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专题 26 立体几何大题训练（理科）
题型一、三棱锥的相关证明及角度问题
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体 中， ，
E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））如图，在三棱锥 中，
， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．5．如图，在三棱锥 中， ， ，记二面角 的平面角
为 ．
(1)若 ， ，求三棱锥 的体积；
(2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围．
6．（2023届贵州省联合考试（五）理科数学试题）如图，在三棱锥 中，
，O为AC的中点．
(1)证明： ⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角 为 ，求 的值．题型二、直三棱柱的相关证明及角度问题
1．（2022年全国新高考I卷数学试题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?3．（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
4．（2020年天津市高考数学试题）如图，在三棱柱 中， 平面
， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱
的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．5．如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，
请说明理由.
6．如图，在三棱柱 中， ， ，且 ， 底面 ， 为
中点,点 为 上一点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）设 ，若 ，写出 的值（不需写过程）.7．如图，在直三棱柱 中，侧棱 ， ，且M，N分别为BB，AC的中点，连
1
接MN．
(1)证明： 平面 ；
(2)若BA=BC=2，求二面角 的平面角的大小．题型三、斜三棱柱的相关证明及角度问题
1．（2019年浙江省高考数学试题）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ,
， 分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
2．（2023届广东省二模数学试题）在三棱柱 中， ， ， .
(1)证明: ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.3．在三棱柱中 中， 为 中点，平面 平
面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.题型四、三、四棱台的相关证明及角度问题
1．（2023届浙江省（二模）数学试题）如图，在三棱台 中，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若四面体 的体积为2，求二面角 的余弦值.
2．（2023届湖北省调研数学试题）如图，四棱台 的下底面和上底面分别是边 和 的正
方形，侧棱 上点 满足 .
(1)证明：直线 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.3．如图，在四棱台 中， ， ，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的
中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若四边形ABCD为正方形， 平面ABCD， ，求二面角 的余弦值．
4．如图，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面 为等腰梯形，且
， 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值
范围．5．（2023年浙江省联考数学试题）如图，在四棱台 中，底面 是边长为2的菱形，
，平面 平面 ，点 分别为 的中点， 均为锐
角.
(1)求证： ；
(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角 的平面
角的余弦值.
6．（2023年浙江省教学质量检测数学试题）如图，在三棱台 中，三棱锥 的体积为
， 的面积为 ， ，且 平面 ．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 ，且平面 平面 ， 求二面角 的余弦值．题型五、四棱锥的相关证明及角度问题
1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面
ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．5．（2021年浙江省高考数学试题）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
6．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题文档版（海南卷））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD
底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为 ．
（1）证明： 平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为 上的点，QB= ，求PB与平面QCD所成角的正弦值．7．（2023届黑龙江省模拟考试数学试题）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，
PAD为等边三角形，平面 平面ABCD， ．
△
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为 ，求平面ADE与平面ABCD夹
角的余弦值．
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））如图，四棱锥P-ABCD中，侧面
PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面 ， 是 的中
点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．9．（2023届广东省调研数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中， ，且 ，底面ABCD是
边长为2的菱形， ．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．题型六、底面是平行四边形的四棱柱的相关证明及角度问题
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱
1 1 1 1
形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
13．（2021年天津高考数学试题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为
棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
4．（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面
交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．5．（2020年北京市高考数学试题）如图，在正方体 中， E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．题型七、摆放不正的几何体相关证明及角度问题
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
2．（2022年高考天津卷数学真题）直三棱柱 中， ，D
为 的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．3．（2023届广东省教学质量检测数学试题）如图，三棱柱 中，侧面 为矩形，
且 为 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．题型八、圆柱、圆锥、圆台的相关证明及角度问题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆
心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
2．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）如图，四边形ABCD是圆柱底面
的内接四边形， 是圆柱的底面直径， 是圆柱的母线，E是AC与BD的交点， ，
．
(1)记圆柱的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 ；
(2)设点F在线段AP上， ，求二面角 的余弦值．3．（2022届广东省一模数学试题）如图， 为圆柱 的轴截面， 是圆柱上异于 ， 的母
线.
(1)证明： 平面DEF；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值.
4．（2023届江苏省二模数学试题）如图，在圆台 中， 分别为上、下底面直径，且 ，
， 为异于 的一条母线．
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．5．如图，四边形 是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧 ， 上的一点， ，点H为
线段 的中点，且 ， ，点G为线段 上一动点.
(1)试确定点G的位置，使 平面 ，并给予证明；
(2)求三棱锥 的体积.
5．如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．
(1)求证：OA⊥PB；
(2)若C底面圆上一点，且 ， ， ， ，求直线PC与平面PAB所成角的正弦
值．6．如图， 为圆柱 的轴截面， 是圆柱上异于 的母线．
(1)证明： ；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值；
7．（2023届湖北省模拟（二）数学试题）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 内接于
， 为 的一条弦，且 平面 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.8．已知圆台侧面的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，一个底面的半径是另一个底面半径的 倍．
（1）求圆台两底面的半径；
（2）如图，点 为下底面圆周上的点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值．题型九、翻折图形形成几何体的相关证明及角度问题
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））如图，四边形 为正方形，
分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））图1是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC
组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连
△
结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.3．如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ．
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)若棱 的中点为 ，求 的长；
(3)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值．
4．（2023届重庆市适应性月考（一）数学试题）如图甲，在矩形 中， 为线段
的中点， 沿直线 折起，使得 ，如图乙.
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的角为 ？若不存在，说明理由；若存在，
求出 点的位置.5．已知 ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且 ，
△
，沿MN将 AMN折起到 的位置，使 ．
△
(1)求证： 平面MBCN；
(2)在线段BC上是否存在点D，使平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，设
，求 的值；若不存在，说明理由．
6．（2023届湖北省调研数学试题）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．
将 沿EF翻折至 ，得到四棱锥 ，P为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面EFCB，求直线 与平面BFP所成的角的正弦值．7．如图1，在△ABC中， ，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是
等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
(1)证明： 平面ABC．
(2)若 ，二面角D-AC-E为 ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
8．如图1，在等边 中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足 ，记 .将△ADE沿
DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求
出二面角 的正弦值大小．题型十、其它几何体的相关证明及角度问题
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
2．（2022年浙江省高考数学试题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂
直， 是 上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
4．（2023届广东省一模数学试题）如图多面体 中，四边形 是菱形， ，
平面 ， ，
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在棱 上有一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ，求点 到平面 的距离.5．如图，在四棱锥E-ABCD中， ， ，E在以AB为直径的半圆上（不包括端
点），平面 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
6．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 ，母线 ，M是PB的中
点，四边形OBCH为正方形.
(1)设平面 平面 ，证明： ；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.7．（2019年天津市高考数学试卷（理科））如图， 平面 ， ，
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
8．（2023届广东省模拟数学试题）如图所示的在多面体中， ，平面 平面 ，
平面 平面 ，点 分别是 中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值.9．（2023届湖南省新高考适应性考试数学试题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其
中 平面EDC），四边形ABCD是正方形， 平面ABCD， ，且平面 平面 ．
(1)设 为棱 的中点，证明： 四点共面；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
10．（山东2022届高考考前热身押题数学试题）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））如图，已知多面体
均垂直于平面 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
12．（2023届辽宁省联合考试数学试题）如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面 与 所截
后剩余部分，且满足 ， ， ．
(1)当 多长时， ，证明你的结论；
(2)当 时，求平面 与平面 所成角的余弦值．13．（2023年辽宁省联合考试数学试题）如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点
为 ，且 平面 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求三棱柱 的高.
