人．
（1）求表中 的值及不满意的人数﹔
（2）记 表示事件“满意度评分不低于 分”，估计 的概率﹔
（3）若师生的满意指数不低于 ，则该校可获评“教学管理先进单位”．根据你所学的统计知识﹐判断
该校是否能获评“教学管理先进单位”?并说明理由．(注：满意指数 )
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）可获得，理由见解析．
【分析】
（1）根据频率分布直方图可得 ，设不满意的人数为 再由比例可得
，即可得解；
（2） “满意度评分不低于 分”的频率为： ，即可得解；
（3）带入师生的满意指数为： ，即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：
，
设不满意的人数为
则 ，
解得
故不满意的人数为 ．
（2） “满意度评分不低于 分”的频率为：
，
因此，事件 的概率估计值为 ．
（3）师生的满意指数为：
，
因为
所以该校可获得“教学管理先进单位”的称号．
10．近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成
本y(单位：元)与当天揽收的快递件数x(单位：千件)之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量 (单位：
千件)与当日收发一件快递的平均成本 (单位；元)(i=1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散
点图及一些统计量的值.4 5.16 0.415 2.028 30 0.507
表中 ， .
（1）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及
表中数据求出y关于x的回归方程；
（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也
是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x(单位：千件)与单件快递的平均价格t(单位；元)之间的
关系是 ，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立
的回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；
②单件快递的平均价格 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， .
【答案】（1） 适宜作为y关于x的回归方程类型，回归方程为 ；（2）①总利润约为
12000元；②平均价格t为8元.
【分析】
（1）点不在一条直线的近旁，但与双曲线类似，可得回归曲线类型．令 ，根据已知数据求得回归方
程 ，即可得结论．
（2）①利用（1）的结论求出利润函数，令 可得估计利润值；②由二次函数性质可得．
【详解】
解：（1） 适宜作为y关于x的回归方程类型.
令 ，则 ， ，，
∴ ，即所求回归方程为 ；
（2）设收发x千件快递获利z千元，则 ， ，
①当 时， ，故该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润约为12000元；
② ，∴当 即 时，z取最大值，故单件快递的平均价格t为8元时，该网点一天
内收发快递所获利润的预报值最大.
11．澳大利亚Argyle钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的90%．该钻石矿曾发现一颗
28.84ct的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia]，为该矿区27年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻
石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia]特别强调钻石的正八面体特征——[Octavia]在拉丁语中
是[第八]的意思．如图设 为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， ．
（1）求概率 ；
（2）求 的分布列，并求其数学期望 ．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）12条棱中任取两条共有 对，两条棱相交有 对，由古典概型概率计算公式即可求解；（2）由（1）有 ，又两条棱平行有6对，可求出 ，从而可用间接法求出 ，进而
可求分布列和数学期望.
【详解】
解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个，
又过任意顶点有4条棱，所以共有 对相交棱，
所以 ；
（2）由题意， 的所有可能取值为0，1，2.
若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
P
.
12．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量超过 的包裹，除 收
费 元之外，超过 的部分，每超出 (不足 ，按 计算)需再收 元.该公司将最近承揽的 件
包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位： ）
包裹件数
公司对近 天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范
围包裹件数
（近似处
理）
天数
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（ ）计算该公司未来 天揽件数在 之间的概率；
（ ）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人
员 人，每人每天揽件不会超过 件，且日工资为 元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试
计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
【答案】（1） ；（2）① 元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为 元，不利.
【分析】
（1）由频率估计概率即可；
（2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（ ）（ ），揽件数每增加 ，可使前台工资和公
司利润增加 （元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可
【详解】
（ ）样本包裹件数在 之间的天数为 ，频率 ，
显然未来 天中，包裹件数在 之间的概率为
（ ）（ ）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位： ）
快递费（单位：元）
包裹件数
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元
（ ）根据题意及（ ）（ ），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元），
将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范
围
包裹件数近
似
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近
似
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近
似
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）
因 ，故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利.
13．由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开
幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进
行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为 ，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的
女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题
（1）完成 列联表，并回答“是否有 的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.
了解情况
了解 不了解 合计
性别
男生女生
合计 100
（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介
绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为 ，求出 的分布列及数学期望.
附： ，
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）表格见解析，没有；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）根据已知，计算有关数据，填写列联表；代入公式计算求得K2的观测值，看是否大于1-99%=0.01的
临界值即可得到结论；
（2）先确定抽取的5人中男生有3人，女生有2人.然后利用超几何分布求得分布列，并根据定义计算期
望.
【详解】
（1） 列联表如下：
了解情况
了解 不了解 合计
性别
男生 50 10 60
女生 25 15 40
合计 75 25 100
，
没有 的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关;
（2）根据题意，抽取的5人中男生有3人，女生有2人.
从这5人中随机抽取3人，则男生人数 的所有可能取值为1，2，3，则 ， ， .
的分布列为
1 2 3
P
.
14．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货
或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据 年中国消
费者信息研究，超过 的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越
来越多的消费者也首次通过第三方 ､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了
年 月 日至 日这 天到该专营店购物的人数 和时间第 天间的数据，列表如下：
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数 与时间 之间的关系？若可用，估计 月 日到
该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟
合，计算 时精确到 ).
参考数据： .附：相关系数 ，回归直线方程的斜率
，截距 .
（2）运用分层抽样的方法从第 天和第 天到该专营店购物的人中随机抽取 人，再从这 人中任取 人进
行奖励，求这 人取自不同天的概率.（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满 元可减 元；方案二，一次
性购物金额超过 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 折，中奖
两次打 折，中奖三次打 折.某顾客计划在此专营店购买 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的
角度分析选哪种方案更优惠.
【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数 与天数 之间的关系， 月 日到该专营店购物的人数约为
；（2） ；（3）选择方案二更划算.
【分析】
（1）利用题中所给数据和公式，求出相关系数 的值，由此判断变量 与 具有很强的线性相关性，再求
出 和 ，得线性回归方程，令 代入即可求解；
（2）先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型概率计算公式即可
求解；
（3）分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可求解.
【详解】
解：（1）由表中数据可得 ， ， ，
， ，
所以 ，
所以可用线性回归模型拟合人数 与天数 之间的关系.
而 ，
则 ，
所以 ，令 ，可得 .
答： 月 日到该专营店购物的人数约为 .
（2）因为 ，所以从第 天和第 天取的人数分别为 和 ，从而 人取自不同天的种数为
，
所以概率 .
答：这 人取自不同天的概率为 .
（3）若选方案一，需付款 元.
若选方案二，设需付款 元，则 的取值可能为 ， ， ， ，
则 ，
，
，
，
所以 ，
因此选择方案二更划算.
15．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作
业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、
．（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
（3）从评分在 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）可根据频率分布直方图得出结果；
（2）可通过后三组的频率之和得出结果；
（3）本题首先可令5名受访职工依次为 、 、 、 、 ，然后列出随机抽取2人的所有可能情况以
及抽取2人的评分都在 的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.
【详解】
（1） ，解得 .
（2）由频率分布直方图易知：
50名受访学生评分不低于70的频率为 ，
故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为 .
（3）受访学生评分在 的有 人，依次为 、 、 ，
受访学生评分在 的有 人，依次为 、 ，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
因为所抽取2人的评分都在 的结果有3种，依次为 、 、 ，
所以此2人评分都在 的概率 .
16．从高二某班随机抽取6名同学，记为 ， ､ ､ ､ ､ ，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语
文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表：
班级平均分
语文 115 118 124 132 117 119
数学 136 147 123 137 145 139
英语 129 133 131 141 139 125 134
已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138.
（1）求出 ， ；
（2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.
现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量 为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，
求 的分布列和数学期望.
【答案】（1） ， ；（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【分析】
（1）由6名同学语文分数的中位数是119可得 ，由数学分数的平均数是138可得 ；
（2）先分别求出6名同学的“优势学科”个数，进而可得 的分布列和数学期望.
【详解】
（1）将已知的5个语文成绩从小到大排序得：115，117，118，124，132，
由6名同学语文成绩的中位数是119可知， ，
由6名同学数学成绩的平均数是138可知， .
（2）由题意， 没有优势学科， 、 、 、 均有1个优势学科， 有2个优势学科.
的可能取的值为0，1，2.， ， .
故 的分布列为
0 1 2
数学期望 .
17．某岗位聘用考核共设置2个环节，竞聘者需要参加全部2个环节的考核，通过聘用考核需要2个环节
同时合格，规定：第1环节考核5个项目至少连续通过 个为合格，否则为不合格；第2环节考核3个项目
至少通过 个为合格，否则为不合格.统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为 ，第2
环节每个项目通过的概率均为 ，各环节、各项目间相互独立.
（1）求通过改岗位聘用考核的概率；
（2） 若第1环节考核合格赋分60分，考核不合格赋分0分；第2环节考核合格赋分40分，考核不合格
分0分，记2个环节考核后所得赋分为 ，求 的分布列与数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，21.62.
【分析】
（1）记 （ ， ）分别为两个环节第 个项目通过，先求得第1个环节通过的概
率，再求得第2环节通过的概率，即可得答案.
（2）x可取0,40,60,100，分别求得各个概率，列出分布列，计算即可得答案.
【详解】
（1）记 （ ， ）分别为两个环节第 个项目通过， 之间相互独立，
P（第1环节通过）P（第2环节通过）
则P（通过应聘考核） .
（2） 依题意， .
； ；
； .
故 的分布列为
所以
18．某大型超市为了了解节假日当天的消费情况，随机抽取了2021年元旦当天100名（男、女各50名）
消费者的消费额度，并将数据整理如下：
少于300元 不少于300元
男性 13 37
女性 25 25
（1）试判断是否有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关？
（2）现从抽取的50名女性中任意抽取3人，记 表示3人中消费额度不少于300元的人数，求 的分布列
和数学期望.
附： ，其中 .
参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】（1）没有99%的把握；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）列出列联表，利用公式求出 得结论；（2）由超几何分布求解
【详解】
（1）由题意， 列联表如下：
少于300元 不少于300元 总计
男性 13 37 50
女性 25 25 50
总计 38 62 100
所以 ，
故没有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关.
（2）由题知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
所以 的分布列是
0 1 2 3
.
19．某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）
如下表所示：
（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率；
（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；
（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气
阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口
罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.
【答案】（1） ； （2） ； （3）不合理，理由见解析.
【分析】
（1）根据图表中的数据，得到合格品18个，不合格品有2个，即可求解；
（2）由（1）知合格品18个，不合格品有2个，利用组合数公式，即可求得含有不合格品的概率；
（3）根据题意，分别求得检测费用和100箱的罚钱总额，比较即可得到结论.
【详解】
（1）由题意，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，
根据图表中的数据，可得合格品18个，不合格品有2个，
所以从样本中随机抽取1个口罩，其不合格品的概率为 .
（2）由（1）知样本中合格品18个，不合格品有2个，
所以从中随机抽取3个，其中含有不合格品的概率为 .
（3）由题意，总检测费用为 元，
每箱检测出不合格品的概率为 ，
每箱检测出1个不合格品的概率为 ，
每箱检测出2个不合格品的概率为 ，每箱检测出3个不合格品的概率为 ，
则每箱罚钱的期望为： ，
所以100箱罚钱的期望值为： 元，
所以罚钱的期望值与检测的费用相等，所以不合理，罚钱的金额应大于检测费用.
20．某甜品公司开发了一款甜品，现邀请甲．乙两地部分顾客进行试吃，并收集顾客对该产品的意见以及
评分，所得数据统计如下图所示．
（1）试通过计算比较甲乙两地顾客评分平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若按照分层抽样的方法从甲地分数在 的顾客中抽取 人，再从这 人中随机抽取 人，求恰有
人的分数在 的概率．
【答案】（1）甲地顾客评分的平均数大于乙地；（2） ．
【分析】
（1）由频率分布直方图估计平均数的方法计算可得甲乙两地顾客评分的平均数，由此得到结论；
（2）按照分层抽样原则可确定分数在 的抽取 人， 的抽取 人，采用列举法得到所有情况
和满足题意的情况种数，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】
（1）甲地顾客评分的平均数为： ；
乙地顾客评分的平均数为： ．
甲地顾客评分的平均数大于乙地．
（2）由题意知：分数在 的抽取 人，记为 ，分数 的抽取 人，记为 ．则任取 人，所有的情况为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共
种；
其中满足条件的为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，共 种．
所求概率 ．
21．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某
个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率达标.某市在实施垃圾分类的过程
中，从本市社区中随机抽取了 个进行调查，统计这 个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)，得到如下频
数分布表，并将这一天垃圾数量超过 吨的社区定为 “超标”社区.用样本估计总体.
垃圾量
频数
（1）估计该市社区在这一天垃圾量的平均值(同一组数据用该区向的中点值作代表)；
（2）若该市社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 ，其中，近似为 个样本社区的平均值
（精确到 吨)，从该市社区中随机抽取 个社区，设 为“超标”社区的个数，求 的分布列和数学期望
(精确到 ).
附：若 服从正态分布 ，则 ， ；
.
参考数据； ， .
