文档内容
专题 2.2 实数与二次根式
目录
实数的基本概念.................................................................................................................................1
实数的混合运算.................................................................................................................................2
求实数的整数或小数部分.................................................................................................................3
判断二次根式.....................................................................................................................................7
二次根式有意义的条件.....................................................................................................................8
二次根式的非负性.............................................................................................................................9
判断最简二次根式...........................................................................................................................10
二次根式化简...................................................................................................................................11
二次根式的乘除运算.......................................................................................................................13
同类二次根式...................................................................................................................................15
同类二次根式求参数.......................................................................................................................16
二次根式的加减运算.......................................................................................................................17
二次根式比较大小...........................................................................................................................20
简单分母有理化...............................................................................................................................22
二次根式的加减乘除混合运算......................................................................................................25
实数的基本概念
概念有理数和无理数统称实数
正数
有理数
分类 或 0
无理数
负数
3.实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。
【例1】下列说法正确的是
A．0.08的立方根是0.2 B． 的平方根是
C．0的倒数是0 D． 是1的绝对值【解答】解： 选项， ，故该选项不符合题意；
选项， ，4的平方根是 ，故该选项符合题意；
选项，0没有倒数，故该选项不符合题意；
选项，1是 的绝对值，绝对值具有非负性，故该选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列说法正确的是
A．0没有平方根 B．1的立方根是
C． 的倒数是 D． 的相反数是
【解答】解： 、因为0的平方根是0，所以原说法错误，故本选项不符合题意；
、因为1的立方根是1，所以原说法错误，故本选项不符合题意；
、 的倒数是 ，所以原说法错误，故本选项不符合题意；
、 的相反数是 ，所以原说法正确，故本选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列结论正确的是
A． 的倒数是2
B．64的平方根是8
C．16的立方根为4
D．算术平方根是本身的数为0和1
【解答】解： ． 的倒数是 ，故此选项不合题意；
．64的平方根是 ，故此选项不合题意；
．16的立方根为 ，故此选项不合题意；
．算术平方根是本身的数为0和1，故此选项正确．
故选： ．
【变式训练3】下列说法中，正确的是A． 的算术平方根是4
B． 的立方根是
C．任意一个有理数都有两个平方根
D．绝对值是 的实数是
【解答】解： 、 ，负数没有算术平方根，故不符合题意；
、 的立方根是 ，故符合题意；
、0只有一个平方根，负数没有平方根，故不符合题意；
、绝对值是 的实数是 ，故不符合题意；
故选： ．
实数的混合运算
【例2】计算： ．
【解答】解： ．
．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练2】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练3】计算： ．【解答】解：原式 ．
求实数的整数或小数部分
【例3】已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 的值是
A． B． C．2 D．1
【解答】解： ，
，
，
， ，
．
故选： ．
【变式训练1】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，即 ，
所以 的整数部分是2，小数部分是 ，
即 ， ，
所以 ，
故选： ．
【变式训练2】设 的整数部分是 ， 的整数部分是 ，A． B．7 C．6 D．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练3】实数 的整数部分是
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解： ，
，
，
的整数部分是6，
故选： ．
【例4】阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，
因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而 ，于是可以用 来表示 的
小数部分．
请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 5 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
【解答】解：（1） ，
，的整数部分为5，小数部分为 ，
故答案为：5， ；
（2） ，
，
的小数部分 ，
，
，
，
的整数部分为 ，
．
【变式训练1】已知 的立方根是2， 是 的整数部分， 是9的平方根，求 的
算术平方根．
【解答】解： 的立方根是2，
，
，
，
，
是9的平方根，
，
当 时， ，算术平方根为 ；
当 时， ，算术平方根为 ；答： 的算术平方根为 或 ．
【变式训练2】已知 的平方根为 ， 的立方根为2，
（1）求 的算术平方根；
（2）若 是 的整数部分，求 的平方根．
【解答】解：（1） 的平方根为 ， 的立方根为2，
