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专题 16 反比例函数的图象和性质
考点一 判断反比例函数图象所在象限 考点二 判断反比例函数的增减性
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围 考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
考点五 已知反比例函数的增减性求参数 考点六 已知比例系数求特殊图形的面积
考点七 根据图形面积求比例系数（解析式）
考点一 判断反比例函数图象所在象限
例题：（2022·全国·九年级单元测试）反比例函数 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质作答．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数y＝ 的图像分布在第一、三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像的性质．
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）若反比例函数 的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位
于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】B
【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ 的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入 得：k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数 （k≠0）的性质：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；
（2）k＜0，反比例函数图象在二、四象限．
2．（2022·全国·九年级单元测试）已知函数 ，当 时，函数的图象在第______象限．
【答案】四
【分析】反比例函数 的图象 时位于第四象限．
【详解】解：∵
∴图象在第二、四象限
∴当 时，函数的图象在第四象限
故答案为：四．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，当 时，函数位于一、三象限；当 时，函数位于二、
四象限．
3．（2022·江苏连云港·八年级期末）反比例函数 的图像在第______象限．
【答案】一、三
【分析】根据 ＞0，判定函数图像的分布即可．
【详解】解：∵ ＞0，
反比例函数的图像在第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．
考点二 判断反比例函数的增减性
例题：（2022·山东·宁阳县第十一中学九年级阶段练习）若点 ， ， 在反比例函数的图象上，则 ， ， ，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出
， ， 的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数 中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，
∵ ，且第一象限的函数值和自变量均为正值，第三象限的函数值和自变量均为负值，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质
解答．
【变式训练】
1．（2022·河南开封·八年级期末）已知点 ， ， 在函数 的图象上，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用反比例函数的性质直接求解即可．
【详解】解：∵反比例函数 ，
∴反比例函数的图象在第二四象限，且在每个象限内， 随 的增大而增大，
∵ ，∴ ，
∵点 在第四象限内，
∴ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022·湖南·岳阳市湘一南湖学校九年级阶段练习）若点 在反比例函数 的图象
上，则 的大小关系是_____．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象，可得点A在第二象限，点B在第四象限，即可求解．
【详解】解：∵-6＜0，
∴图象位于第二、四象限，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数 ，图象位于第一、三
象限内，当 时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象位于第二、四象限，在每一象
限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
3．（2022·江苏淮安·八年级期末）若点 在反比例函数 的图像上，则 _____ （填“＞”、“＜”或“＝”），
【答案】＜
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得
出结论．
【详解】解：∵反比例函数 中，k＝-3＜0，
∴此函数图象的两个分支分别在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而最大．
∵1＜3，
∴y＜y．
1 2
故答案为∶＜．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围
例题：（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、
四象限内，则 的值是______．
【答案】-3
【分析】直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出 ，且 ，进而得出答
案．
【详解】解： 函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，
，且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级单元测试）已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，则 的取值范围是
______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限， ，解不等式即可得结果．
【详解】解： 反比例函数 的图象在第二、第四象限，，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查反比例函数 的图象的性质： 时，图象是位于一、三象限． 时，
图象是位于二、四象限．
2．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）若反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，则m的取
值范围是 _____．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是
解题的关键．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）若反比例函数 的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是
______．
【答案】k＞3##
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴3-k＜0，解得k＞3．
故答案为：k＞3．
【点睛】考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＜0，双曲线的
两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键．
考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标例题：（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）若一次函数y=mx与反比例函数 的图象相交
于点（ ，2），那么该直线与双曲线的另一交点为_______．
【答案】（- ，-2）##（-0.5，-2）
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（ ，2），
∴另一个交点的坐标是（- ，-2），
故答案为：（- ，-2）．
【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原
点对称的知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于M，N两点．若点
M的坐标是 ，则点N的坐标是______．
【答案】（－1，－2）
【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．【详解】解：∵直线 与反比例函数 的图象交于M，N两点，
∴M，N两点关于原点对称，
∵点M的坐标是（1，2），
∴点N的坐标是（-1，-2）．
故答案为：（－1，－2）.