【答案】（1）22.76；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据平均数的概念可以直接求出结果；（2）由（1）知 ，由正态分布的密度曲线的性质求得 ，依题意可知
，从而根据二项分布即可求得分布列与期望.
【详解】
解：（1）样本数据各组的中点值分别为 ，
则
（2）由（1）知
所以
所以
由题知 ，
所以
，
.
所以 的分布列为
所以 .
22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征
(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型
冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，
严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．
经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ， 现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该
病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病
毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用 表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 ．
【分析】
（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即
可求解.
（2）首先判断随机变量 服从二项分布，再求其分布列和均值.
【详解】
解（1）设 表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数 人”， ，
表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有 人”，
依题意有
所求的概率为
（2） 的可能值为 ，且
，
，，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望 ．
23．已知盒中有形状､大小都相同的3个黑球和1个白球，每次从中取1个球，取到黑球记1分，取到白球
记2分，有放回地抽取3次，用随机变量 表示取3次所得的分数之和，求：
（1）3次都取到黑球的概率；
（2）随机变量 的分布列.
【答案】（1） ，（2）答案见详解.
【分析】
（1）由题意可得，每次取到黑球的概率是 ，然后可算出答案；
（2） 的取值是 ，依次算出对应的概率即可.
【详解】
（1）由题意可得，每次取到黑球的概率是 ，
所以3次都取到黑球的概率是 .
（2） 的取值是 ，，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
3 4 5 6
24．2021年2月25日举行的全国脱贫攻坚总结表彰大会上，国家电网共有23名（个）先进个人、先进集
体获得表彰.其中，国网西藏电力有限公司农电工作部从习近平总书记手中接过了“全国脱贫攻坚楷模”奖
牌.过去8年，在党中央坚强领导下，经过世界规模最大、力度最强的脱贫攻坚战，近1亿人摆脱绝对贫困.
长期以来贫困地区的农产品面临“种得出卖不出”“酒香也怕巷子深”的困境.深谙互联网思维的国家电网
人，搭平台、建渠道，以一款APP让众多贫困地区的产品销售易如反掌.2020年“6.18”期间，带货主播
和直播运营两大岗位高达去年同期的11.6倍.针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针
对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出100次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好
评率为0.6，对商品和服务都做出好评的交易为40次，对商品和服务部不满意的交易为5次.
（1）请完成关于商品和服务评价的 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为
商品好与服务好评有关?
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 40
对商品不满意 5
合计 100
（2）从“对服务不满意”的评价中分层选出10个，再从这10个评价中随机选出6个，记其中“对商品不
满意”的个数为 ，求 的分布列及数学期望.附： ， .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）从对商品好评率为0.6入手，逐一填取表格，然后用 的公式计算比较即可；（2）由分层抽样的概
率公式可知，好评抽取8个，不满意抽取2个，用超几何分布的概率计算，列分布列然后求期望值.
【详解】
（1）由题意可得关于商品和服务评价的 列联表如下：
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 40 20 60
对商品不满意 35 5 40
合计 75 25 100
，
故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
（2）由（1）得从“对服务不满意”的评价中分层选出的10个评价中，“对商品好评”的有8个，“对商
品不满意”的有2个，故 的所有可能取值为0，1，2，
， ， ，
0 1 2
所以 .
25．经研究发现， 疾病在老年人中发病率较高，已知某养老院的男女比例为 ，为了解 疾病在该养老院的发病情况，按性别用分层抽样的方法抽取100位老人作为样本，对这100位老人是否患有 疾病进
行了统计，其条形图如图所示.
（1）完成下列的 列联表，并判断有没有90％的把握认为患 疾病与性别有关？
男性 女性 合计
患有 疾病
未患 疾病
合计
（2）已知治疗 疾病所需的费用为每人800元，若打了该疾病的预苗，则可将发病率降为5％，打预苗的
费用为每人200元，用样本的频率来估计总体的概率，从经济的角度判断是否需要给该养老院的老人打该
疾病的预苗，并说明理由.
附： ，其中 .
【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）需要，理由见解析.
【分析】
（1）根据分层抽样以及条形图完善列联表，计算观测值，再由独立性检验的基本思想即可求解.
（2）设打了预苗后，针对 疾病的花费为 元，没有打预苗，针对 疾病的花费为 元，由题意列出分
布列，计算出数学期望即可得出结果.
【详解】
解：（1）由条形图可知未患有 疾病的男性为40人，女性25人，
由男女比例为 可知100个样本中，男性有60人，女性有40人，所以 列联表如下：
男性 女性 合计
患有 疾病 20 15 35
未患 疾病 40 25 65
合计 60 40 100
∴ ，
所以没有90％的把握认为患 疾病与性别有关.
（2）设打了预苗后，针对 疾病的花费为 元，
没有打预苗，针对 疾病的花费为 元，
则 的分布列为：
200 1000
所以 元，
则 的分布列为：
0 800
所以 元，
∵ 元，所以从经济的角度应该为该养老院的老人打该疾病的预苗.
26．随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我国逐渐进入
老龄化社会后，整个社会需要回答的问题.为了调查某地区老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养
老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
是否愿意参加 男 女
不愿意 40 30
愿意 160 270（1）估计该地区老年人中，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例以及女性老
年人的比例；
（2）根据统计数据能有多大的把握认为该地区的老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构
与性别有关？请说明理由.
参考公式：
参考数据：
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） ， ；（2）有99.5%的把握认为是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别
有关，理由见解析.
【分析】
（1）利用表中的数据直接求解即可；
（2）利用表中的数据和公式先求出 ，再与临界值表中的数据比较可得结论
【详解】
解：（1）由统计数据可知愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人数为160，调查总人数
为200，故愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为 ；
由统计数据可知愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的女性老年人数为270，调查总人数为300，故
愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例为 .
（2）结合列联表的数据计算 的观测值
，
∴有99.5%的把握认为是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构与性别有关.
27．已知袋中装有大小､形状都相同的小球共5个，其中3个红球，2个白球．
（1）若从袋中任意摸出4个球，求恰有2个红球的概率；（2）若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球即停止摸球，这样的摸球最多四次， 表示
停止时的摸球次数；又若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到白球即停止摸球， 表示停止
时的摸球次数．分别求出 和 的概率分布列，并计算 的概率．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析； ．
【分析】
（1）由古典概型的概率公式直接求解即可；
（2）由题意可知 可能取1，2，3，4， 可能取1，2，3，4，然后分别求出其对应的概率，从而可得其
分布列
【详解】
解：（1）设事件 为“从袋中任意摸4个球，恰有2个红球”
则
（2） 可能取1，2，3，4．
的概率分布列为：
1 2 3 4
可能取1，2，3，4．的概率分布列为：
1 2 3 4
从而 ．
28．2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社
会主义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，
其中保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村
振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2016年—
2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量 （万元）表示
该地区农村居民人均年消费支出，年份用变量 表示，其取值依次为1，2，3，……）．
（1）由图1可知，变量 与 具有很强的线性相关关系，求 关于 的回归方程，并预测2021年该地区农
村居民人均消费支出；
2016-2020年该地区农村居民人均消费支出
（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个
国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%~50%为小康，
30%~40%为富裕．已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居
民食品类支出比2020年增长3%，从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生
活标准．2020年该地区农村居民人均消费支出构成
参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
【答案】（1） ；约为1.513万元；（2）2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生
活标准．
【分析】
（1）先由已知的数据求出 ，从而可求出 ，进而可得到 关于 的回归方程，然后将
代入可求出2021年该地区农村居民人均消费支出；
（2）由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为
元，从而可求出恩格尔系数
【详解】
解：（1）由已知数据可求 ，
，
，，
∴
∴
∴所求回归方程为 ．
当 时， （万元），
∴2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元
（2）已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元，
由图2可知，2020年该地区农村居民食品类支出为4451元，则预测2021年该地区食品类支出为
元，
∴恩格尔系数
所以，2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准．
29．某企业有甲､乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如
下：
所用的时间(单位：天) 10 11 12 13
2
甲生产线的频数 10 10 10
0
2
乙生产线的频数 5 20 5
0
假设订单 约定交货时间为11天，订单 约定交货时间为12天(将频率视为概率，当天完成即可交货).
（1）为最大可能在约定时间交货，判断订单 和订单 应如何选择各自的生产线(订单 互不影响)；
（2）已知甲､乙生产线每次的生产成本均为3万元，若生产时间超过11天，生产成本将每天增加5000元，
求这100次生产产品分别在甲､乙两条生产线的平均成本.
【答案】（1）订单 选择甲生产线，订单 选择乙生产线；（2）甲生产线的平均成本为 万元，乙生产
线的平均成本为 万元.
【分析】（1）设 分别表示订单 选择甲､乙生产线在约定时间交货； 分别表示订单 选择甲､乙生产线在
约定时间交货；根据题中条件，分别求出其对应的概率，即可得出结果；
（2）先记 为甲生产线的生产成本的取值， 为甲生产线的生产成本的取值，由题意，确定 与 的所
有可能取值，根据（1）分别求出不同取值对应的概率，再由离散型随机变量的期望的概念，直接计算，
即可得出结果.
【详解】
（1）频率分布表如下：
所用的时间(单位：天) 10 11 12 13
甲生产线的频率
乙生产线的频率
设 分别表示订单 选择甲､乙生产线在约定时间交货； 分别表示订单 选择甲､乙生产线在约定
时间交货.
则
，
，
，
所以订单 选择甲生产线，订单 选择乙生产线.
（2）记 为甲生产线的生产成本的取值， 为甲生产线的生产成本的取值，
由题意可得， 可能取的值为 ， ， ； 可能取的值为 ， ， ；
由（1）可知 ， ， ，
， ， ，
甲生产线的平均成本为 万元，
乙生产线的平均成本为 万元.30．核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染
者新冠病毒核酸检测呈阳性.2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，
假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是 ．在进行
核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：
方式一：逐个检测；
方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；
方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；
其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1
次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．
（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检
测出来的概率；
（2）若 ，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学
期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．
（附： ， ， ．）
【答案】（1） ；（2）答案见解析．
【分析】
（1）根据题意，结合古典概型计算公式进行求解即可；
（2）分别求出三种检测方式下检测次数的数学期望，根据数学期望进行建议说明，最后根据每个人核酸
检测呈阳性概率很小时，人数众多的群体等方面进行简述其实际意义即可.
【详解】
（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件 ，
则 ．
（2）当 时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．
若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行 次核酸检测．
若选择方式二，记每个4口之家检测次数为 ，则 可能取值为2，4，6，其分布列为2 4 6
．
故该社区对其中850户4口之家进行核酸检测总次数期望 次．
若选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为 ，则 可能取值为1，5．其分布列为
1 5
故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为
故该社区对其中850户4口之家进行核酸检测总次数期望为 次．
显然
由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数
期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测
成本．任务二:中立模式(中档)1-50题
1．据了解，现在快节奏的工作､不健康的生活方式，使人们患上“三高（高血压､高血脂､高血糖）”的几率
不断升高，患病人群也日渐趋向年轻化.为提高辖区居民个人健康管理意识，了解“三高”相关知识，某社区
邀请市专家协会主任医师举办“三高”专题健康知识讲座，为辖区居民解答健康疑问.讲座结束后，对参加市
民举行网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 人的得分
（满分： 分）数据，统计结果如下表所示：
组别
频数
（1）求这 人得分的及格率（ 分及以上为及格）.
（2）求这 人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（3）社区为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分及格的可以获赠 次随机话费，得分不及格的可以获赠 次随机话费；
②每次赠送的随机话费和对应的概率如下表：
赠送的随机话费（单位：元）
概率
将这 人得分的及格率作为参加问卷调查及格的概率，记 （单位：元）为某市民参加问卷调查获赠的
话费，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）、这 人得分的及格率为 .
（2）、求这 人得分的平均值为 分
（3）、 的分布列如下：
的数学期望为
【分析】
（1）、根据参加问卷调查的 人的得分统计表可知及格人数，除以总人数 即可得到及格率；
（2）、结合参加问卷调查的 人的得分统计表，利用每个区间的中点值乘以每个区间的概率并相加即可
得到这 人得分的平均值；
（3）、根据题意判断出获赠的话费 的所有可能值，分别算出其对应的概率，列出 的分布列，计算
的数学期望为 .
【详解】
（1）、这 人得分的及格率为： .
（2）、求这 人得分的平均值为：求这 人得分的平均值为：
分
（3）、根据题意，获赠的话费 的可能值为： ， ， ，得 元的情况为得分不及格， ;
得 元的情况有一次获得 元，或者2次机会都是 元， ;
得 元的情况为两次机会，一次获得 元一次获得 元， ;
得 元的情况为两次机会，两次都获得 元， ;
的分布列如下：
的数学期望为
2．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间
不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
（1）根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料你是否有 的把握认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男女 10 55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名
观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分
布列，期望 和方差 .
附： ，
0.05 0.01
3.841 6.635
【答案】（1）没有 的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析； ， .
【分析】
（1）根据频率分布直方图可得 列联表，计算出 的值后可判断“体育迷”与性别是否有关.
（2）利用二项分布可求 的分布列，期望 和方差 .
