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专题2.2 分式方程与不等式组的运用
1．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以
“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，
用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每
盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价
是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均
打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两
种茶叶各多少盒？
【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种
茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，根据总利润＝每盒的利润×销售数
量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
8400 4000
依题意，得： − =10，
1.4x x
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280．
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，
m m 100−m
依题意，得：（300﹣200）× +（300×0.7﹣200）× +（400﹣280）× +（400×0.7﹣280）
2 2 2
100−m
× =5800，
2
解得：m＝40，
∴100﹣m＝60．
答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．2．（2020•苏州）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为 a
（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
{50−2b≥18
∴ ，
50−2b≤26
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
3．（2020·黑龙江月考）某服装店到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25
元，已知用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品
牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
【答案】
（1）设B品牌服装每套进价为x元种，则A品牌服装每套进价为(x+25)元
根据题意得： ，
解得：x=75
经检验：x=75 是原方程的解，x+25=100，
答：A、B两种品牌服装的进价分别为100元和75元；（2）设购买A种品牌服装a件，则购买B种品牌服装(2a+4)件，
根据题意得： (130-100) a+(95-75) (2a+4) 1200，
解得： ，
∴a取最小值是16，
答：最少购进A品牌的服装16套．
4．（2021·长春净月高新技术产业开发区华岳学校期中）如图，学校要规划改造一块总面积为360平方米的矩形绿化区域
ABCD．方案设计时发现，不改变绿化区域总面积，将矩形一边AB的长扩大为原来的2倍时，另一边AC与原来相比较则会
减少4米．求原来矩形的边AB的长．
【答案】
设原来矩形的边AB的长为x 米，
由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
答：原来矩形的边AB的长为45米．
5．（2020·西工大附中分校期中）“抗击疫情，八方支援”截至2020年2月19日，全国已有278支医疗队、32395名医务人员
从各地驰援湖北，小明和爸爸经过商量打算用自己的压岁钱购买A、B两种品牌消毒酒精捐赠当地医院，已知A品牌消毒酒
精每桶的价格比B品牌消毒酒精每桶的价格多20元，用3000元购进A品牌消毒酒精和用1800元购进B品牌消毒酒精数量
相同．
（1）A品牌消毒酒精每桶的价格和B品牌消毒酒精每桶的价格各是多少元？
（2）小明计划用不超过1560元的压岁钱购进A，B两种品牌消毒酒精共40桶，其中A品牌消毒酒精的数量不低于B品牌消
毒酒精数量的一半，小明有几种购买方案？
【答案】
解：（1）设B品牌消毒酒精每桶的价格为x元，A品牌消毒酒精每桶的价格为（x＋20）元，根据题意得，
，
解得，x＝30，经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＋20＝30＋20＝50，
答：A品牌消毒酒精每桶的价格是50元，B品牌消毒酒精每桶的价格是30元；
（2）设购买A品牌消毒酒精m桶，则购买B品牌消毒酒精（40﹣m）桶，根据题意得，
，
解得， ，
∵m为正整数，
∴m＝14或m＝15或m＝16或m＝17或m＝18，
∴共有5种购买方案．
6．（2020·黑龙江佳木斯·期末）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．
已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品
的件数相同．
（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？
（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
【答案】
（1）设A种学习用品的单价是x元，根据题意，得
，解得x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．所以x+10＝30．
答：A、B两种学习用品的单价分别是20元和30元．
（2）设购买B型学习用品m件，根据题意，得
30m+20(1000－m)≤28000，解得m≤800．所以，最多购买B型学习用品800件．
7．（2020·山西二模）某校大学生志愿者协会响应国家“青春助力脱贫”号召，组织协会成员通过朋友圈等方式帮助某贫困
户销售特产酥梨．销售的酥梨共分甲、乙两种，甲种酥梨每箱的售价比乙种的售价多 元．经过第一个月的销售，协会帮
该贫困户销售的甲、乙两种酥梨的箱数相等，且甲、乙两种酥梨的销售额分别为 元和 元．（1）求甲、乙两种酥梨每箱的售价；
（2）第二个月，协会制定了与第一个月箱数相等的销售任务，在销售过程中发现乙种酥梨的销售速度较慢，为了保证销售
进度，他们决定销售一定箱数后，将剩余的乙种酥梨按原售价的九折销售，而甲种酥梨的售价保持不变．已知甲、乙两种酥
梨每箱的成本分别为 元和 元．则在协会完成第二个月销售任务的前提下，乙种酥梨至少按原售价销售多少箱，才能
使该贫困户第二个月获利不少于 元？
【答案】
（1）设甲种酥梨每箱的售价为x元，则乙种酥梨每箱的售价为(x-28)元，
由题意得： ，
解得x=88，
经检验，x=88是所列分式方程的解，
则x-28=60，
答：甲种酥梨每箱的售价为88元，乙种酥梨每箱的售价为60元；
（2）协会恰好完成销售任务时，甲、乙两种酥梨的销售量均为 (箱)，
设乙种酥梨按原售价销售a箱，
由题意得： ，
解得 ，
答：乙种酥梨至少按原售价销售40箱，才能使该贫困户第二个月获利不少于2940元．
8．（2019·山西初二期末）山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来
体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共
用了 元，“木马”艺术品共用了 元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵 元，且购进“木象”“木马”的数
量相同.(1)求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；
(2)该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为 元，“木马”的销售单价为 元，销售过程中发现“木
象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不
变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于 元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？
【答案】
解:(1)设“木象”艺术品每件进价为x元，则“木马”艺术品每件进价为(x+8)元.
根据题意，得， ，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，x+8=48，
答:“木象”艺术品每件进价为40元，“木马”艺术品每件进价为48元．
(2)“木象”“木马”的销售量各为 件，
设“木象”艺术品按原销售单价销售a件，
则
解得 ，
答:“木象”艺术品按原销售单价应至少销售20件．
