专题2.2平行线与拐点问题（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_06专项讲练

专题 2.2 平行线与拐点问题 1．如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线， 、 交于 点 ． （1）若 ， ，求 、 的度数； （2）若 ，求出 的度数； （3）探究 、 与 之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果） 【解答】解：（1）作 ，如图， ， ， ， ， ， 是 的平分线， ， ； 同理可得 ； （2） ， ， ， ， ， ，； （3）与（1）的证明方法一样可得 ， 而 ， ， ， ， ， ， ． 2．如图， ，定点 ， 分别在直线 ， 上，在平行线 ， 之间有一 个动点 ，满足 ． （1）试问： ， ， 满足怎样的数量关系？ 解：由于点 是平行线 ， 之间一动点，因此需对点 的位置进行分类讨论． ①如图1，当点 在 的左侧时，猜想 ， ， 满足的数量关系，并说 明理由； ②如图2，当点 在 的右侧时，直接写出 ， ， 满足的数量关系为 ． （2）如图3， ， 分别平分 ， ，且点 在 左侧． ①若 ，则 的度数为 ； ②猜想 与 的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①如图1，当点 在 的左侧时，过点 作 ，则 ， ， ， ， 当点 在 的右侧时，过点 作 ，则 ， ， ， ， 即， ； 故答案为： ； （2）① ，则 ， 由（1）知 ，， 分别平分 和 ， ， ， 故 ， 故答案为 ； ② ． 理由：如图3， ， 分别平分 和 ， 设： ， ， 则 ， ， 即： ． 3．如图， ，定点 ， 分别在直线 ， 上，平行线 ， 之间有一动 点 ． （1）如图 1，当 点在 的左侧时， ， ， 满足数量关系为 ，如图2，当 点在 的右侧时， ， ， 满 足数量关系为 ． （2）如图3，当 ， 平分 时，求证： 平分 ； （3）如图4， ， 分别平分 和 ，且点 在 左侧． ①若 ，则 ；②猜想 与 的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过点 作 ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当 点在 的右侧时，过点 作 ， ， ， ， ， ， ， ；故答案为： ， ； （2） ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， 平分 ； （3）① ， ， ， 分别平分 和 ， ， ， ； 故答案为： ； ② ， 分别平分 和 ， ， ， 则 ， ， ． 4．已知 ，线段 分别与 、 相交于点 、 ．（1）如图①，当 ， 时，求 的度数； （2）如图②，当点 在线段 上运动时（不包括 、 两点）， 、 与 之 间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点 在直线 上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理 由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 【解答】（1）解：过 作 ， ， ， ，当点 在线段 上运动时， ， ， ， ； （2） ， 证明：过 作 ，， ， ， ， ； （3）解：①当 在线段 的延长线上运动时，不成立，关系式是： ， 理由是：过 作 ， ， ， ， ， ， 即 ； ②当点 在线段 的延长线上运动时，新的相等关系为 ． 理由：设 与 相交于 ，则 ．， ， ． ③当点 在线段 上运动时，成立，关系式为 ， 证明：过 作 ， ， ， ， ， ； 综上所述，当点 在直线 上运动时，（2）中的结论不一定成立． 5 ． 如 图 ① ， ， 点 在 直 线 与 之 间 ， 连 接 、 ， 则 有 ． 【感知】证明：如图①，过点 作 ，则有 ． 【探究】当点 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明 ． 【应用】如图③，在图②的条件下，延长线段 交直线 于点 ，已知 ， ，则 的度数为 ．（请直接写出答案） 【解答】【感知】证明：如图①，过点 作 ， ， ， ， ， ， ， （等量代换）， 【探究】证明：过点 作 ，如图②所示： ， ， ， ， ； 【应用】解：同【探究】得： ， ， ， 故答案为： ． 6．已知： ，截线 分别交 、 于点 、 ．（ 1 ） 如 图 ① ， 点 在 线 段 上 ， 设 ， ， 且 满 足 ，求 的度数； （2）如图②，在（1）的条件下，射线 平分 ，且交线段 的延长线于点 ； 请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点 在射线 上运动时， 与 的平分线交于点 ，则 与 的 比 值 为 （ 直 接 写 出 答 案 ） ． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， ； （2） ． 理由如下：过点 作直线 ，平分 ， 设 ； ， ， ； ， 即 ； （3）如图3，设 与 交于点 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 与 的比值为 ， 故答案为： ． 7．已知， ，点 为射线 上一点． （1）如图1，若 ， ，则 ． （2）如图2，当点 在 延长线上时，此时 与 交于点 ，则 、 、 之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图 3，当点 在 延长线上时， 平分 ，且 ， ， ，求 的度数． 【解答】解：（1）过 作 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； （2） ． 理由如下：过 作 ， ， ， ， ， ， ， ； （3） ， 设 ，则 ， ， ， 又 ， ， ， 平分 ， ， ， ， 即 ，解得 ， ， ． 8．如图 1，直线 ，直线 、 及直线 把平面分成（1）、 （2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点 是其中的一个动点， 连接 、 ，观察 、 、 三个角．规定：直线 、 、 上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分． 当动点 落在第（1）部分时，可得： ，请阅读下面的 解答过程，并在相应的括号内填注理由 解：过点 作 ，如图2 因为 （已知）， （所作）， 所以 （平行线的传递性） ． 所以 ． 