【详解】
（1）由频率分布直方图可得100名观众中体育迷的人数为 ，
故男性中体育迷为15人，故可得 列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
所以 ，
故没有 的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由（1）可得任取一人为体育迷的概率为 ，
故 ，
所以 ， ，
， .
故分布列为：
0 1 2 3
又 ， .
3．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．
比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以 或 取胜的球队积3分，负队积0分；以 取胜
的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为 ．
（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分 的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．
【答案】（1）分布列见解析， ；（2）
【分析】
（1）随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个 的取值所对应的概
率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；
（2）设第 场甲、乙两队积分分别为 ， ，则 ， ，2，由两队积分相等，可推出
，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．
【详解】
（1）随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望 ．
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件 ，
设第 场甲、乙两队积分分别为 ， ，则 ， ，2，
因两队积分相等，所以 ，即 ，则 ，
所以 （A）
．
4．水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名
大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在
五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体
育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为 ，求随机变量 的概率分布列
及数学期望 .【答案】（1） ；
（2） 的分布列如下：
.
【分析】
（1）、所有基本事件 种,2人来自不同场馆的概率等于1减去2人来自同一场馆的概率，2人来自同一场
馆即分为2人都来自国家体育馆或2人都来自五棵松体育馆;
（2）、计算满足情况的所有基本情况数， 的所有可能取值为 .分别计算 ， ， 对应的概
率，然后列出分布列，最后计算数学期望 .
【详解】
（1）、设 “从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生
一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件 种情况. 若2人都来自国家体育馆有 种
情况，若2人都来自五棵松体育馆有 种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率
.
（2）由题意 的所有可能取值为 .及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共
有： 种.
当 时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共 种，此；
当 时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共 =24
种， ,
当 时，3人都来自于五棵松体育馆，共 种.
的分布列如下：
.
5．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢
管的直径 服从正态分布 .
（1）当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为 ，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所
学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（2）如果钢管的直径 在 之间为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该
种钢管中任意挑选3根，求次品数 的分布列和数学期望.
（参考数据：若 ，则 ， ，
）
【答案】（1）有道理，答案见解析；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）由已知求得 .由此事件为小概率事件，可得结论.
（2）由正态分布得该批钢管为合格品的概率约为0.95.所以有在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，
任意挑选3根，因此有次品数 的可能取值为0，1，2，3.分别求得 ， ， ，，由此可得出次品数 的分布列和数学期望.
【详解】
解：（1）∵ ， ， ， ，而 ，
∴ .
此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.
（2）因为 ， ， ，
由题意可知钢管直径满足 为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.
所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数 的可能取值为0，1，2，3.
， ，
，
则次品数 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
6．某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回
答 道题，第一题为教育心理学知识，答对得 分，答错得 分，后两题为学科专业知识，每道题答对得
分，答错得 分．
（Ⅰ）若一共有 人应聘，他们的工作经历评分 服从正态分布 ， 分及以上达标，求进面
试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，每道题正确与否互不影响，
求该应聘者的面试成绩 的分布列及数学期望．附：若随机变量 ，则 ， ，
．
【答案】（Ⅰ）159；（Ⅱ）分布列见解析，7.9.
【分析】
命题意图 本题考查正态分布的概念和应用，离散型随机变量．
（Ⅰ）由正态分布的性质可求得 ，由此可估计进入面试的人数．
（Ⅱ）由已知得Y的可能取值为 ， ， ， ， ， ，分别求得Y取每一个可能的值的概率，得 的分
布列，根据数学期望公式可求得答案.
【详解】
解： （Ⅰ）因为 服从正态分布 ，
所以 ，
因此进入面试的人数为 ．
（Ⅱ）由题可知，Y的可能取值为 ， ， ， ， ， ，
则 ；
；
；
；
；
．
故 的分布列为：所以 ．
7．中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中
亚面粉､波兰苹果､法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车､电子元件､农产品丰富着海外市场.为拓展
海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统 有3个电子元件组成，各个电子元
件能正常工作的概率为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统 中有超过一半的电子元件正
常工作，则 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.
（1）求系统需要维修的概率；
（2）该电子产品共由3个系统 组成，设 为电子产品所需要维修的费用，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）由 次独立重复试验中事件 恰好发生 次概率计算公式能求出系统需要维修的概率；
（2）设 为需要维修的系统的个数，则 ，且 ，写出随机变量 的所有取值，分别求
出对于随机变量的概率，由此能求出 的分布列及期望 ．
【详解】
解：（1）系统需要维修的概率为 ；
（2）设 为需要维修的系统的个数，则 ，且 ，
则 的所有可能取值为0，900，1800，2700，
，
，
，0 900 1800 2700
所以 ．
8．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该
疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到
如下表格：
潜伏期
（单位：
天）
人数 85 205 310 250 130 15 5
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标
准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表
判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；
潜伏期 天 潜伏期 天 总计
50岁以上（含50） 100
50岁以下 55
总计 200
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名
患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过
6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附： ，其中 ．
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
【答案】（1） 天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超
过6天最有可能是8人.【分析】
（1）根据频率直方表求平均值即可.
（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏
期与息者年龄有关；
（3）由题意知潜伏期超过6天的人数 ，则 ，应用不等法求最大概率
时的k值即可.
【详解】
（1） 天.
（2）由题设知： 的频率为 ， 的频率为 ，故200人中潜伏期在 上有120人，在
上有80人.
列联表如下：
潜伏期 天 潜伏期 天 总计
50岁以上（含50） 65 35 100
50岁以下 55 45 100
总计 120 80 200
∴ ，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.
（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率 ，
设潜伏期超过6天的人数为 ，则 ，
∴ 且 ， ，
由题意， ，即 ，化简得 ，
解得 ，∴ ，即潜伏期超过6天最有可能是8人.
9．中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在
今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行
校史问卷测试，得分在45~95之间，分为 ， ， ， ， 五组，得到如图
所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数 近似服从正态分布 ，其中 近似
为样本平均数 ， 近似为样本方差 .
（i）求 ；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若 ，则 ， ，
， ， ， .
【答案】（1） ， ；（2）（i） ；（ii） .
【分析】
（1）利用样本平均数和样本方差的公式直接求解；
（2）（i）利用正态分布概率密度曲线的特点即可求解；
（ii）利用频率估计概率，求对立事件的概率即可求解.【详解】
（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则平均数 ；
方差
.
（2）（i）由（1）得 ， ，故学生校史问卷测试分数 近似服从正态分布
，
则
.
（ii） ，
故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.
设“这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件 ，
则 ，
故这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.
10．某停车场为了提高利用率，增加收益，制定收费标准如下：停车时间不超过30分钟的免费，超过30
分钟的部分每30分钟收费2元（不足30分钟的部分按30分钟计算）.甲、乙两人相互独立地来该停车场停
车，且两人的停车时间都不会超过90分钟.若甲、乙的停车时间的概率如表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
（Ⅰ）求甲所付停车费用大于乙所付停车费用的概率；
（Ⅱ）设甲所付停车费用为随机变量 ，乙所付停车费用为随机变量 .
（i）比较随机变量 与 数学期望的大小；（ii）若已知 ，求 的概率.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）（i）随机变量 与 的数学期望相等；（ii） .
【分析】
（Ⅰ）根据概率的性质求出 ， ，进而即可求解；
（Ⅱ）（i）首先根据题意列出随机变量 ， 的分布列，再求出相应的数学期望，即可比较大小；
（ii）利用条件概率公式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意得 ， ，故 ， .
甲所付停车费用为4元，乙所付停车费用为2元或0元的概率 ；
甲所付停车费用为2元，乙所付停车费用为0元的概率 ，
则甲所付停车费用大于乙所付停车费用的概率 .
（Ⅱ）（i）由题可知，随机变量 ， 的分布列分别为
0 2 4
0 2 4
所以 ， .
故随机变量 与 的数学期望相等.
（ii） ，
且 ，
所以所求概率 .
11．某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A投资金额x（单位：百万
1 2 3 4 5
元）
所获利润y（单位：百万元） 0.3 0.3 0.5 0.9 1
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资 百万元所获得的
利润y近似满足： ，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附．①对于一组数据 、 、……、 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二
乘法估计公式分别为： ．
②线性相关系数 ．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为
线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中 ．
【答案】（1） ，用线性回归方程 对该组数据进行拟合合理；（2）对A、B项目分别投资
4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
【分析】
(1)根据给定数表，计算出 ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；
(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.
【详解】
（1）对项目A投资的统计数据进行计算得： ， ， ，于是得 ， ，
所以回归直线方程为： ，
线性相关系数 ，
这说明投资金额x与所获利润y之间的线性相关关系较强，用线性回归方程 对该组数据进行拟合合
理；
（2）设对B项目投资 百万元，则对A项目投资 百万元，
所获总利润 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
12．数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全
面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成
绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为
科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记 为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求 的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩 服从正态分布 ，其中 可用样本平均数近似代替，
可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本
次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据： ， ，
．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 ；（2）50．
【分析】
（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可求得抽取的10人中合格的有6人，不合格的4人，则 的
可能值为0，1，2，3，4，然后求出对应的概率，从而可得 的分布列和数学期望，
（2）由题意可求得 的值，由 服从正态分布 和正态分布的性质可求得答案
【详解】
（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为 ，不
合格的人数为 ．因此， 的可能值为0，1，2，3，4，则
， ， ， ，
．
故 的分布列为0 1 2 3 4
所以 的数学期望 ．
（2）由题意可知， ．
，所以 ．
由 服从正态分布 ，得
，
则 ， ， ．
所以此次竞赛受到奖励的人数为50．
13．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动
项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一
方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一
方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为 ，乙选手在每回合中
得分的概率为 ．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望 ．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为3．
【分析】
（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果；
（2）求出X的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果．
【详解】
（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以 ；
（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且 ，
， ，
， ，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望 ．
14．“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现
代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年．某企业为响
应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额 （单位：
亿元）对年盈利额 （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投
入额 和年盈利额 数据进行分析，建立了两个函数模型：
； ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数
令 ，经计算得如下数据： ， ， ， ，
， ， ， ， ，，问：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立， 关于 的回归方程（系数精确到0.01）
（3）若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额 为多少亿元？（结果精确到
0.01）
附：①相关系数r＝
回归直线 中： ，
参考数据： ， ．
【答案】（1）模型 的拟合程度更好；（2） ；（3） 亿元．
【分析】
（1）分别计算两个函数模型的相关系数 和 ，比较 和 的大小关系即可判断；
（2）由 得 ，即 ，根据最小二乘法求 和 的值，即可求解；
（3）将 代入（2）中的回归方程即可求解.
【详解】
（1）为了判断两个函数模型： ； ，拟合程度，只需要判断两个函数模型 ，
拟合程度即可．
设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，
由题意
，，
显然 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好．
（2）先建立 关于 的线性回归方程，由 得， ，即 ，
，
，
所以 关于 的线性回归方程为 ，即 ，
所求回归方程为： ，
（3）若2021年盈利额为500亿元，即为 ，
， ，
解得： ，
所以2021年的研发资金投入量约为 亿元．
15．某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道
工序的加工结果只有 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结
果均为 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果
为 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为 级的概率如表一所示，一件产品的
利润（单位：万元）如表二所示：
表一
工序 第一工序 第二工序 第三工序
概率
表二
等级 一等品 二等品 三等品
利润 23 8 5
（1）用 表示一件产品的利润，求 的分布列和数学期望；
（2）因第一工序加工结果为 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加 万元（即每件产品利润相应减少 万元）时，第一工序加工
结果为 级的概率增加 ．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析， ；（2）不产生影响，理由见解析.
【分析】
（1）由题意可知： 的可能取值为 分别求出一等品，二等品，三等品的概率，列分布列计算数学期
望即可；
（2）设该良后一件产品的利润为 ，则 可能的取值为 ，分别求出改良后一等品，二等品，
三等品的概率，求出数学期望与 比较即可.
【详解】
（1）由题意可知： 的可能取值为
产品为一等品的概率为： ，
产品为二等品的概率为： ，
产品为三等品的概率为： ，
所以 的分布列为
（2）改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响，理由如下：
由题意可知：改良过程中，每件产品检测成本增加 万元，第一工序加工结果为 级的概率增加
，
设该良后一件产品的利润为 ，则 可能的取值为
所以一等品的概率为 ，
二等品的概率为： ，三等品的概率为： ，
所以
，
因为 ，
所以改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响.
16．已知某保险公司的某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保
人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3
保费（元）
随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数 0 1 2 3
频数 280 80 24 12 4
该保险公司这种保险的赔付规定如下：
第5次及
出险序次 第1次 第2次 第3次 第4次
以上
赔付金额（元） 0
将所抽样本的频率视为概率．
（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；
（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付 元；若续保人在本年
度内出险6次，则可获得赔付 元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均
值的估计值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）得出保费 ， ， ， ， 对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；
（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的
平均值的估计值；【详解】
（1）由题意可得
保费（元）
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度续保人保费的平均值的估计值为
（2）由题意可得
赔偿金额
0
（元）
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值
.
17．为了了解某年龄段 名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于 秒
与 秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，…，第五组 .按上述分组
方法得到的频率分布直方图如图所示，巳知图中从左到右前 个组的频率之比为 ，且第二组的频数为
.