， ，
解得 ， ，
，
的算术平方根为 ，
的算术平方根是6；
（2） ，
的整数部分为3，
即 ，
由（1）得 ， ，
，
而25的平方根为 ，
的平方根 ．
【变式训练3】已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4， 是 的整数部
分，求 的平方根．
【解答】解： 的平方根是 ，
，
解得： ，的算术平方根是4，
，
即 ，
解得： ，
是 的整数部分， ，
，
，
的平方根是 ．
判断二次根式
形如 的式子叫做二次根式。其中 为整式或分式， 叫做被开方式。
即含有二次根号“ ”，被开方数 必须是非负数。
【例5】下列的式子中是二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
．被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
．根指数是3不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
．是二次根式，故本选项符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列式子中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、当 时，它无意义，故本选项不符合题意；
、当 时，它无意义，故本选项不符合题意；
、当 时，它无意义，故本选项不符合题意．
、是二次根式，故本选项符合题意．故选： ．
【变式训练2】下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
、 是三次根式，故本选项不符合题意；
、当 ，则它无意义，故本选项不符合题意；
、由于 ，则它无意义，故本选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列各式是二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 中被开方数 ， 无意义，故此选项不符合题意；
、 ， ， 是二次根式，故此选项符合题意；
、当 时， 无意义，故此选项不符合题意；
、 属于三次根式，故此选项不符合题意；
故选： ．
二次根式有意义的条件
【例6】使式子 有意义的 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 式子 有意义，
，
解得： ．故选： ．
【变式训练1】若代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【解答】解：由题意得： ，
解得， ，
故答案是： ．
【变式训练2】如果二次根式 有意义，那么实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得： ，
，
故选： ．
【变式训练3】已知二次根式 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知： ，
．
故选： ．
二次根式的非负性
【例7】若 ， 为实数，且 ，则 的值为
A．7 B．1 C． D．
【解答】解： ， ，
，，
．
故选： ．
【变式训练1】已知 、 为实数，且 ，则 的值是
A．2022 B．2025 C．2027 D．2030
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】若实数 ， 满足 ，则 的值是
A．1 B． C．4 D．6
【解答】解： ， ，
， ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】已知 ，则 的值为
A．8084 B．6063 C．4042 D．2021
【解答】解：由题意得， ，解得， ，
原式变形为： ，
则 ，
，
，
，
故选： ．
判断最简二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫
做最简二次根式．
【例8】下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，故此选项不合题意；
，故此选项不合题意；
，故此选项不合题意；
是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列根式中，为最简二次根式的是A． B． C． D．
【解答】解： 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列各式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列根式中属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；
选项，原式 ，故该选项不符合题意；选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
二次根式化简
【例9】把下列二次根式化简最简二次根式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【变式训练1】把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
【解答】解：（1） ；
（2） ；（3） ．
【变式训练2】把下列各式化为最简二次根式．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练3】把下列二次根式化为最简二次根式：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ， ， 均大于 ．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ；
（5）原式 ．
二次根式的乘除运算
【例10】计算： 的结果是
A． B． C．1 D．
【解答】解：
．故选： ．
【变式训练1】下列计算错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】计算 的结果是
A． B．2 C．3 D．4
【解答】解：
，
故选： ．
【变式训练3】下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，故 不符合题意．、原式 ，故 符合题意．
、原式 ，故 不符合题意．
、原式 ，故 不符合题意．
故选： ．
【例11】计算： ．
【解答】解：
．
【变式训练1】计算： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练2】计算： ．
【解答】解：原式
．【变式训练3】计算： ．
【解答】解：原式
．
同类二次根式
【例12】下列根式中，与 是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 与 不是同类二次根式，所以选项 不符合题意；
与 不是同类二次根式，所以选项 不符合题意；
，与 是同类二次根式，所以选项 符合题意；
，与 不是同类二次根式，所以选项 不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列二次根式中，不能与 合并的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，能与 合并，故此选项不符合题意；
、 与 不是同类二次根式，不能与 合并，故此选项符合题意；
、 ，能与 合并，故此选项不符合题意；
、 ，能与 合并，故此选项不符合题意；
故选： ．【变式训练2】在二次根式 ， ， ， ， 中与 是同类二次根式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ， ， ， ，
， 与 是同类二次根式，共2个，
故选： ．
同类二次根式求参数
【例13】若 和 可以合并，则 可能是
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解： 、当 时， ，此时 与 不可以合并，故
此选项不符合题意；
、当 时， ，此时 与 不可以合并，故此选项不符合题意；
、当 时， ，此时 与 不可以合并，故此选项不符合题意；
、当 时， ，此时 与 可以合并，故此选项符合题意．
故选： ．
【变式训练1】若最简二次根式 和 能合并，则 的值为
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【解答】解： 最简二次根式 和 能合并，
．
解得 ．
故选： ．【变式训练2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则
A．2021 B．2023 C．2 D．1
【解答】解：根据题意得 ，
．
故选： ．
