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专题 23 等差、等比数列及其前 n 项和（六大题型+模拟精
练）
目录：
01 等差、等比数列的基本量计算及其性质
02 比较大小、判断符号
03 求参数（范围）综合
04 高考新方向—数列的应用
05 解答题
06 数列与统计概率
01 等差、等比数列的基本量计算及其性质
1．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·河南周口·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（2024·新疆·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的等比数列 的前 项和为 S ，若 ，则
n
（ ）
A．24 B．12 C．20 D．15
5．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）数列{a }是等差数列， 是数列{a }的前 项和， 是正整数，甲：
n n，乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（22-23高三上·贵州黔东南·开学考试）已知数列 满足 ，且对任意的 ，都有
，则该数列的前10项和 （ ）
A．32 B．150 C．185 D．250
7．（2025·广东·一模）已知等比数列 为递增数列， . 记 分别为数列 的前 项
和，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
02 比较大小、判断符号
8．（2024·新疆·二模）设 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a +a >0，则a +a >0 B．若 ，则
1 2 2 3
C．若0√a a D．若 ，则(a −a )(a −a )<0
1 2 2 1 3 2 1 4 1
9．（2024·湖北·模拟预测）已知数列 为等差数列， 为等比数列， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．若 为等差数列，且 ，则B．若 为等差数列，且 ，则
C．若 为等比数列，且 ，则
D．若 为等比数列，且 ，则
03 求参数（范围）综合
11．（2024·广东·二模）设数列{a }的通项公式为 ，其前n项和
n
为 ，则使 的最小n是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列 满足 ，公比 ，且
， ，则当 最小时， （ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
13．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设 为正项等比数列 的前 项和， ，当 时，
恒成立，则数列 的公比 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都有
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．15．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知 是递增的等比数列 ，且 ，等差数列 满足
， ， ．设m为正整数，且对任意的 ， ，则m的最小值
为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．4
04 数列的应用
16．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于
2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号 运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程
为 ，以后每秒钟通过的路程都增加 ，在达到离地面 的高度时，火箭开始进入转弯程序．则
从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
17．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按
0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要
进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法
找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和
是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
18．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，
活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能
被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获
得1对春联的人数为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
19．（22-23高三上·江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，
每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及
晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五
寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
20．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史
可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．
其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创
作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承
和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩
如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠
久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每
次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24高三上·湖南·阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康
托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三
段，去掉中间的区间段 ，记为第1次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别
均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分
集”.设第 次操作去掉的区间长度为 ，数列 满足： ，则数列 中的取值最大的项为
（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
22．（20-21高二下·陕西汉中·期中）5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和
物都将存在有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社
会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6500米.从全国范围看，中国5G发展进入
了全面加速阶段，基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每
个工程队承建的基站数都比前一个工程队少 ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万个）约为（ ）
A． B． C． D．
23．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图
案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正
三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为
1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为 ，得到数列 .设数列 的前 项和为
，若 时，则 的最小值为（ ）
（参考数据： ， ）
A．5 B．8 C．10 D．12
05 解答题24．（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知各项均为正数的等比数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
25．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知 为数列 的前 项和，若 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)令 ，若 ，求满足条件的最大整数 .
26．（2024·福建龙岩·三模）若数列 是公差为1的等差数列，且 ，点 在函数 的图
象上 ，记数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明: .
27．（2024·湖南·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，正项等差数列 满足
，且 成等比数列.
(1)求 和 的通项公式；
(2)证明： .
28．（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和，且
．(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
06 数列与统计概率
29．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某
同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 ，若前一天选择绿豆汤，
后一天继续选择绿豆汤的概率为 ，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为 ，如此往复．
(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(2)记该同学第 天选择绿豆汤的概率为 ，证明： 为等比数列；
(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．
30．（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中
参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑
球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客
持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数 的数学期望 ；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为 分最终获得一等奖的概率为 ；
①证明： 是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
一、单选题
1．（2024·河南周口·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．182．（2024·贵州·模拟预测）已知数列 满足 ，则“数列 是递增数列”的充要条
件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·二模）记S 为非零数列{a }的前 项和，若 ，则 （ ）
n n
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列 ， 都是等差数列，记 ， 分别为 ， 的前n项
和，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶
等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的
差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为 ，则该数列的第18项为（ ）
A．188 B．208 C．229 D．251
6．（2024·浙江·模拟预测）已知 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 构成公差为d的等差数列，若 ， ，则d的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）数列 的各项均不为0，前1357项均为正数,且有：,则 的可能取值个数为（ ）
A．665 B．666 C．1330 D．1332
二、多选题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则数列 是等比数列
D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列
10．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列{a }的前 项和为 ，且 ，若存在 ，使
n
成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．对任意给定的实数 ，总存在 ，当 时，
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知数列 与 满足 ，且 ， .若
数列 保持顺序不变，在 与 项之间都插入 个 后，组成新数列 ，记 的前 项和为 ，
则（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列 的前三项依次为 的前 项和 ，则
．
13．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列 满足 ，设数列 的前 项
和为 ，则满足 的实数 的最小值为 ．
14．（2024·四川成都·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，用他名字定义的函数 称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，如
，已知数列 满足 ， ，若 为数列
的前 项和，则 ．
四、解答题
15．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和 .
16．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ．
(1)求 ．(2)若 ，则当 取最小值时，求 的值．
17．（2024·浙江丽水·二模）设等差数列 的公差为 ，记 是数列 的前 项和，若 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
18．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某
同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 ，若前一天选择绿豆汤，
后一天继续选择绿豆汤的概率为 ，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为 ，如此往复．
(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(2)记该同学第 天选择绿豆汤的概率为 ，证明： 为等比数列；
(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．
19．（2024·海南·模拟预测）定义：已知数列 为有穷数列， 对任意 （ ），总存在
①
，使得 ，则称数列 为“乘法封闭数列”； 对任意 （ ），总存在
②
，使得 ，则称数列 为“除法封闭数列”，
(1)若 ，判断数列 是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列 ，为“除法封闭数列"，求 和 .(3)已知数列 是以1为首项的递增数列，共有 项， ，且为“除法封闭数列”，探究：数列
是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列 的通项公式.