（1）将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在 内的人数；
（2）求调査中随机抽取了多少名学生的百米成绩；
（3）若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 秒的概率.【答案】（1） 人；（2） 名；（3） .
【分析】
（1）根据频率分布直方图，利用频率乘以1000等于成绩在 内的人数；（2）首先计算第二种的频
率，再根据公式计算样本容量；（3）首先计算第一组和第五组的人数，再进行标号，列举所有的基本事
件后，按照古典概型公式计算概率.
【详解】
(1)百米成绩在 内的频率为 ， ，所以估计该年龄段学生中百米成绩
在 内的人数为 人.
(2)设图中从左到右前 个组的频率分别为 .依题意，得 ， 所以
.
设调査中随机抽取了 名学生的百米成绩，则 ，得 ，所以调查中随机抽取了 名学生的
百米成绩.
(3)百米成绩在第一组的学生数有 ，记他们的成绩为 ；百米成绩在第五组的学生
数有 ，记他们的成绩为 ，则从第一、第五组中随机取出两个成绩包含的基本事件
有
，
共21个.其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有
，所以两个成绩的差的绝对值大
于 秒的概率为 .
18．“ 年全国城市节约用水宣传周”已于 月 日至 日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水
型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约
用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了
名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成 组： ， ， ， ，， ，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值，并估计这 名业主评分的中位数；
（2）若先用分层抽样的方法从评分在 和 的业主中抽取 人，然后再从抽出的这 位业主中
任意选取 人作进一步访谈，求这 人中至少有 人的评分在 的概率.
【答案】（1） ，中位数为 ；（2） .
【分析】
（1）所有小矩形的面积之和为1，求出a，再利用面积和为0.5对应的数为中位数即可得解；
（2）由频率分布直方图，知评分在 的有 人，评分在 有 人，利用列举法求出事件发生的
概率.
【详解】
（1） 第三组的频率为 ，
又第一组的频率为 ，第二组的频率为 ，第三组的频率为 .
前三组的频率之和为 ，
这 名业主评分的中位数为 .
（2）由频率分布直方图，知评分在 的人数与评分在 的人数的比值为 .采用分层抽样法抽取 人，评分在 的有 人，评分在 有 人.
不妨设评分在 的 人分别为 ；评分在 的 人分别为 ，
则从 人中任选 人的所有可能情况有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种.
其中选取的 人中至少有 人的评分在 的情况有：
， ， ， ， ， ， 共 种.
故这 人中至少有 人的评分在 的概率为 .
19．2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期
间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，
统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下
图所示，其中时间段9:20~9:40记作 ，9:40~10:00记作 ，10:00~10:20记作 ，
10:20~10:40记作 ，例如：9:46，记作时刻46.
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值代替）
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取
4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布 ，其中 可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替， 用样本的方差近似代替
（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过
该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：若随机变量T服从正态分布 ，则 ， ，
.
【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819.
【分析】
（1）将频率分布直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为概率，根据平均
值的求解方法即可求解；
（2）根据抽样比计算出各区间抽取的车辆数，写出X的所有可能取值，并计算每个X对应的概率即可得
分布列；
（3）由（1）问分布列及频率分布直方图可求得 和 ，再根据正态密度曲线的对称性即可求解.
【详解】
解：（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10:04；
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时
间分组 这一区间内的车辆数，即 ，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.
所以 ， ， ， ，
.
所以X的分布列为：
0 1 2 3 4
（3）由（1）得 ，.
所以 ，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在 通过的车辆数，由
，得
，
所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为 .
20．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为 ，三步篮投中的概率为 ，测试时罚球位上
投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1
次，三步上篮2次.
（1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；
（2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，3.1分.
【分析】
（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步
篮投中1次”为事件C，根据独立事件乘法原理可求得答案；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从
而再由数学期望公式可求得答案.
【详解】
（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步
篮投中1次”为事件C，
则 ，
所以 ；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以 ，
，，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故 ，
则该同学得分的数学期望是3.1分.
21．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫 向另一位著名的数学家帕斯卡 提请
了一个问题，帕斯卡和费马 讨论了这个问题，后来惠更斯 也加入了讨论，这三位当时
全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢
局，谁便赢得全部赌注 元.每局甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，且每局赌
博相互独立.在甲赢了 局，乙赢了 局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学
家给出的答案是：如果出现无人先赢 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自
赢得全部赌注的概率之比 分配赌注.
（1）甲、乙赌博意外终止，若 ，则甲应分得多少赌注？
（2）记事件 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当 时赌博继续进行下去甲赢
得全部赌注的概率 ，并判断当 时，事件 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发
生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.【答案】（1）216元；（2） ，是，理由见解析.
【分析】
(1)设赌博再进行X局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，
由此利用概率计算公式即可得解；
(2)设赌博再进行Y局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得 ，
再利用导数求出 的最小值作答.
【详解】
（1）设赌博再继续进行 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、
乙必然有人赢得全部赌注，
当 时，甲以 赢，所以 ，
当 时，甲以 赢，所以 ，
当 时，甲以 赢，所以 ，
于是得甲赢得全部赌注的概率为 ，
所以，甲应分得的赌注为 元.
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，
当 时，乙以 赢， ，
当 时，乙以 赢， ，
从而得乙赢得全部赌注的概率为 ，
于是甲赢得全部赌注的概率 ，对 求导得 ，
因 ，即 ，从而有 在 上单调递增，
于是得 ，乙赢的概率 最大值为 ，
所以事件 是小概率事件.
22．小田开小汽车上班的道路 要经过5个红绿灯路口，若小田到达每一个路口是相互独立的，到达每一
个路口遇到红灯的概率都为 ，遇到绿灯的概率都为 .
（1）若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间
为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为2分钟，求小田从出门到办公室的时间的平均值；
（2）小田骑电动车上班的道路 只要经过3个红绿灯路口(只有红灯或绿灯)，随机到达第一个路口遇到红
灯､绿灯的概率都为 ，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到
绿灯的概率都为 ，求小田遇到红灯个数的平均值；
（3）若小田骑电动车走道路 ，从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4分钟，在路口遇到
红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为5分钟.从时间来考虑，请问小田上班是开小
汽车好，还是骑电动车好？
【答案】（1） ；（2） ；（3）小田上班骑电动车较好.
【分析】
（1）设小田开车遇到红灯的个数为 ，则由题意可知 ，设小田开车从出门到办公室的时间为
，则 ，从而可求出 ；
（2）设小田骑车遇到红灯的个数为 ，则 可能为0，1，2，3，然后根据题意求出对应的概率，从而可求
出 ；（3）设小田骑车从出门到办公室的时间为 ，则 ，从而由 求得结果
【详解】
（1）设小田开车遇到红灯的个数为 ，则 ，
设小田开车从出门到办公室的时间为 ，则 ，
平均值 ；
（2）设小田骑车遇到红灯的个数为 ，则 可能为0，1，2，3，
(绿绿绿) ，
，
，
，
∴ ；
（3）设小田骑车从出门到办公室的时间为 ，则 ，
平均值 ，所以小田上班骑电动车较好.
23．随着时代的发展，科技的进步，“网购”已经成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己
想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某研究机构调查了某地去年第一个月至第七个月的网店
销售收入如表：
时间(月份) 1 2 3 4 5 6 7
收入(万元) 8 15 24 42 66 105 182
根据以上数据绘制散点图.（1）为了更深入的了解网购发展趋势，机构需要派出人员进行实地考查，拟从A，B，C，D，E五名员工
中随机抽取2人前往，则A，B至少有一人被抽到的概率是多少？
（2）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为网店销售收入 关于月份 的回归方程类型？
(给出判断即可，不必说明理由)并根据你判断的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程；(结果保留
两位小数)
（3）根据（2）中求得的回归方程预测8月份该地区的网店销售收入.
参考数据与参考公式：
442 11.18 2512 50.93 5.25 57.54
其中 ， ， ， .
【答案】（1） ；（2）指数型 适合题意；回归方程为 ；（3） （万元）.
【分析】
（1）写出随机抽取2人时全部事件和满足题意的基本事件，利用古典概型的概率计算公式计算即可；
（2）根据散点图作出判断，对 两边取对数，以 为整体，得到线性方程
，再依题意利用公式计算线性系数 ，解出 ，即得方程；
（3）将 代入回归方程计算即可.
【详解】
（1）从A，B，C，D，E五名员工中随机抽取2人前往，所有事件如下：
，共10个，其中A，B至少有一人的事件有: ，共7个，
所以A，B至少有一人被抽到的概率是 ；
（2）根据散点图知，指数型 适合作为网店销售收入 关于月份 的回归方程类型.
由 两边取对数，得 ，而 ，设 ，
则回归方程即 ， ，
因为 ， ，
， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即
网店销售收入 关于月份 的回归方程为 ；
（3） 时， ，
所以8月份该地区的网店销售收入大约为 （万元）.
24．无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航行中的轮船需
要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次呼叫信号被基站收到的概率都是 ，
基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到．
（1）若要保证基站收到信号的概率大于 ，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．
（2）设（1）中求得的结果为 ．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔 秒钟拍发下一次，直到收到回答
信号为止，已知该轮船最多拍发 次呼吸信号，求 的数学期望（结果精确到 ）．
参考数据： ．【答案】（1）至少要拍发 次呼叫信号；（2） ．
【分析】
（1）设“轮船拍发 次呼叫信号，基站至少收到 次信号”为事件 ，则其对应事件 表示“轮船拍发
次呼叫信号，基站收到 次信号”，其中 为正整数．解不等式 即得解；
（2）先写出 的分布列，再利用错位相减法求 的数学期望.
【详解】
（1）设“轮船拍发 次呼叫信号，基站至少收到 次信号”为事件 ，则其对应事件 表示“轮船拍发
次呼叫信号，基站收到 次信号”，其中 为正整数．
要使 ，则需 ．
由题可知 ．
因为 ．
而 ，
又因为 ，所以 ，即轮船至少要拍发 次呼叫信号．
（2）若第 次呼叫信号就被基站收到，则轮船 秒会收到回答信号从而停止拍发， 秒内轮船会继续拍发
次，即一共拍发了 次呼叫信号；
若前 （ ）次呼叫信号都没有被基站收到；第 次呼叫信号被基站收到，与上面同理，停止拍发
时轮船一共拍发了 次呼叫信号；
若前 次呼叫信号都没有被基站收到，轮船会拍发 次后停止．
所以随机变量 的分布列如下：
…
…
所以
，
所以 ．两式相减得
，
所以 ．
25．在近日结束的全国扶贫开发工作会议上，国务院扶贫办表示，2021年要把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在
头等重要的位置来抓，当前和未来一段时间是我国脱贫攻坚和乡村振兴战略实施交汇的特殊时期，为解决
果农农产品滞销问题，进一步提升电子商务专业师生新媒体营销应用能力，某财经学校电商专业教师经过
认真策划､精心组织，开启了以"情系三农､爱心助力”为主题的直播带货活动.在最近一个月(按30天算)的
直播带货中，A，B，C三种水果的成交订单数统计如下：
每天成交订单数 200 300 400
水果 0 20 10
频数(天数 水果 25 5 0
水果 10 15 5
将调查的每种水果在30天中的成交订单数的频率视为概率，每种水果的销售相互独立，三种水果一天中成
交订单的总数记为 .
（1）求 ；
（2）试估计下个月某天中该校电子商务专业师生直播带货三种水果成交订单的总数 最可能的取值并求
出其概率.
【答案】（1） ；（2）X可能的取值为700,800,900,1000,1100, ； ；
； ； .
【分析】
(1)将频率对应视作概率，求得每天成交订单数的概率，利用概率的乘法公式求得 ；
，从而求得 ；（2）X可能的取值为700,800,900,1000,1100,利用相互独立事件的概率求得各个概率.
【详解】
(1)将频率对应视作概率，则有
每天成交订单数 200 300 400
水果 0
频数(天数 水果 0
水果
设 表示水果A卖出200单，下同
.
.
(2) X可能的取值为700,800,900,1000,1100,
，
，
，
，.
26．第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11月1日零时，
将彻查人口出生变动情况以及房屋情况.为了普及全国人口普查的相关知识，某社区利用网络举办社区线上
全国人口普查知识答题比赛，社区组委会先组织了 四个小组进行全国人口普查知识网上答卷
预选比赛，最终每个小组的第一名进入最后的决赛；其中甲､乙两人参加了A组的小组预赛，结果两人得
分相同，为了决出进入决赛的名额，该社区组委会设计了一个决赛方案：①甲､乙两人各自从5个人口普查
问题中随机抽取3个.已知这5个人口普查问题中，甲能正确回答其中的3个，而乙能正确回答每个问题的
概率均为 ，甲､乙两人对每个人口普查问题的回答是相互独立､互不影响；②答对题目个数多的人获胜，
若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的2道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.
（1）求甲､乙两人共答对2个人口普查问题的概率；(每答对一次算答对一个问题)
（2）记 为乙答对人口普查问题的个数，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）甲乙两人共答对2个人口普查问题包括：①甲答对 道，乙答对 道；②甲答对 道，乙答对 道，乙
再从剩下的2道题中选一道作答乙答错，求两种情况概率之和即可求解；
（2）由题意可知 所有可能的取值为： ，求出对应的概率，即可列出分布列求出数学期望.