同理 ． 因此 ， 即 ． （1）当动点 落在第（2）部分时， 、 、 之间的关系是怎 样的？请直接写出 、 、 之间满足的关系式，不必说明理 由． （2）当动点 在第（3）部分时， 、 、 之间的关系是怎样 的？请直接写出相应的结论． （3）当动点 在第（4）部分时， 、 、 之间的关系是怎样 的？请直接写出相应的结论．【解答】解：过点 作 ，如图2 因为 （已知）， （所作）， 所以 （平行线的传递性）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 同理 ． 因此 （等式性质）， 即 ． （1）过点 作 ，如图3， 因为 （已知）， （所作）， 所以 （平行线的传递性）． 所以 （两直线平行，同旁内角互补）．同理 （两直线平行，同旁内角互补）． 因此 （等式的基本性质）， 即 ． （2）过点 作 ，如图4， ； （3）过点 作 ，如图5， ． 故答案为：平行线的传递性，两直线平行，内错角相等，等量代换）． 9．如图，直线 ，点 是 、 之间（不在直线 ， 上）的一个动点． （1）若 与 都是锐角，如图甲，写出 与 ， 之间的数量关系并说明原因； （2）若把一块三角尺 按如图乙方式放置，点 ， ， 是三角尺的 边与平行线的交点，若 ，求 的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点 始终在两条平行线之间，点在线段 上，连接 ，且有 ，求 与 之间的数量关系． 【解答】解：（1） ． 理由：如图，过 作 ， ， ， ， ， ； （2） ， ， 由（1）可得， ， ， ； （3）设 ，则 ， 由（1）可得， ， ， ， ． 即 ． 10．如图1，已知 ，点 和点 分别在直线 和 上，点 在直线 和 之间，连接 和 ．（1）求 的度数； （2）如图 2，若 ， 平分 交 的延长线于点 ， ，求 的度数． 【解答】解：（1）过点作 ，如图， ． ， ， ， ． 又 ， ． （2）过点 作 ，如图2所示， ， ．， ， ， ． 由题知： ， ． 平分 ， ． 由（1）知 ， 又 ， ， ． ， ． 11．已知：如图， ． （1）如图1，求证： ； （2）如图 2，若 平分 ， 平分 ，设 ，求 的度数； （用含 的式子表示） （3）如图 3，在（2）的条件下，过 作 交 于点 ， 平分 ， ， 延长线交 于点 ，求 的度数． 【解答】解：（1）过点 作 ，如图， ， ． ， ， ．． ． 即： ． （2）过点 作 ，过点 作 ，如图， ， ． 平分 ， ． ． ， ， ． ． 平分 ， ， ． ． 由（1）知： ． ． （3）如图， ， 设 ，则 ， 平分 ， ． ，． ． 设 ， ． 平分 ， ． ， ． ， ， 平分 ， ， ． ． ， ． ． ． 12．如图，直线 直线 ，一块三角板的顶点 在直线 上，边 、 分别交 直线 于 、 两点． ， ， ． （1）如图1， ，则： ① 5 0 ； ②若 与 的角平分线交于点 ，则 ． （2）如图2，点 在 的平分线上，连接 ，且 ，若 ， 求 的度数； （3）如图3，若 ， ，则 （用含 的式子 表示）．【解答】解：（1）①如图，过点 作 ，则 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； ②记 与直线 的交点为 ， ， ， ， ， ， 与 的角平分线交于点 ， ， ， ， ， 是 的外角， ， 故答案为： ； （2）设 ，则 ， ， ， 点 在 的平分线上，连接 ，且 ， ， ， ，， ， ， ； （3）设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 13．已知直线 ，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上 的一个动点，试探究 与 ， 之间的数量关系． （1）如图①，当点 在线段 上运动（点 不与 ， 重合）时，若 ， ，则 4 0 ；猜想：此时数量关系是： ，请说明理由； （2）如图②，当点 在点 的上方运动 ， ， 三点不在同一直线上）时，猜想：此 时数量关系是： ，请说明理由； （3）如图③，当点 在点 的下方运动 ， ， 三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是： ． 【解答】解：（1） ， 猜想： ，理由如下： 过点 作 ，如图①， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：40， ； （2）猜想： ，理由如下： 过点 作 ，如图②， ， ， ， ， ， ； 故答案为： ；（3）猜想： ，理由如下： 过点 作 ，如图③， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 14．爱国同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，聪明的你，帮他解决一 下． （1）如图1，已知 ，则 成立吗？请你帮他说明理由； （2）如图2，已知 ， 平分 ， 平分 ． 、 所在直线 交于点 ，若 ， ，请你帮他求 的度数； （3）将图 2 中的点 移到点 的右侧，得到图 3，其他条件不变，若 ， ，请你帮他求出 的度数（用含 ， 的式子表示）． 【解答】解：（1）成立， 理由：如图1中，作 ，则有 ， ， ， ． （2）如图2，过点 作 ，， ， ， 平分 ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图3，过点 作 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯 射线从 开始顺时针旋转至 便立即回转， 灯 射线从 开始顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的 速度是每秒2度，灯 转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即 ，且 ． （1）填空： ； （2）如图2， ①若灯 射线先转动 ，灯 射线才开始转动，在灯 射线到达 之前，设灯 转动 秒 ，则 ， ；（用含 的式子表示） ②在①的条件下，若 ，则 秒． （3）如图3，若两灯同时转动，在灯 射线到达 之前．若射出的光束交于点 ，过 作 交 于点 ，且 ，则在转动过程中，请探究 与 的数 量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 故答案为： ； （2）①设灯 转动 秒 ， 则 ， ， 故答案为： ， ；②若 ， 则 ， 又 ， ， ， ， ， ； （3）不发生变化， ，理由如下： 设灯 射线转动时间为 秒， ， ， 又 ， ，而 ， ， ， 即 ．