【点睛】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．
2．（2022·云南昆明·一模）若反比例函数 与正比例函数 的图象的一个交点为 ，则
另一个交点为_____________．
【答案】
【分析】根据正比例函数与反比例函数关于原点中心对称，则交点也关于原点中心对称即可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数关于原点中心对称，一个交点为 ，
∴另一个交点为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象与正比例函数图象的
性质是解题的关键．
3．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）已知正比例函数 与反比例函数 的一个交点
坐标为 ，则另一个交点的坐标为______．
【答案】(1，-2)
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，即反比例函数图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原
点对称．
【详解】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y= 的两个交点关于原点对称，
1
∴另一个交点的坐标与点(-1，2)关于原点对称，
∴另一个交点的坐标为(1，-2)．
故答案是：(1，-2)．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键．
考点五 已知反比例函数的增减性求参数
例题：（2022·广西·防城港外国语学校九年级阶段练习）若反比例函数 的图象在其所在的每一象
限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】反比例函数的图象，当比例系数大于0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当比例系数小于
0时，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此列不等式计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，k+2<0，即k<-2，
故选A
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，准确掌握图象与比例系数的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）在反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，
则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质可知k+1＞0．从而得出k的范围．
【详解】解：∵反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，
∴k+1＞0，
∴k＞-1，
故选：C．
【点睛】题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级单元测试）反比例函数 在某一象限内，y随着x的增大而增大，则m的取
值范围是______．
【答案】m＞3
【分析】根据反比例函数的性质，构造不等式 求解即可．【详解】∵反比例函数 在某一象限内，y随着x的增大而增大，
∴ ，
解得m＞3，
故答案为：m＞3．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，正确掌握性质，且根据性质构造正确的不等式是解题的关键．
3．（2022·江苏连云港·八年级期末）已知在反比例函数 图像的每个象限内， 随 增大而增大，
则常数 的取值范围是___．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质列出关于 的不等式，求出 的取值范围即可．
【详解】解： 反比例函数 的图象，在每个象限内 随 的增大而增大，
∴函数图像在二、四象限，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
考点六 已知比例系数求特殊图形的面积
例题：（2022·山东·济南高新区东城逸家初级中学九年级阶段练习）如图，两个反比例函数y＝ 和y＝
1 2
在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则 POB的面积为（
1 2 1 2
） △A．4 B．2 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义得到 ，然后利用
进行计算即可．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交 于点B，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y= （k≠0）图象上任意一
点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
【变式训练】
1．（2022·江苏·靖江市实验学校八年级阶段练习）如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，
矩形OCQD的顶点C，D分别在 边OA和y轴上，反比例函数 的图像经过P，Q两点，BP，
CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．
【答案】Q（3， ）
【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知OA×OB=OC×OD=16，再根据四边形OAPB是正方形，即可
求出OA和OB的长度，最后结合矩形BDQE的面积，求出点Q的横坐标即可解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为： ，∴OA×OB=OC×OD=16，
∵四边形OAPB是正方形，
∴OA=OB=4，
∵四边形BDQE的面积为4，
∴四边形BOCE面积为16-4=12，
∴OC=3，即点Q的横坐标为3，
当x=3时， ，
∴Q（3， ）
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，正方形的性质以及矩形的性质，熟练掌握反比例函
数k值的几何意义是解题的关键．
2．（2022·河南·桐柏县思源实验学校八年级阶段练习）如图，点 、 是双曲线 上的点，分别过点
、 是作 轴和 轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______________．
【答案】8
【分析】根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可．
【详解】解：∵点A、B是双曲线y＝ 上的点，
∴S ACOG＝S BEOF＝6，
矩形 矩形
∵S DGOF＝2，
阴影
∴S ACDF+S BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8．
矩形 矩形
故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数k值的几何意义，将k转换成矩形的面积是解答本题的关键．
3．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，A、B两点分别在反比例函数 （x＞0）和 （x＞0）的
图象上，且AB x轴，C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为 _____．
【答案】1
【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出 -1=1，进而求解即可．
【详解】解：如图，延长BA交y轴于点M，连接OA，OB，
∵直线AB与x轴平行，
∵
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数k的几何意义是解决
问题的关键．考点七 根据图形面积求比例系数（解析式）
例题：（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）如图，点 在反比例函数 的图像上， 轴于
点 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到 的值．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
∵ 的面积是 ，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数 的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是找
出 与三角形面积的关系．
【变式训练】