【详解】
（1）甲乙两人共答对2个人口普查问题包括：①甲答对 道，乙答对 道；
此时概率为
②甲答对 道，乙答对 道，乙再从剩下的2道题中选一道作答乙答错，
此时概率为 ，
所以甲､乙两人共答对2个人口普查问题的概率为 .
（2）由题意可知： 所有可能的取值为： ，,
,
，
，
所以 的分布列为
所以 .
27．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量 （年
入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，
不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应
段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下
关系：年入流量
发电机最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电
站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1） ；（2）应安装发电机2台.
【分析】
（1）根据题意先计算出 ， ， ，由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入
流量超过120的概率；
（2）记水电站年总利润为 ，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应年利润的期望值，由此能求出
欲使水电站年总利润的均值达到最大，从而得到应安装几台发电机.
【详解】
（1）依题意，
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
（2）记水电站年总利润为 (单位:万元).
①安装1台发电机的情形，由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润
，
②安装2台发电机的情形，依题意，当 时，一台发电机运行，此时
，因此 ；当 时，两台发电机运行，此时
，因此 由此得 的分布列为：
840 20000.2 0.8
所以， ；
③安装3台发电机的情形，依题意，当 时，一台发电机运行，此时
，因此， ；当 时，两台发电机运行，
此时 ，因此，
，当 时，三台发电机运行此时 ，因此，
，由此得 的分布列为：
680 1840 3000
0.2 0.7 0.1
所以， ，
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
28．某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动.该社团通知高二同学自
愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员
名单.抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过
计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学可参加活动.
（1）设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）设两次都被抽取到的人数为变量 ，则 的可能取值是哪些？其中 取到哪一个值的可能性最大？
请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： ；（2） ， 取值为18的可能性最
大，理由见解析.
【分析】
（1）由题意得 ，可得 ，从而得 的分布列和期望；
（2）两次抽中的人数 ，则求出 ，令 ，由 可得答案.【详解】
（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是 ，
第二次被抽到的概率也是 ，且两次相互独立，所以 ，
所以 ，
的分布列为
0 1 2
所以 .
（2）两次抽中的人数 ，则 ，
设 ，那么 ，
解得 ，所以 ，
所以当 时可能性最大.
29． 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共
卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织了 名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的
成绩全部在 分至 分之间，现将成绩按如下方式分成 组：第一组，成绩大于等于 分且小于 分；
第二组，成绩大于等于 分且小于 分； 第六组，成绩大于等于 分且小于等于 分，据此绘制
了如图所示的频率分布直方图.（1）求社区居民成绩的众数及 的值；
（2）我们将成绩大于等于 分称为优秀，成绩小于 分称为不合格.用分层抽样的方法从这 个成绩中
抽取 个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选 个
成绩，记优秀成绩的个数为 个，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）众数为 ， ；（2）成绩不合格的个数为 ，成绩优秀的个数为 ，分布列答案见
解析，数学期望为 .
【分析】
（1）利用最高矩形底边的中点值为样本的众数可得出社区居民成绩的众数，利用直方图的面积之和为 可
求得 的值；
（2）分析可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得
出随机变量 的分布列，进而可求得 的数学期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图得众数为 ，
由于所有矩形的面积和为 ，则 ，得 ；
（2）成绩不合格有 个，优秀有 个， 可能取值为 、 、 、 ，
， ， ， ，
的分布列为.
30．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，
回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等
级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 ，答错的概率为 ，回答完5个问题后，记甲上的台阶等级数为
.
（1）求 ；
（2）求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）分析 时甲答对的问题数，然后根据独立重复试验的概率公式求解出 ；
（2）分析 的可取值，然后计算出每个 的取值对应的概率，由此得到 的分布列并计算出数学期望值.
【详解】
当 时，则甲答对了 个问题，答错了 个问题，
所以 ；
（2）由题意可知， 的可取值有： ，
，
，
；
；；
；
所以 的分布列为：
所以 .
31．随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等
APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5
使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式： ，通过散
点图可以发现y与x之间具有相关性.设 ，利用 与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回
归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽
奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾
客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打
折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有 的概
率享受8折优惠，有 的概率享受9折优惠，有 的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了
总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点 的回归直线为相关数据：
(其中 .
【答案】（1）回归方程为 ，2021年该商场使用移动支付的有23万人次；（2）（i）分布列
答案见解析，数学期望： (元)；（ii）小张选择方案二付款优惠力度更大.
【分析】
（1）先求出 ，再选择数据代入求出 ，由 求出 ，再将 替换成 即可求
出y与x之间的回归方程，将2021年年份代号为6代入即可求解对应人次；
（2）（i）由题设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，结合超几何分布求出对应概率，列
出分布列求出期望即可；
（ii）结合离散型随机变量公式求出方案二对应的付款期望值，与方案一比较即可
【详解】
（1）计算知 14.6，
所以 =10，
，
所以所求的回归方程为 ，
当 时， (万人次)，
估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次；
（2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，，
，
故X的分布列为
140 160 200
所以 (元)；
（ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，
则Y的可能取值为160，180，190，
则其对应的概率分别为 ，
所以 ，
由（1）知 ，
故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大.
32．某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、
丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 、 、 .
（1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；
（2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员 万元并进行实验乙，否则技术人员
不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员 万元奖励并进行实验丙，否
则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员
万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得
奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得
出随机变量 的分布列，进一步可计算得出 的值.
【详解】
（1）记实验甲、乙、丙成功分别为事件 、 、 ，且相互独立，
记事件 对实验甲、乙、丙各进行一次，至少成功一次，
则 ；
（2）由题意可知，随机变量 的可能值有 、 、 、 ，
则 ， ，
，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
X
P
所以，随机变量 的数学期望为 （万元）.
33．一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取4个，
对其一个一个地进行检测，若这4个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，若检测出非优质品，
则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测.假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为 .
（1）设一次质量检测共检测了 个锂电池，求 的分布列；
（2）设 ，已知每个锂电池的检测费用都是1000元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的
费用记为 (单位：元)，求 的数学期望 的最小值.【答案】（1）分布列答案见解析；（2）最小值3439元.
【分析】
（1）先列举 的所有可能取值，分别求概率，写出分布列；
（2）求出 ，从而求出 ，构造函数，利用单调性求出最值即可.
【详解】
（1）由题意知 可取1，2，3，4.
， ， ， .
因此 的分布列为
1 2 3 4
（2）由（1）知 .
因为 .
于是 .
设 ，
由 ， ， 均在 单调递增，
可知 在 单调递增，因此当 时， 取得最小值3439.
因此 的数学期望 的最小值3439元.
34．2021年3．15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可
抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球
（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红
球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其
余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，
有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．
（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1） ；（2）该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【分析】
（1）方案一若享受到7折，需要摸出2个红球和1个黑球，由此可计算出概率；
（2）选择方案一，付款金额 元可能的取值为5000、7000、9000、10000，分别计算出概率得分布列，计
算出期望．选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则得关系式 ，由
，可得 ，再计算出 ，比较后可得．
【详解】
（1）选择方案一若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折为事件 ，则
．
（2）若选择方案一，
设付款金额为 元，则 可能的取值为5000、7000、9000、10000， ，
， ， ．
故X的分布列为，
5000 7000 9000 1000
所以 （元）
若选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则 ，
由已知可得 ，故 ，
所以 （元）因为 ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
35．青年大学习是共青团中央组织的青年学习行动，共青团中央用习近平新时代中国特色社会主义思想武
装全团､教育青年，把深入学习宣传贯彻党的十九大精神作为首要政治任务和核心业务，在全团部署实施
“青年大学习”行动.某区为调在学生学习情况，对全区高中进行抽样调查，调查最近一周的周得分情况.如
下茎叶图是抽查的A校和B校各30人得到的这周得分情况：
根据成绩分为如下等级：
成绩
(单位：分)
等级 不合格 合格 良好 优秀
（1）根据茎叶图判断A校和B校中的哪个学校完成学习的效果更好，并说明理由(不要求计算)；
（2）现要从A校被抽查的成绩等级合格和不合格的8名同学中任选4人进行座谈，记其中所含不合格人数
，求 的分布列和期望；
（3）若将所统计的这60人的频率作为概率，在全区的高中学生中任意抽取4人参加知识竞赛，记其中所
含成绩优秀人数 ，求 的分布列､期望和方差.
【答案】(1)B校完成学习的效果更好，理由见解析；(2)分布列答案见解析， ；（3）分布列答案
见解析， ， .
【分析】
(1)根据样本数据茎叶图的中位数，数据分布等特征来说明；
(2)分析出随机变量 服从超几何分布，然后写出 的所有可能取值，并计算取各个值时对应的概率；
(3) 分析出随机变量 服从二项分布，然后写出 的所有可能取值，并计算取各个值时对应的概率.【详解】
(1)(i)根据茎叶图可知A校样本得分中位数为160分，B校样本得分中位数为169分，因此B校完成学习的
效果更好；
(ii)根据茎叶图可知A校样本约有73%同学的分数在150分以上，B校样本有76%同学的分数在160分数段
上，因此B校完成学习的效果更好；
(ⅲ)根据茎叶图可知A校样本在150，160，170分数段上分布较均匀，B校样本在170分左右人数更多更集
中，因此B校完成学习的效果更好.
(以上给出了3种理由，只需答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
(2) 的所有可取取值为0，1，2
， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 ， .
(3)所统计的这60人中获得优秀的有24人，频率为 ，将其作为概率，则
的所有可能取值为0，1，2，3，4
，
，
，
，，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
所以 ， .
36．某同学利用假期到一超市参加社会实践活动，发现该超市出售种水果礼盒，每天进货一次，每销售1
个水果盒可获利50元，卖不完的水果礼盒则需当天降价处理，每盒亏损10元.若每天该礼盒的需求量在
(单位：个)范围内等可能取值.
（1）求该礼盒的日需求量不低于15盒的概率；
（2）若某日超市进货13个水果礼盒，请写出该水果礼盒日销售利润 (元)的分布列，并求出 的数学期望；
（3）这位同学想让水果礼盒的日销售利润最大，他应该建议超市日进货多少个水果礼盒？请说明理由.
【答案】（1） ；（2）分布列答案见解析，数学期望： ；（3）建议超市日进货18个水果礼盒，理
由见解析．
【分析】
（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出随机变量 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即
可；
（3）设超市日进货 个水果礼盒，计算日利润 的分布列，求出数学期望，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）每天该礼盒的需求量在 (单位：个)范围内等可能取值，
则该礼盒的日需求量不低于15盒的概率 ；
（2） 的可能取值为470，530，590，650，所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
470 530 590 650
故 ；
（3）设水果礼盒的日进货量为 个，
销售该礼盒的日利润为 元．则 的分布列为
…
P …
所以
，
因 ，所以进货量n为18时，可获得期望的最大值．
37．为迎接元旦， 两班准备举办元旦晚会. 班共 人，报名唱歌、小品、相声节目的人数别为
； 班共 人，报名唱歌、小品、相声节目的人数分别为 .
（1）以频率代替概率，在 班中各随机选取 名学生，记选取报名唱歌节目的人数为 ，求 的分布
列.
（2）完成下面的列联表，判断是否有 的把握认为唱歌节目的选择与班级有关？
选择情况
班级 合计
唱歌 非唱歌班
班
合计
附： ，其中
【答案】（1）分布列见解析；（2）列联表见解析，没有 的把握认为唱歌节目的选择与班级有关.
【分析】
（1）先分别求解出“ 班随机选取 名学生，报名唱歌节目”的概率，然后确定出 的可取值，根据独
立事件的概率计算公式求解出 的每个取值对应的概率，由此可写出分布列；
（2）根据已知数据填写列联表，然后计算出 的值并与 比较大小，由此可进行判断.
【详解】
（1） 班随机选取 名学生，报名唱歌节目的概率为 ， 班随机选取 名学生，报名唱歌节目的概
率为 ，
的可取值有： ，
，
，
，
，所以 的分布列为：
（2）列联表如下：
选择情况
班级 合计
唱歌 非唱歌
班
班
合计
由表格数据可知： ，
故没有 的把握认为唱歌节目的选择与班级有关.
38．从2020年开始，部分高校实行强基计划，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基
础学科拔尖的学生，越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有
10000名学生参加，成绩数据服从正态分布N（80，100），现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩
进行分析，发现他们的成绩全部位于区间[50，110]内.将成绩分成6组：[50，60），[60，70），[70，
80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，该50名学生成绩的平均分
是77分.（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？
（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决
赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.
附：若X~N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣
3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
【答案】（1） ； （2）（i） 分；（ii）分布列见解析，期望 .
【分析】
（1）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式，列出方程组，即可求解；
（2）（i）根据题意通过初赛进入决赛服从正态分布 ，结合正态分布的图象的对称，即可求解；
（ii）得到50人进入决赛人数为 人，大于100分的人数为 人，得到变量 的取值，求得向量的概率，
得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得 ，即 ，
又由平均数为77分，
可得 ，
即 ，
联立方程组 ，解得 .