【变式训练3】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为
A．2 B．4 C． D．1
【解答】解：由题意，得：
，
解得 ，
故选： ．
二次根式的加减运算
二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开
方数相同的二次根式进行合并．被开方数相同的最简二次根式，称为“同类二次根
式”
【例14】计算 的值为
A． B．0 C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
【变式训练1】计算 的结果是
A． B． C． D．
【解答】解： ，故选： ．
【变式训练2】计算： ，则
A． B． C．2 D．5
【解答】解： ，又 ，
所以 ， ， ，
因此 ，
故选： ．
【变式训练3】计算 的值是
A． B． C．9 D．
【解答】解：原式 ，
故选： ．
【例15】计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．【变式训练1】计算： ．
【解答】解：
．
【变式训练2】计算： ．
【解答】解：
．
【变式训练3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
二次根式比较大小
【例16】比较大小： ．
【解答】解： ， ，
，
，
故答案为： ．
【变式训练1】比较大小： （填“ ”、“ ”或“ ”号）．
【解答】解： ，
，，
，
，
，
故答案为： ．
【变式训练2】比较大小： 1.41； 1（填“ ”或“ ”
【解答】解： ，
；
，
，
．
故答案为： ， ．
【变式训练3】比较大小： （选填“ ”、“ ”、“ ” ．
【解答】解：
，
，
，，
，
，
，
故答案为： ．
简单分母有理化
（1）定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
（2）方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
二次根式的化简技巧：
（1）当被开方数是整数时，应先将它分解因数；
（2）当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的
形式；
（3）当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．
【例17】将 分母有理化的结果为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
【变式训练1】把 分母有理化后得A． B． C． D．
【解答】解： ．故选： ．
【例18】计算 的结果是 ．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
【变式训练1】分母有理化： ．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【变式训练2】化简： ．
【解答】解：原式
．故答案为 ．
【变式训练3】分母有理化 ．
【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【例19】在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当
分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化，比如：
（1） ；
（2）
试试看，将下列各式进行化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解答】解：（1） ；
（2） ；（3）原式
．
【变式训练1】在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如 ， ， 这样的
式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
．
像这样，把代数式中分母化为有理数过程叫做分母有理化．
化简：
（1） ；
（2） 为正整数）；
（3）求 的值．
【解答】解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式．
二次根式的加减乘除混合运算
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
【例20】计算
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【变式训练1】计算下列各题：
（1） ；
（2） ；（3） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
1．9的平方根是
A．3 B． C． D．
【解答】解：9的平方根是：
．
故选： ．2． 的值是
A．5 B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
3．若 ，那么
A．1 B． C． D．
【解答】解： ，而 ， ，
， ，
解得 ， ，
．
故选： ．
4．下列说法正确的是
A．64的平方根是8 B． 的立方根是
C． 的立方根是 D．只有非负数才有立方根
【解答】解： 的平方根是 ，故原说法不正确，不符合题意；
的立方根是 ，故原说法不正确，不符合题意；
的立方根是 ，故原说法正确，符合题意；
：任何实数都有立方根，故原说法不正确，不符合题意．
故选： ．
5．如图，某计算器中 三个按键，以下是这三个按键的功能：
：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
：将荧幕显示的数变成它的倒数；：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是
A． B．10 C． D．
【解答】解：由题意知第1步结果为 ，
第2步结果为 ，
第3步结果为 ，
第4步结果为 ，
第5步结果为 ，
第6步计算结果为10，
运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环，
，
第2019步之后显示的结果为0.1，即 ．
故选： ．6．在3.1415， ， ，0， ， ， ， ， （相邻两个3
之间0的个数逐次加 ， 中，无理数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：0， 是整数，属于有理数；
， 是分数，属于有理数；
3.1415， 是有限小数，属于有理数；
无理数有 ， ， （相邻两个3之间0的个数逐次加 ， ，
共有4个．
故选： ．
7．下列说法正确的是
A．实数包括有理数、无理数和零
B．有理数包括正有理数和负有理数
C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数
【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故 错误，
有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故 错误，
无限不循环的小数是无理数，故 错误，
实数分为有理数和无理数，故 正确．
故选： ．
8．实数 的倒数是
A．3 B． C． D．
【解答】解：实数 的倒数是： ．
故选： ．9． 的平方根是 ．
【解答】解： ，2的平方根是 ，
的平方根是 ．
故答案为是 ．
10．化简： ．
【解答】解： ．
故答案为： ．
11．若 ，则 ．
【解答】解： ，
， ，
解得： ， ，
则 ．
故答案为：0．
12． 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
【解答】解： ，而4的算术平方根为 ，
即 的算术平方根为2，
，
9的平方根为 ，
故答案为：2， ．
13．（1）一个非负数的平方根是 和 ，这个非负数是多少？（2）已知 和 都是 的平方根，求 与 的值．
【解答】解：（1）根据题意，得 ．
解得 ．
这个非负数是 ．
（2）根据题意，分以下两种情况：
①当 与 是同一个平方根时，
，解得 ．
此时， ；
②当 与 是两个平方根时，
，解得 ．
此时， ．
综上所述，当 时， ；当 时， ．
14．已知 ， ．
（1）已知 的算术平方根为3，求 的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为 ， ，求这个正数．
【解答】解：（1） 的算术平方根为3，
，
即 ，
；
（2）根据题意得： ，
即： ，
，
，
这个正数为 ．
15．（1）已知 ， 满足 ，求 的算术平方根；（2）如果一个正数 的两个平方根分别是 和 ，求 的值．
【解答】解：（1）根据题意得： ， ，
， ，
，
的算术平方根为2；
（2）根据题意得： ，
解得： ，
，
这个正数 为 ，
，
即 的值是48．