1．（2020·江苏·建新中学九年级阶段练习）如图， ABC的顶点C在反比例函数 的图象上，顶点A，
△
B在反比例函数 （k＞0）的图象上，若∠C＝90°， 轴， 轴， ，则k的值为（
）A．﹣3 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】设点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，由此即可得出AC、
BC的长度，再根据三角形的面积结合 ，即可求出k值，取其正值即可．
【详解】解：设点C的坐标为 ，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴k=5或k=-3．
∵反比例函数 在第一象限有图象，
∴k=5．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、
B的坐标是解题的关键．
2．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，点A为反比例函数 的图象上一点，过A作AB⊥x
轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为2，则反比例函数解析式为 _____．【答案】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义及图像所在的象限求出k，即可求出反比例函数解析式．
【详解】解：根据题意可知： ，
∵反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数解析式为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关
键．
3．（2022·安徽·定远县民族中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 （k＜0，x＜
0）的图象上，过点A作 轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若 ABC的面积是3，则
k＝_____．
【答案】-6
【分析】连接AO，利用同底等高三角形面积相等求出AOB面积，利用反比例函数k的几何意义求出k的
值即可．
【详解】解：连接AO，∵AB//y轴
由同底等高得到 ，
∴ |k|=3，即|k|=6，
∵反比例函数在第二象限过点A，
∴k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比
例函数系数k的几何意义是解本题的关键．
一、选择题
1．（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）对于反比例函数 ，下列说法不正确的是
（ ）
A．它的图象在第二、四象限 B．点 在它的图象上
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：在反比例函数 中， ，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，故A选项不符合题意；
当 时， ，
∴点 在函数图象上，故B选项不符合题意；
在每一象限内， 随着 增大而增大，
故C选项符合题意，D选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）下列关于反比例函数y＝ 的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可．
【详解】解：在反比例函数 中，k2+2＞0．
A、该反比例函数图象经过第一、三象限，则当x＞0时，y＞0，结论不正确，不符合题意；
B、该反比例函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，结论不正确，不符合题意；
C、该反比例函数图象经过第一、三象限，结论不正确，不符合题意；
D、图象关于直线y=-x对称，结论正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质判断．
3．（2022·江苏·张家港市塘桥初级中学八年级期中）已知点A（-2， ），B（-1， ），C（3， ）都
在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 ， ， 的值，进行比较后即可得出结论．
【详解】解：令反比例函数 中x＝−2，则 ，
令反比例函数 中x＝−1，则 ，
令反比例函数 中x＝3，则 ，
∵ ，∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出 、 、 ．
4．（2022·全国·九年级单元测试）当k＜0时，反比例函数 和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
【详解】当k＜0时，反比例函数 的图象在二四象限，同时一次函数y＝kx＋2经过第一、二、四象限，
只有B选项的图象满足要求，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象
限．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，A，B是函数y= （m＞0）的图象上关于原点
对称的任意两点，BC x轴，AC y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据A、B两点在曲线上可设A、B两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．
【详解】设点A（x，y），则点B（-x，-y），
∴xy=m，
∴AC=2y，BC=2x，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根
据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．
二、填空题
6．（2022·江苏·盐城市初级中学八年级期中）点 、 在双曲线 上，则 ______ ．
（填“>”或“<”）
【答案】＜
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断
出各点所在的象限．进而可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y=- 中，k=-5＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵点A（1， ），B（2， ），
∴点A、B都在第四象限，
又1＜2，
∴ ＜ ．
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
7．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知反比例函 ，在每个象限内y随x的增大而增大，则k的取值
范围为______．
【答案】k＜1##1>k
【分析】由于反比例函数 的图象在每个象限内 随 的增大而增大，则满足 即可．【详解】解：由题意得 的图象在每个象限内 随 的增大而增大，
则 ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握①、当 时，图象分别位于第一、三
象限；当 时，图象分别位于第二、四象限．②、当 时，在同一个象限内， 随 的增大而减小；
当 时，在同一个象限， 随 的增大而增大．
8．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校九年级期中）正比例函数 的图象与反比例函数 的图象上
一个交点是 ，则反比例图象位于第________象限，它们的另一个交点是________．
【答案】 二、四 （2，−1）
【分析】根据点（−2，1）在第二象限可知反比例图象位于第二、四象限；然后根据正比例函数图象与反
比例函数图象都关于原点对称解答即可．
【详解】解：∵其中一个交点坐标为（−2，1），在第二象限，
∴反比例图象位于第二、四象限，
∵正比例函数图象与反比例函数图象都关于原点对称，
∴另外一个交点坐标与（−2，1）关于原点对称，
∴它们的另一个交点是（2，－1），
故答案为：二、四；（2，−1）．
【点睛】此题考查的是正比例函数图象与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特点，掌握两
个点关于原点对称时，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
9．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A
在反比例函数y＝ （x＜0）的图像上，若菱形OABC的面积为12，则k的值为_____．【答案】-6
【分析】连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB．根据反比例函数y= 中k的几何意义，得出
△AOD的面积= ，得到菱形OABC的面积=△AOD的面积的4倍=4× =12，从而求出k．