（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，可得服从正态分布 ，
所以 ，
又由 ,
而 ,
所以分数线应定为90分.
（ii）由题意可得50人进入决赛人数为 人，
又由 ，因为 ，
所以 ，即大于100分的人数为 人，
所以随机变量 的取值为 ，可得 ， ,
, ,
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为： .
39．某科技企业投资2亿元生产一种供5G智能手机使用的芯片，该芯片因生产原因其性能存在着一定的
差异，该企业为掌握芯片的性能情况，从所生产的芯片中随机抽取了200片进行了性能测试，得到其性能
指标值的频数分布表如下所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表).
性能指标值/分
频数 20 30 40 60 30 20
利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
（1）估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数；
（2）每块芯片的性能等级和纯利润 (单位：元/片， )如下表所示：
性能指标值
等级 次品 级 级 级
纯利润
（i）从该科技企业所生产的芯片中随机抽取3片芯片，试求至少有2片芯片为 级或 级芯片的概率；
（ii）若该科技企业该芯片的年产量为200万片，其中次品直接报废处理，其他芯片全部能被手机厂商收
购，问：该企业两年之内是否有可能收回总投资？试说明理由.参考数据： .
【答案】（1）平均数为70.5分；（2）（i） ；（ii）两年之内能收回总投资，理由见解析.
【分析】
（1）根据平均数公式计算可得；
（2）首先求出芯片为 级或 级芯片的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（3）列出芯片的性能指标值与对应概率的表格，求出每块芯片的纯利润的期望值，再利用导数求出最值；【详解】
解：（1）由题意知，样本平均数为 .
所以可以估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数为70.5分.
（2）（i）由题意知芯片为 级或 级芯片的概率 ，
则从该科技企业所生产的芯片中随机抽取3片芯片，至少有2片芯片为 级或 级芯片的概率为
.
（ii）由题意可知，该芯片的性能指标值与对应概率如下表所示：( )
性能指标值
纯利润
概率 0.1 0.35 0.45 0.1
故每块芯片的纯利润 ，
记 ，则 ，
令 ，得 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，
(元).
40．2021年7月1日是中国共产党百年华诞，某社区将组织主题为“红歌献给党”的百人大合唱，将这100
人的年龄分成 ， ， ， ， ， ， 7段后得到如图所示的频
率分布直方图.（1）求这100人年龄的平均数(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)，并求中位数的估计值；
（2）若从样本中年龄在 的人员中按分层抽样法选取5人，然后从这5人中选出2人做领队，求这2
名领队分别来自 与 两组的概率.
【答案】（1）平均数为 ，中位数的估计值为 ；（2） .
【分析】
（1）将每组数据的组中值乘以频率，再将结果相加即可得到平均数；根据频率分布直方图计算频率之和
为 时对应的年龄即为中位数；
（2）先根据分层抽样计算出 ， 中抽取的人数，然后列出所有基本事件，再找出满足条件的
基本事件，根据基本事件的数量之比求解出对应概率.
【详解】
解：（1）这100人年龄的平均数为 ，
前两组数据所占频率之和为 ，
前三组数据所占频率之和为 .
设中位数的估计值为 ，则 ，解得 .
（2）由题意可知，年龄在 内的人数为 ， 内的人数为 ，按分层抽样法选取 人，则在 内抽取 人，记为 ， ， ，
在 内抽取 人，记为 ， .
从这 人中选出 人做领队的所有情况是 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共 种.
这2名领队分别来自 与 两组的情况有 ， ， ，
， ， ，共 种.
所以这 名领队分别来自 与 两组的概率 .
41．某市甲､乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额，推向国内外，创造更高
的收益，准备从甲､乙两个企业中选取优质的产品，参加2021年的广交会.现从甲､乙两个企业中各随机抽
取5件产品进行质量检测，得到质量指数如下表：
甲 90 89 93 87 91
乙 91 89 90 88 92
规定：质量指数在90以上(包括90)的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，
频率作为概率，求解以下问题：
（1）若从甲､乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品恰好都是
甲企业的优质品的概率；
（2）从乙企业的5件产品中随机取出1件，若为合格品则另放入1件优质品，直到取出的是优质品，求取
得合格品次数X的分布列和期望；
（3）若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是该市贸易部门的负责人，从产品质量的稳
定性方面考虑，你会选择哪个企业？
【答案】（1）所求的概率为 ；（2） 的分布列见解析，数学期望为 ；（3）乙企业产品质量更稳定
些，应选择乙企业．
【分析】
（1）根据古典概型的概率公式计算所求的概率值；（2）由题意知随机变量 的可能取值，计算对应的概率值，求出 的分布列和数学期望值；
（3）计算甲、乙两企业产品质量指数的平均值和方差，比较即可得出结论．
【详解】
（1）甲企业优质品有3件，乙企业优质品有3件，
所以取出的2件优质品都是甲企业的概率为 ；
（2）根据题意知，随机变量 的可能取值为0、1、2，
由已知从乙企业取出1件优质品的概率为 ，一件合格品的概率为
所以 ，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望为 ；
（3）甲企业产品质量指数的平均值为： ，
方差为 ，
乙企业产品质量指数的平均值为： ，
方差为 ，
因为两企业的平均值相同，且 ，
所以乙企业产品质量更稳定些，应选择乙企业．
42．某公司进行一年一度的入职考核，拟招聘应届毕业生作为公司的新员工，现先对应届毕业生对工作的
考虑因素进行调查，所得统计结果如下表所示：男性 女性
以月薪作为主要考虑因素 300 150
以发展前景作为主要考虑因素 200 150
（1）是否有99.9%的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关；
（2）已知公司的入职考核分为2个阶段，是笔试阶段，共3个环节，二是面试阶段，共2个环节，应聘者
进入了该阶段就必须完成该阶段的所有环节；公司规定：笔试阶段3个环节中至少通过2个才可以进入面
试阶段；面试阶段的2个环节全部通过则可以顺利入职；若甲在笔试阶段每个环节通过的概率为 ，在面
试阶段每个环节通过的概率为 ，记甲在本次入职考核中通过的环节数为 ，求 的分布列以及数学期望
．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）没有；（2）分布列见解析；期望为 ．
【分析】
（1）根据数据完善列联表，再由 计算可得结论；
（2）随机变量 的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求随机变量取每一个值的概率，可得随机变量的
分布列，从而求得其数学期望.
【详解】
（1）完善列联表数据如下所示：
男性 女性 总计
以月薪作为主要考虑因素 300 150 450
以发展前景作为主要考虑因素 200 150 350总计 500 300 800
故 ，
故没有99.9%的把握认为应届毕业生对工作的考虑因素与性别有关．
（2）依题意， 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
0 1 2 3 4 5
故 ．
43．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值 ，得到下
图的频率分布直方图.并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值 或
等级 级 级
（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数 ；
（2）以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决下列问题：
（i）从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中 级零件的件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，已知一个 级零件的利润
是12元，一个 级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润.
【答案】（1） ；（2）（i）分布列答案见解析，数学期望： ；（ii） (元).
【分析】
（1）取频率分布直方图每段的中间值乘上频率相加后求得结果；（2）（i）先计算出零件为 级的概率，
然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；（ii）设每箱零件中 级零件有 个，每箱零件的利
润为 元，运用期望知识求解利润.
【详解】
解：（1）由题意知
.
（2）（i）一个零件为 级的概率为 ，
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，，
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
因为 ，
所以期望 .
（ii）设每箱零件中 级零件有 个，每箱零件的利润为 元，则 级零件有 个，
由题意知 ，
因为 ，
所以 ，
所以 (元).
44．国家鼓励公民通过技能培训考试获取技能资格证，凭证上岗就业．按规定某人依次进行理论、实践操
作两科考试，当基础理论合格时，方可进入实践操作考试，且两科均有一次补考的机会，两科都合格就能
获取技能资格证书，今年李华报名参加考试，假定他每次考基础理论合格的概率均为 ，每次考实践操作
合格的概率均为 ，且不放弃每次考试或补考机会，且每次考试互不影响．
（1）求李华恰好经过3次考试获取技能资格证书的概率；
（2）记李华参加考试的次数为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析； .
【分析】
（1）李华恰好3次考试通过是指基础理论考两次实践操作考试考一次，或者实践操作考试考两次基础理论
考一次，利用所给概率，即可求得李华恰好3次考试通过的概率；（2）确定 可能取得的值，求出相应的概率，进而可得 的分布列和期望．
【详解】
（1）设李华“基础理论合格”为事件 ，“基础理论补考后成绩合格”为事件 ，
“实践操作考试成绩合格”为事件 ，“实践操作考试补考后成绩合格”为事件 ．
李华恰好3次考试通过的概率为：
（2）由题意知， 可能取得的值为：2，3，4
分布列（如表）
2 3 4
故 .
45．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在[20，60]内的顾
客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（1）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有
10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：
年龄<40 年龄≥40 小计
使用移动支付
不使用移动支付
小计 200
（3）现从该超市年龄在20到60的200人的顾客中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的是使用移动支
付的顾客，求第2次抽到的是不使用移动支付的顾客的概率．
附表：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
．
【答案】（1） 个；（2）填表见解析；有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；（3） ．
【分析】
（1）根据图中数据，由频率估计概率求得该超市使用移动支付的概率；再计算某日该超市预计当天应准备环保购物袋的个数；
（2）填写列联表，计算K2的观测值，对照临界值得出结论；
（3）利用条件概率公式求出对应的概率值．
【详解】
解：（1）根据图中数据，得到如下表格：
类型╲ [20， [25， [30， [35， [40， [45， [50， [55，
年龄段 25) 30) 35) 40) 45) 50) 55) 60]
使用移
20 25 25 15 15 10 8 7
动支付
不使用
移动支 0 0 4 6 10 10 23 22
付
由频率估计概率，计算得该超市使用移动支付的概率为
；
所以某日该超市预计当天应准备环保购物袋的个数为
；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：
年龄<40 年龄≥40 小计
使用移动支付 85 40 125
不使用移动支付 10 65 75
小计 95 105 200
假设移动支付与年龄无关，则K2的观测值 ，
因为56.17>10.828，
所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；
（3）解法一：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客，
所以 ；
解法二：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客，则
所以
46．2021年4月15日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全
知识竞赛.第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得
3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分.每答完一题，分数进行累加，当答题者累计
得分低于 分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答
完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入
下一轮.每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束.假设参赛者甲对第一､二､三､四题回答正确的概
率依次为 ， ， ， ，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学期望 .
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【分析】
（1）设事件 表示甲第i个问题回答正确， 表示甲第i个问题回答错误，得到
，结合互斥事件和独立事件的概率公式，即可
求解.
（2）根据题意，得到 的可能取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，结合期望的公式，即可求
解.
【详解】
（1）由题意，设事件 表示甲第i个问题回答正确，
表示甲第i个问题回答错误，则 ， ， ， ；
， ， ， .
记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
，
即甲同学能进入下一轮的概率为 .
（2）由题意知 的可能取值：2，3，4，
则 ；
；
.
所以分布列为
所以期望为 .
47．学生视力不良问题突出，是教育部发布的我国首份《中国义务教育质量监测报告》中指出的众多现状
之一.习近平总书记作出重要指示，要求全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光
明的未来.为了落实总书记指示，掌握基层情况，某单位调查了某校学生的视力情况，随机抽取了该校100
名学生(男生50人，女生50人)，统计了他们的视力情况，结果如下：
不近视 近视
男生 25 25
女生 20 30
（1）是否有 的把握认为近视与性别有关？附： ，其中 .
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
（2）如果用这100名学生中男生和女生近视的频率分别代替该校男生和女生近视的概率，且每名学生是否
近视相互独立.现从该校学生中随机抽取4人(2男2女)，设随机变量 表示4人中近视的人数，试求 的
分布列及数学期望 .
【答案】（1）没有 的把握认为近视与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望为 .
【分析】
(1)由给定条件求出 的观测值，再比对临界值表即可得解；
(2)确定 的所有可能值，再分别求出各值对应的概率即可作答.
【详解】
（1）根据 列联表中的数据可得 ，
根据临界值表可知，没有 的把握认为近视与性别有关；
（2）由题意可知男生近视的概率为 ，女生近视的概率为 ， 的可能取值为0，1，2，3，4，则
，
，
，
，，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3 4
于是 的数学期望为 .
48．在某次校园科技节游园活动中，数学兴趣小组的摊位开展了一个特别的投骰子游戏.如果玩家投中1或
者6可得1分，并且可以继续下一次投骰子，如果结果为2到5则游戏结束，但游戏的次数最多不超过
次.以X表示游戏结束时玩家累计获得的分数.
（1）求玩家至少获得2分( )的概率；
（2）求X的分布列；
（3）求X的数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列答案见解析；（3） .
【分析】
（1）根据对立事件的概率来求解；
（2）先得X的可能取值，再求概率即可；
（3）先由期望的定义得到表达式，再运用错位相减法化简.
【详解】
解：（1）在单次投骰子中，投中1或者6的概率为 ，投中2到5的概率为
；
（2）X的可能取值为0，1，2，……，
依题意得 ，.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 ……
P ……
（3）
……①
……②
①—②得：
整理得 .
