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专题 2.2 实数与二次根式
目录
实数的基本概念..............................................................................................................................1
实数的混合运算..............................................................................................................................2
求实数的整数或小数部分..............................................................................................................2
判断二次根式..................................................................................................................................4
二次根式有意义的条件..................................................................................................................5
二次根式的非负性..........................................................................................................................5
判断最简二次根式..........................................................................................................................5
二次根式化简..................................................................................................................................6
二次根式的乘除运算......................................................................................................................7
同类二次根式..................................................................................................................................8
同类二次根式求参数......................................................................................................................9
二次根式的加减运算......................................................................................................................9
二次根式比较大小........................................................................................................................11
简单分母有理化............................................................................................................................11
二次根式的加减乘除混合运算....................................................................................................13
实数的基本概念
概念有理数和无理数统称实数
正数
有理数
分类 或 0
无理数
负数
3.实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。
【例1】下列说法正确的是
A．0.08的立方根是0.2 B． 的平方根是C．0的倒数是0 D． 是1的绝对值
【变式训练1】下列说法正确的是
A．0没有平方根 B．1的立方根是
C． 的倒数是 D． 的相反数是
【变式训练2】下列结论正确的是
A． 的倒数是2
B．64的平方根是8
C．16的立方根为4
D．算术平方根是本身的数为0和1
【变式训练3】下列说法中，正确的是
A． 的算术平方根是4
B． 的立方根是
C．任意一个有理数都有两个平方根
D．绝对值是 的实数是
实数的混合运算
【例2】计算： ．
【变式训练1】计算： ．【变式训练2】计算： ．
【变式训练3】计算： ．
求实数的整数或小数部分
【例3】已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 的值是
A． B． C．2 D．1
【变式训练1】若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则
A． B． C． D．
【变式训练2】设 的整数部分是 ， 的整数部分是 ，
A． B．7 C．6 D．
【变式训练3】实数 的整数部分是
A．4 B．5 C．6 D．7【例4】阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，
因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而 ，于是可以用 来表示 的
小数部分．
请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
【变式训练1】已知 的立方根是2， 是 的整数部分， 是9的平方根，求 的
算术平方根．
【变式训练2】已知 的平方根为 ， 的立方根为2，
（1）求 的算术平方根；
（2）若 是 的整数部分，求 的平方根．【变式训练3】已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4， 是 的整数部
分，求 的平方根．
判断二次根式
形如 的式子叫做二次根式。其中 为整式或分式， 叫做被开方式。
即含有二次根号“ ”，被开方数 必须是非负数。
【例5】下列的式子中是二次根式的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列式子中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【变式训练3】下列各式是二次根式的是
A． B． C． D．二次根式有意义的条件
【例6】使式子 有意义的 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练1】若代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【变式训练2】如果二次根式 有意义，那么实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练3】已知二次根式 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二次根式的非负性
【例7】若 ， 为实数，且 ，则 的值为
A．7 B．1 C． D．
【变式训练1】已知 、 为实数，且 ，则 的值是
A．2022 B．2025 C．2027 D．2030
【变式训练2】若实数 ， 满足 ，则 的值是
A．1 B． C．4 D．6
【变式训练3】已知 ，则 的值为
A．8084 B．6063 C．4042 D．2021
判断最简二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫
做最简二次根式．【例8】下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列根式中，为最简二次根式的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列各式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【变式训练3】下列根式中属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
二次根式化简
【例9】把下列二次根式化简最简二次根式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【变式训练1】把下列二次根式化成最简二次根式
（1） （2） （3）【变式训练2】把下列各式化为最简二次根式．
（1） ；（2） ．
【变式训练3】把下列二次根式化为最简二次根式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ， ， 均大于 ．
二次根式的乘除运算
【例10】计算： 的结果是
A． B． C．1 D．
【变式训练1】下列计算错误的是
A． B． C． D．
【变式训练2】计算 的结果是
A． B．2 C．3 D．4【变式训练3】下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【例11】计算： ．
【变式训练1】计算： ．
【变式训练2】计算： ．
【变式训练3】计算： ．
同类二次根式
【例12】下列根式中，与 是同类二次根式的是A． B． C． D．
【变式训练1】下列二次根式中，不能与 合并的是
A． B． C． D．
【变式训练2】在二次根式 ， ， ， ， 中与 是同类二次根式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
同类二次根式求参数
【例13】若 和 可以合并，则 可能是
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式训练1】若最简二次根式 和 能合并，则 的值为
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【变式训练2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则
A．2021 B．2023 C．2 D．1
【变式训练3】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为
A．2 B．4 C． D．1
二次根式的加减运算
二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开
方数相同的二次根式进行合并．被开方数相同的最简二次根式，称为“同类二次根
式”
【例14】计算 的值为
A． B．0 C． D．
【变式训练1】计算 的结果是A． B． C． D．
【变式训练2】计算： ，则
A． B． C．2 D．5
【变式训练3】计算 的值是
A． B． C．9 D．
【例15】计算：
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】计算： ．
【变式训练2】计算： ．
【变式训练3】计算：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
二次根式比较大小
【例16】比较大小： ．
【变式训练1】比较大小： （填“ ”、“ ”或“ ”号）．
【变式训练2】比较大小： 1.41； 1（填“ ”或“ ”
【变式训练3】比较大小： （选填“ ”、“ ”、“ ” ．
简单分母有理化
（1）定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
（2）方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
二次根式的化简技巧：
（1）当被开方数是整数时，应先将它分解因数；
（2）当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的
形式；
（3）当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．
【例17】将 分母有理化的结果为
A． B． C． D．【变式训练1】把 分母有理化后得
A． B． C． D．
【例18】计算 的结果是 ．
【变式训练1】分母有理化： ．
【变式训练2】化简： ．
【变式训练3】分母有理化 ．
【例19】在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当
分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化，比如：
（1） ；
（2）
试试看，将下列各式进行化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式训练1】在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如 ， ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
．
像这样，把代数式中分母化为有理数过程叫做分母有理化．
化简：
（1） ；
（2） 为正整数）；
（3）求 的值．二次根式的加减乘除混合运算
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
【例20】计算
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ．1．9的平方根是
A．3 B． C． D．
2． 的值是
A．5 B． C． D．
3．若 ，那么
A．1 B． C． D．
4．下列说法正确的是
A．64的平方根是8 B． 的立方根是
C． 的立方根是 D．只有非负数才有立方根
5．如图，某计算器中 三个按键，以下是这三个按键的功能：
：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
：将荧幕显示的数变成它的倒数；
：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是A． B．10 C． D．
6．在3.1415， ， ，0， ， ， ， ， （相邻两个3之
间0的个数逐次加 ， 中，无理数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．下列说法正确的是
A．实数包括有理数、无理数和零
B．有理数包括正有理数和负有理数
C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D．无论是有理数还是无理数都是实数
8．实数 的倒数是
A．3 B． C． D．
9． 的平方根是 ．
10．化简： ．
11．若 ，则 ．
12． 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
13．（1）一个非负数的平方根是 和 ，这个非负数是多少？
（2）已知 和 都是 的平方根，求 与 的值．14．已知 ， ．
（1）已知 的算术平方根为3，求 的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为 ， ，求这个正数．
15．（1）已知 ， 满足 ，求 的算术平方根；
（2）如果一个正数 的两个平方根分别是 和 ，求 的值．