【详解】解：连接AC交OB于D．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB．
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴△AOD的面积= ，
∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4× =12．
解得k=±6，
∵k<0，
∴k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S= |k|．
10．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别
是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函
数y＝ 和y＝ 分别经过点B、点E，若S COD＝5，则k﹣k＝_____．
1 2 1 2
△
【答案】10
【分析】作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠BCE,
证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k﹣k 的值．
1 2
【详解】解：作EH⊥y轴于点H，
则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到 ,
∴∠BCE+∠OCF=45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S BCE＝S COD＝5，
△ △
∴S CEH＝5，
△S BCHE＝10，
矩形
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k﹣k＝S BCHE＝10，
1 2 矩形
故答案为：10．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判定和性
质，利用折叠和全等进行转化是关键．
三、解答题
11．（2022·陕西西安·九年级期末）已知反比例函数 的图象位于第二、四象限，正比例函数
图象经过第一、三象限，求k的整数值．
【答案】1
【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质可得 ，解出即可求解．
【详解】解：根据题意，得 ，
解这个不等式组，得 ，
∴k的整数值为1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的性质，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质是解
题的关键．
12．（2022·安徽亳州·九年级期末）已知点 在双曲线 上．
(1)求a的值；
(2)当 时，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点 代入解析式 即可求解，
（2）根据反比例函数图象的性质求解即可．
(1)解：将点 代入解析式 得，
解得
(2)
当 时，
当 时，
当 时， 的图象， 随 的增大而减小，
【点睛】本题考查了反比例函数的定义以及反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的图象的性质是解题
的关键．
13．（2021·河南·漯河市实验中学九年级阶段练习）已知反比例函数y= （m为常数）
（1）若函数图象经过点A（-1，6），求m的值：
（2）若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值；
（2）根据图象所处的象限确定m的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵函数图象经过点A（-1，6），
∴m-8=xy=-1×6=-6，
解得：m=2，
∴m的值是2；
（2）∵函数图象在二、四象限，
∴m-8＜0，
解得：m＜8，
∴m的取值范围是m＜8．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的
题目，解题的关键是了解反比例函数的性质．
14．（2022·全国·九年级课时练习）在反比例函数 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．（1）函数经过哪些象限？
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）第一、三象限；（2）
【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解；
（2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5- ﹥0，即可求解．
【详解】解：（1）∵反比例函数 的图象上，y随x的增大而减小
∴函数经过第一、三象限，
（2）∵函数经过第一、三象限，
∴5- ﹥0，
即 ﹤5
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函
数 的图象是双曲线；当k>0，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增
大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
15．（2022·全国·九年级单元测试）已知反比例函数 ( 为常数， )；
(1)若点 在这个函数的图象上，求 的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上， 随 的增大而增大，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把 代入到反比例函数 中，进而求解；
（2）根据这个函数图象的每一分支上， 随 的增大而增大，可知 ，进而求出 的取值范围．
（1）
∵点 在这个函数的图象上，
∴ ，
解得 ．
故答案是 ．
（2）在函数 图象的每一分支上， 随 的增大而增大，
∴ ，
∴ ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键．
16．（2022·浙江省义乌市稠江中学八年级阶段练习）如图是反比例函数 的图像的一支，根据图像
回答下列问题：
(1)图像的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图像的任取点A（x,y）和点B（x,y），若x>x，则y 和y 的大小关系如何？
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】(1)另一支位于第三象限，
(2)当x＞x>0或0>x＞x 时，y＜y；当x＞0>x，y>y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据图像的对称性即可得；
（2）根据图像的性质，分情况讨论：①当x＞x>0或0>x＞x，②当x＞0>x，即可得．
1 2 1 2 1 2
（1）
解：由图像在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限，
∵图像在第一、三象限，
∴m﹣5＞0，解得m＞5；
（2）
解：①当x＞x>0或0>x＞x 时，y＜y，
1 2 1 2 1 2
②当x＞0>x，y>y，
1 2 1 2
综上，当x＞x>0或0>x＞x 时，y＜y，当x＞0>x，y>y．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【点睛】本题考查了函数的图像，解题的关键是掌握函数的图像．17．（2022·全国·九年级单元测试）如图，点M是反比例函数 图像上的一个动点，过点M作x
轴的平行线交反比例函数 图像于点N．
(1)若点M（ ，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么 PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，
请说明理由． △
【答案】(1)
(2)不变，5
【分析】（1）将y=3代入 ，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得 MOH和 NOH
的面积，得到 MON的面积，由MN∥x轴得到 MON和 MNP的面积相等，从而得到 △PMN的面△积不变．
（1） △ △ △ △
∵MN y轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入 ，
得 ，
∴ ；（2）
不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，
∵MN x轴，点M和点N分别在函数 和函数 图象上，
∴ ，
∴ ，
∴S PMN=5，
∴△△PMN的面积不变，且 PMN的面积为5．
【点睛】本题考查了反比△例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到 MON和 PMN
的面积相等． △ △