49．单板滑雪 型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到
高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终
取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪 型池世界杯分站比赛成绩如
下表：
运动员甲的三次滑行成绩 运动员乙的三次滑行成绩
分站
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
（2）从上表5站中任意选取2站，用 表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求 的分布列和数
学期望；
（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪 型池比赛，根据以上数据信息，你
推荐谁参加，并说明理由．
（注：方差 ，其中 为 ， ，…， 的平均数）
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，期望为 ；(3)推荐甲、乙都可，答案见解析．
【分析】
(1)根据古典概率即可求得运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
(2)由已知，可判断出本小题满足超几何分布，根据超几何分布的方法列出分布列，从而求出期望；
(3)根据表中的数字特征，分别判断甲、乙的优缺点，进而推荐一人参加即可.
【详解】
(1)解：设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件 ；
运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：
86.20、92.80、87.50、89.50、86.00，
运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为：
88.40、88.60、89.10、88.20、87.70，
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，
∴ ；
(2) 的可能取的值为0，1，2，
则 ，
，，
所以 的分布列为：
0 1 2
；
(3)答案一：推荐乙．
理由是：从2021赛季前5站的成绩可以看出：任意1站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩的概率为
，
乙的成绩高于该站运动员甲的成绩的概率为 ．因为 ，所以乙的成绩好于甲的成绩的可能性大．
答案二：推荐乙．
用“ ”表示任意1站运动员甲的成绩高于乙的成绩，
用“ ”表示任意1站运动员甲的成绩低于乙的成绩，
则 ， ，
， ，
用“ ”表示运动员乙的成绩高于甲的成绩，
用“ ”表示运动员乙的成绩低于甲的成绩，则 ，
， ，
因为 ，所以乙的成绩好于甲的成绩．
答案三：推荐乙．
甲5站的平均成绩为： ，乙5站的平均成绩为： ，
甲5站成绩方差为：
，
乙5站成绩方差为：
，
说明甲乙二人水平相当， 表明乙的发挥比甲的更稳定，
所以预测乙的成绩会更好．
答案四：推荐甲．
甲5站的平均成绩为： ，
乙5站的平均成绩为： ，
甲乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的极大值为92.80，乙成绩的极大值为89.10，
甲成绩的极大值高于乙成绩的极大值，所以甲的成绩会比乙的更好．
50．由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，
及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生
的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到
该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率
分布直方图.
（1）从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人.
①若将频率视为概率，求至少有3人每周活动时间在[8，9)(单位： )的概率；
②若抽取的5人中每周活动时间在[8，11](单位： )的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，
记3人中每周活动时间在[8，11](单位：h)的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动
量不少于0.74 时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活
动爱好者”的可能性最大，试求k的值.(每组数据以区间的中点值为代表)
【答案】（1）① ；②分布列答案见解析，数学期望： ；（2）2.
【分析】
（1）①记“至少有3人每周活动时间在[8，9)(单位：h)”为事件A，求出P(A)的值即可；
②分别计算P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)的值，求出E(ξ)的值即可；
（2）求出X~B(10，0.19)，若k人的可能性最大，则 ，得到
，得到关于k的不等式，求出k的范围即可判断.
【详解】
解：（1）由图表的直方图可知，
事件“到活动中心参加活动的老人任意选取1人，每周活动时间在[8，9)内”概率为p= ，
记“至少有3人每周活动时间在[8，9)(单位：h)”为事件A，
则 ；
随机变量ξ所以可能的取值为0，1，2，
则 ，
ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
故 ；
（2）老人的周活动时间的平均值为：
6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.40+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h)，则老人中“活动爱好者”的活动时间为[9，11]，
参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为P=0.19，
若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到X人为“活动爱好者”，
则X~B(10，0.19)，
若k人的可能性最大，则 ，
由 ，
即
且 ，
解得：1.09≤k≤2.09，由于 ，故k=2.
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
1．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，
现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶 ， ， 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出
玩偶 ， 中的一个.
（1）记事件 ：一次性购买 个甲系列盲盒后集齐玩偶 ， ， 玩偶；事件 ：一次性购买 个乙系
列盲盒后集齐 ， 玩偶；求概率 及 ；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选
择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 ，购买乙系列
的概率为 ；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 ，购买乙系列的概率为 ，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 ，购买乙系列的概率为 ；如此往复，记某人第 次
购买甲系列的概率为 .
①求 的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为 ，且这 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天
应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1） ； ；（2） ① ；②甲系列盲盒 个，乙系列盲盒
个.
【分析】
（1）计算一次性购买 个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为 ，利用排列与组合计算当集齐 ， ，
玩偶的所有情况总数，然后得到 ；利用正难则反思想，先计算一次性买 个乙系列盲盒不能集齐 ，
玩偶的概率 ，再利用 计算即可；
（2）①由题意可得 ，当 时， ，利用构造法求出数列 的通项公式；
②假设用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知 ，利用二项分布数学期望的
计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、
乙两种盲盒的个数.
【详解】
解：（1）若一次性购买 个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为 ，集齐 ， ， 玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶 个，其他两个玩偶各 个，则有 种结果；
②若其中两个玩偶各 个，另外两个玩偶1个，则共有 种结果，故 ；
若一次性购买 个乙系列盲盒，全部为 与全部为 的概率相等，均为 ，
故 ；
（2）①由题可知： ，
当 时， ，则 ， ，即 是以
为首项，以 为公比的等比数列.
所以 ，即 ；
②因为每天购买盲盒的 人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作
，所以，其购买甲系列的概率近似于 ，
假设用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则 ，
所以 ，即购买甲系列的人数的期望为 ，
所以礼品店应准备甲系列盲盒 个，乙系列盲盒 个.
2．某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙
组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少
于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为 ， .
（1）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若 ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要
进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.【答案】（1） ；（2）理论上至少要进行 轮游戏， .
【分析】
（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；
（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率 ，并化简为关于 的二次函数，利用不等式的基本
性质和基本不等式求得 的取值范围，进而求得 的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式
求得他们小组在 轮游戏中获“神投小组”次数 的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上
他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时 ， 的值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中
2次，乙投中2次.故所求概率:
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:
，
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
令 ，以 ，则 ，
当 时， ，他们小组在 轮游戏中获“神投小组”次数 满足 ，
由 ，则 ，所以理论上至少要进行 轮游戏.
此时 ， ， .
3．2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新
征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一
项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯
穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､
办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随
机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 ，试求随机变量 的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数 服从正态分布 ，其中
近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 .现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机
抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数
最有可能是多少？
参考数据： ， ， ，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： ；（2）人数最有可能是79.
【分析】
（1）可得得分不低于80分的有20人， 可能的取值为0，1，2，即可求得 取不同值的概率，即可得出
分布列，求出期望；
（2）由题求出 ，根据题意可得 ，即可求解.
【详解】
解：（1）100人中得分不低于80分的人数为 ，
随机变量 可能的取值为0，1，2.
又 ， ， ，
则 的分布列为：
0 1 2
.
（2） .
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量 ，
则 ，其中 ，所以恰好有 个参赛者的分数不低于82.3的概率为 ， ，1，2，…，500.
由 ，
得 .
所以当 时， ，
当 时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
4．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校
在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一
天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅
乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天
选择餐厅甲就餐的概率是 ，择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为 .
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出 与 的递推关系；
（3）求数列 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从
20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅
甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析， ；
（2） ；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【分析】
（1）依题意可得 ，进而可得分布列和期望；（2）由 可得结果；
（3）由（2）求得 ，且 ，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 ，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 ，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为 ，则 .
，
的分布列为
0 1 2 3
故 .
（2）依题意， ，即 .
（3）由（2）知 ，则
当 时，可得 ，
数列 是首项为 公比为 的等比数列.
，即 .
，所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为 ，分配到餐厅乙的志愿者人数为 .
5．某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：
每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上
点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到
200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为 ，（初始得分为0分， ）．
①证明数列 ，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；② ．
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为 ，获得2分的概率为 ，而每轮游戏的结果互相独立，设进
行完3轮游戏时，得1分的次数为 ，所以 ， ，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为 ，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式
，再根据构造法即可证出数列 是等比数列；
②根据①可求出 ，再根据累加法即可求出 ，然后由 从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为 ，获得2分的概率为 ，设进行完3轮游戏时，得1分的次
数为 ，所以 ， ，而 ，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
， ，
， ．
∴X的分布列为：
X 3 4 5 6
P
E（X）＝ ＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点， ，则 ，
累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为 ，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为 ，
∴ ，∴ ，（i＝2，3，•••，19），∴数列 ，
（i＝1，2，…，19）是首项为﹣ ，公比为﹣ 的等比数列．
②∵数列 ，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣ ，公比为﹣ 的等比数列，
∴ ，
∴ ， ，•••， ，
各式相加，得： ，∴ ，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
6．某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为
，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传
输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记 根光导纤维组成的这种5G传输设备可以
正常工作的概率为 ．
（1）用p表示 ；
（2）当 时，证明： ；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新
增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定 的取值范围，
使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【分析】
由题设可得 ，
（1）将 代入上式即可求 ；
（2）由题意 ，由
易知 ，进而可证明结论.
（3）讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正
常传输信号的概率 ，进而求 ，根据 即可求 的范围.
【详解】由题意知：要使5G传输设备可以正常工作，则至少有 根光导纤维能正常传输信号，
∴ ，
（1）由上知： ；
（2）当 时，有 ，而
，
∴ ，故 ，得证；
（3）由题意， ，
新增两根光导纤维后，两根都能正常工作、一根正常工作、两根都不能正常工作，对应该设备能正常工作
的概率分别为 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率，则
，
∴ ，故 时新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
7．为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激
发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：
两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲
乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是 和 ，且每道题答对与否互不影响．
（1）若 ， ，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；（2）若 ，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进
行多少轮竞赛？
【答案】（1） ；（2）15
【分析】
（1）根据 可求得；
（2）得出获得一个积分的 ，由已知可得 ，进而求得 ，根据甲乙
两同学在 轮比赛中获得的积分数 满足 ，根据 即可解得.
【详解】
（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为 和 ，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为 ；
（2）由（1）得
，
整理得 ，
因为 且 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即 ，
令 ，则 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则当 时， ，
甲乙两同学在 轮比赛中获得的积分数 满足 ，
所以由 ，即 解得 ，
因为 为正整数，所以 至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.
8．“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能
出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，
率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”
模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均
采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计
分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局
甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为 ，每局比赛结
果相互独立.
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为 ，求 的分布列及数
学期望.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析， .
【分析】
（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为 ，乙胜出分别为 ，在“FAST5”模式每局比赛甲
获胜为 ，4局比赛决出胜负记为事件 ，分类即可求解；
（Ⅱ） 的可能取值为4、5、6、7，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.
【详解】
（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为 ，乙胜出分别为 ，在“FAST5”模式每局比赛甲
获胜为 ，4局比赛决出胜负记为事件 .若24分钟内甲、乙打满2局，则 ；
若24分钟内甲、乙打满3局，则
；
（Ⅱ） 的可能取值为4、5、6、7
；
；
；
；
所以，随机变量 的概率分别列为：
4 5 6 7
的数学期望为 .
9．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平
行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从
高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉
入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，
2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使
用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为 元，其中
.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木
块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿
板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的
高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
【答案】（1） ；（2）小明的盈利多，理由见解析.
【分析】
（1）设这个小球掉入5号球槽为事件 ，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，利用独立重复试验的概
率计算可得；（2） 的可能取值为0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出 ； 的可能取值为0，1，
4，9，求出对应的概率，列出分布列求出 ，比较 与 的大小，确定小明的盈利多.
【详解】
（1）设这个小球掉入5号球槽为事件 ，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以
，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为 .
（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0，4，8，12.
，
，
，
.
0 4 8 12
一次游戏付出的奖金 ，则小红的收益为 .
小明的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0，1，4，9.
，
，
，.
0 1 4 9
一次游戏付出的奖金 ，则小明的收益为 .
显然， ，所以小明的盈利多.
10．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能
正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工
作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当 时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设 为该电
子产品需要维修的系统所需的总费用，求 的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作
的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条
件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为750；（2） ．
【分析】
（1）由题知当 时个系统需要维修的概率为 ，进而得电子产品需要维修的系统个数
满足 ， ，再根据二项分布求解即可；
（2）设 个元件组成的系统正常工作的概率为 ，进而得 ，再分三种情况
（见解析）讨论 ，进而求解 时的情况即可得答案.
【详解】（1）当 时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为 ，设 为该
电子产品需要维修的系统个数，则 ， ，
∴ ，
∴ 的分布列为：
0 500 1000 1500
P
∴ ．
（2）记 个元件组成的系统正常工作的概率为 ．
个元件中有 个正常工作的概率为 ，
因此系统工常工作的概率 ．
在 个元件组成的系统中增加两个元件得到 个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情
形：
（a）原系统中至少 个元件正常工作，概率为 ；
（b）原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为 ；
（c）原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为 ．
所以 ,
因此，，
故当 时， 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
11．已知正三角形 ，某同学从 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚
棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于
3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子 次时，棋子移动到
， ， 处的概率分别为： ， ， ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到 ， ， 处的
概率分别为 ， ，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率 ， ， ；
（2）记 ， ， ，其中 ， ，求 .
【答案】（1） ， ， ；（2） .
【分析】
（1）由题意分别列出到A，B，C的情况，进而可得结果.
（2）由题意可得 ，进而可得 ，构造等比数列 ，即可得出结果.
【详解】
（1） ，
所以
所以
所以
（2）∵ ，即 ， ，又 ，
∴ 时
又∵ ，可得
由
可得数列 是首项为 公比为 的等比数列
，即
又
故
12．射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育
运动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康.为了度过
愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.
（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为
，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹
数量为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
（2）张三在休息之余用手机逛 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合
会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的
枪里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为
M1917，弹容为6发的左轮手枪，弹巢中有 发实弹，其余均为空包弹.现规定：每次射击后，都需要在下
一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行 次射击后，记弹巢中空包
弹的发数 .（ⅰ）当 时，探究数学期望 和 之间的关系；
（ⅱ）若无论 取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的
数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望 时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最
小的射击次数 .（参考数据： 、 ）
【答案】（1）分布列见详解；数学期望为 ；（2）（ⅰ） ；（ii）
.
【分析】
（1）根据题中条件，得到 的所有可能取值，分别求出对应的概率，即可得出分布列，再由离散型随机
变量的期望公式，结合错位相减法，即可求出期望；
（2）（ⅰ）讨论第 次射出空包弹或第 次射出实弹，分别求出对应的概率，以及射击后对应的空包弹数
量，即可得出 和 之间的关系；
（ⅱ）根据题中条件，先得到 ，由（ⅰ）的结果，通过构造法，结合等比数列的通项公式，
求出 ，进而得到弹巢中实弹的发数的期望，结合题中条件，列出不等式
，进而可求出结果.
【详解】
（1）由题意， 的所有可能取值为： ， ， ，…， ， ，
因为张三每次打靶的命中率均为 ，
则 ， ，
所以 的分布列为所以 的数学期望为 ，
令 ①，
则 ②，
所以① ②可得， ，
则 ；
（2）（ⅰ）第 次射击后，可能包含两种情况：第 次射出空包弹或第 次射出实弹；
因为第 次射击前，剩余空包弹的期望为 ，
若第 次射出空包弹，则此时对应的概率为 ，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的
数量为 ；
若第 次射出实弹，则此时对应的概率为 ，所以此时空包弹的数量为 ；
综上， ；
（ⅱ）因为当 时，弹夹中有 发空包弹，则 ；
由（i）可知： ，则 ，所以
是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，因此弹巢中实弹的发数的期望为 ，
为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于 ，只需 ，则 ，所以 ，
为使 恒成立，只需 ，
而 ，
又 ，所以最小的射击次数 .
13．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，有以下两种检验方式：
①逐份检验，需要检验 次；②混合检验，将其 且 )份血液样木分别取样混合在一起检验．若
检验结果为阴性，这 份的血液全为阴性，因而这 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳
性，为了明确这 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 份再逐份检验，此时这 份血液的检验次数总共
为 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本
是阳性结果的概率为 .
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能
把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中 且 )份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ，采用混
合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①记E( )为随机变量 的数学期望．若 运用概率统计的知识，求出 关于 的函数关系式
，并写出定义域；②若 ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值
更少，求 的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．
【答案】（1） ；（2）① （ 且 ）；②8.
【分析】
（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解；
（2）①由题知 ， 的可能值为1， ，进而可求出 ，由 ，即可求出 关于
的函数关系式 ；
② ，则 ，进而构造新函数 ，再利用导数研究函数的单调性，再
结合函数性质即可得 的最大值.
【详解】
解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为 事件，
则 .
（2）①根据题意，可知 ， 的可能值为1， ，
则 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 （ 且 ）.
②由于 ，则 ，所以 ，即 ，
设 ， ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
， ，
所以 的最大值为8.
14．在新冠肺炎疫情防控进入常态化的当下，某医院2020年准备招聘若干名医学硕士进行医学检验.在招
聘的最后阶段，只有 ， ， 3名医学硕士进入实验检测环节的考核，医院给 ， ， 3名医学硕士各
准备了7管血样，且均有2管含有某种病毒，其中含病毒的血样的检测结果呈阳性，不含病毒的血样的检
测结果呈阴性.现要求这3人分别对7管血样逐一检测，1次只能检测1管，直至检测出含有某种病毒的2
管血样
（1）若 将7管血样随机编号为1，2，3，4，5，6，7，且按编号从小到大的顺序对血样进行检测，求其
在第1管血样检测结果呈阳性的条件下，总共进行了4次检测的概率；
（2）求 检测了6次的概率；
（3）已知 ， ， 均通过了实验检测环节的考核，医院又加试一个环节，即让 ， ， 3人进行血样
中病毒的识别检验，若 识别病毒的正确率为0.6， 与 识别病毒的正确率均为 ，每人只有1
次识别病毒的机会，且识别结果互不影响，试比较在这次加试中， ， ， 3名医学硕士中有1人识别
病毒成功的概率与有2人识别病毒成功的概率的大小.
【答案】（1） ；（2） ；（3）答案见解析.
【分析】
（1）记事件 为第1管血样检测结果呈阳性，事件 为总共进行4次检测，求得 和 ，利用
条件概率的计算公式，即可求解；
（2）检测进行了6次，说明前5次只检测出一管阳性，不管第六次检测的结果是阳性还是阴性，都能找到
两管阳性血样，即可求解；
（3）分别求得3名医学硕士有1、2、3人识别成功的概率，结合概率间的大小关系，即可得到结论.【详解】
（1）记事件 为第1管血样检测结果呈阳性，事件 为总共进行4次检测，
则 ， ，
则所求概率为 ，
所以医学硕士 在第1管血样检测结果呈阳性的条件下，总共进行了4次检测的概率为 .
（2）检测进行了6次，说明前5次只检测出一管阳性，不管第六次检测的结果是阳性还是阴性，都能找到
两管阳性血样，从而所求概率 .
（3）由已知可得 ， ， ，3名医学硕士有1人识别成功的概率
，
有2人识别成功的概率 .
，
由 ，且 ，得 ；
由 ，且 ，得 ；
由 ，且 ，得 .
所以当 时， ，即 ， ， ，3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率小于有2人识
别病毒成功的概率；
当 时， ，即 ， ， ，3名医学硕中有1人识别病毒成功的概率大于有2人识别病
毒成功的概率；当 时， ，即 ， ， ，3名医学硕士中有1人识别病毒成功的概率等于有2人识别病毒
成功的概率.
15．一个袋子中装有 个红球 和5个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个球颜色不同
则为中奖．
（1）试用 表示一次摸奖就中奖的概率；
（2）若 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 ，当 取多少时， 最大？
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
（1）一次摸奖从 个球中任选两个，有 种，它们等可能，其中两球不同色有 种，一次摸奖中
奖的概率 ；
（2）根据（1）的结果，即可求出三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有1次中奖的概率；
（3）设每次摸奖中奖的概率为 ，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率
，知在 上 为增函数，在 上 为减函数，
当 时 取得最大值，又 ，解得 的值．
【详解】
（1）一次摸奖是从 个球中同时选两个球，有 种方法，它们是等可能的，其中两球不同色有
种方法，所以一次摸奖就中奖的概率 ．（2）当 时， ，由于摸奖是有放回的，因此三次摸奖可看作三次独立重复试验，三次摸奖恰
有一次中奖的概率为 ．
（3）记（1）中的 ，
，
，即 ．
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
∴当 时， 取得最大值．由 ，解得 或 （舍去），
∴当 时，三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率 最大．
16．某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.
“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、
精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共 个问题，提问时将从中抽取
个问题进行提问.某日，创城检查人员来到 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了
个问题中的 个，乙背了其中的 个，丙背了其中的 个.计一个问题答对加 分，答错不扣分，最终三人
得分相加，满分 分，达到 分该学校为合格，达到 分时该学校为优秀.
（1）求 校优秀的概率（保留 位小数）；
（2）求出 校答对的问题总数 的分布列，并求出 校得分的数学期望；
（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， 校得分的数学期望为 ；（3）答案见解析.
【分析】
（1）记 校答对的题目个数为 ，记事件 校优秀，可得出 ，利用组合
计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知随机变量 的可能取值为 、 、 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概率，
可计算得出 ，进而可得出 校得分的数学期望为 ，即可得解；
（3）根据题中的问题可得出两条合理的建议.
【详解】
（1）记 校答对的题目个数为 ，记事件 校优秀，则
；
（2）由题意可知随机变量 的可能取值为 、 、 、 、 、 ，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
随机变量 的数学期望为 ，因此， 校得分的数学期望为 ；
（3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.
17．某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进
的次数之和不少于 次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为 .
（1）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；
（2）若 则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为 次，则理论上至少要进行多少轮
游戏才行？并求此时 的值.
【答案】（1） ；（2）理论上至少要进行 轮游戏. .
【分析】
（1）小明、小亮获“优秀小组”的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1
次；③小明投中2次，小亮投中2次，分别求出对应概率即可求解；
（2）借鉴（1）的求法化简可得 ，结合基本不等式得 ，令 ，则
，结合二次函数最值和二项分布即可求解
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③
小明投中2次，小亮投中2次.
故所求概率
（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为
因为
，所以因为 ， ， ，所以 ， ，又
所以 ，令 ，以 ，则
当 时， ，他们小组在 轮游戏中获“优秀小组”次数 满足
由 ，则 ，所以理论上至少要进行 轮游戏.此时 ， ，
18．某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供 、 两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中
一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买 的概率为 、购买 的概率为 ，而前
一次购买 产品的人下一次来购买 产品的概率为 、购买 产品的概率为 ，前一次购买 产品的人下
一次来购买 产品的概率为 、购买 产品的概率也是 ，如此往复.记某人第 次来购买 产品的概率为
.
（1）求 ，并证明数列 是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有 个人购买 产品，求 的分布列并求 ；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，
那么公司每天应至少准备 、 产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
【答案】（1） ，证明见解析；（2）分布列见解析， ；（3） 产品320份、 产品480份.
【分析】
(1)根据条件概率公式及全概率公式即可写出 ，由全概率公式有 即可证明
是等比数列；(2)由条件概率求出第二次来公司购买 、B产品的概率，由3个人中有 =0、1、2、3个人
购买 产品，结合二项分布的概率公式即可得分布列，进而求期望；(3)由(1)所得的等比数列有，根据极限思想可知，当客户稳定时，第 次来购买 产品的概率约为 ，即可知公司
每天应准备 、 产品的数量
【详解】
解：（1）
依题意，知 ，则
当 时，可得
∴数列 是首项为 公比为 的等比数列.
（2）第二次买A产品的概率 ；第二次买B产品的概率
∴第二次来的3人中有 个人购买 产品， 的所有可能取值为0、1、2、3
有
∴ 的分布列为
0 1 2 3
故，
（3）由(1)知：
∴当 趋于无穷大时， ，即第 次来购买 产品的概率约为
故，公司每天应至少准备 产品320份、 产品480份
19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物
品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上贏得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时．
狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ， ， ， ， ，得到如下频率分布直方
图．
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量
指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3
个，记其中一级口罩个数为 ，求 的分布列及数学期望；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲，乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加 、
两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由 个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在 、
两店订单“秒杀”成功的概率分别为 ， ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分
别为 ， ，
①求 的分布列及数学期望 ；
②求当 的数学期望 取最大值时正整数 的值．
【答案】（1）见解析， （2）①见解析；②6
【分析】
（1）根据分层抽样可得二级、一级口罩个数，然后写出 的所有可得取值并计算相应的概率，列出分布
列并根据数学期望公式可得结果.
（2）①写出写出 的所有可得取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得结果.②根据
，使用换元法并构造函数 ，然后利用导数判断函数单调性，进一步可得取
最大值的条件.【详解】
（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6，2．故 的可能取值为0，1，2．
，
，
，
的分布列为
0 1 2
所以 ．
（2）①由题知 的可能取值为0，1，2，
；
；
．
所以 的分布列为
0 1 2所以
．
②因为 ，
所以 ，
令 ，
设 ，
则 ，
因为 ，
所以当 时， ，
所以 在区间 上单调递增；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减；
所以当 即 时 取最大值，
所以 ．
所以 取最大值时， 的值为6．
20．袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如
果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程 次后，袋中白球的个数记为 ．
（1）求随机变量 的概率分布及数学期望 ；
（2）求随机变量 的数学期望 关于 的表达式．
【答案】（1）概率分布详见解析， ；（2） ．
【分析】
（1） 的可能取值为3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
（2）设 ，则 ，计算概率得到数学期望，整理化简得到
，根据数列知识得到答案.
【详解】
（1）由题意可知 3，4，5．
当 时，即二次摸球均摸到白球，其概率是 ；
当 时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，
其概率是 ；
当 时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是 ，
所以随机变量 的概率分布如下表：
数学期望 .（2）设 ， 0，1，2，3，4，5．
则 ， ．
， ， ，
， ，
，
∴
，
由此可知， ，
又 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，即 .
