文档内容
专题 2.2 平行线与拐点问题
1．如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线， 、 交于
点 ．
（1）若 ， ，求 、 的度数；
（2）若 ，求出 的度数；
（3）探究 、 与 之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）2．如图， ，定点 ， 分别在直线 ， 上，在平行线 ， 之间有一
个动点 ，满足 ．
（1）试问： ， ， 满足怎样的数量关系？
解：由于点 是平行线 ， 之间一动点，因此需对点 的位置进行分类讨论．
①如图1，当点 在 的左侧时，猜想 ， ， 满足的数量关系，并说
明理由；
②如图2，当点 在 的右侧时，直接写出 ， ， 满足的数量关系为
．
（2）如图3， ， 分别平分 ， ，且点 在 左侧．
①若 ，则 的度数为 ；
②猜想 与 的数量关系，并说明理由．3．如图， ，定点 ， 分别在直线 ， 上，平行线 ， 之间有一动
点 ．
（1）如图1，当 点在 的左侧时， ， ， 满足数量关系为 ，如
图2，当 点在 的右侧时， ， ， 满足数量关系为 ．
（2）如图3，当 ， 平分 时，求证： 平分 ；
（3）如图4， ， 分别平分 和 ，且点 在 左侧．
①若 ，则 ；
②猜想 与 的数量关系，并说明理由．4．已知 ，线段 分别与 、 相交于点 、 ．
（1）如图①，当 ， 时，求 的度数；
（2）如图②，当点 在线段 上运动时（不包括 、 两点）， 、 与 之
间有怎样的数量？试证明你的结论；
（3）如图③，当点 在直线 上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理
由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．5 ． 如 图 ① ， ， 点 在 直 线 与 之 间 ， 连 接 、 ， 则 有
．
【感知】证明：如图①，过点 作 ，则有 ．
【探究】当点 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明 ．
【应用】如图③，在图②的条件下，延长线段 交直线 于点 ，已知 ，
，则 的度数为 ．（请直接写出答案）6．已知： ，截线 分别交 、 于点 、 ．
（ 1 ） 如 图 ① ， 点 在 线 段 上 ， 设 ， ， 且 满 足
，求 的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线 平分 ，且交线段 的延长线于点 ；
请写出 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点 在射线 上运动时， 与 的平分线交于点 ，则
与 的 比 值 为 （ 直 接 写 出 答 案 ） ．7．已知， ，点 为射线 上一点．
（1）如图1，若 ， ，则 ．
（2）如图2，当点 在 延长线上时，此时 与 交于点 ，则 、 、
之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图 3，当点 在 延长线上时， 平分 ，且 ，
， ，求 的度数．8．如图 1，直线 ，直线 、 及直线 把平面分成（1）、（2）、
（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点 是其中的一个动点，连接 、 ，观
察 、 、 三个角．规定：直线 、 、 上的各点不属于
（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分．
当动点 落在第（1）部分时，可得： ，请阅读下面的解答过程，
并在相应的括号内填注理由
解：过点 作 ，如图2
因为 （已知）， （所作），
所以 ．
所以 ．
同理 ．
因此 ，
即 ．
（1）当动点 落在第（2）部分时， 、 、 之间的关系是怎样的？请
直接写出 、 、 之间满足的关系式，不必说明理由．
（2）当动点 在第（3）部分时， 、 、 之间的关系是怎样的？请直
接写出相应的结论．
（3）当动点 在第（4）部分时， 、 、 之间的关系是怎样的？请直
接写出相应的结论．9．如图，直线 ，点 是 、 之间（不在直线 ， 上）的一个动点．
（1）若 与 都是锐角，如图甲，写出 与 ， 之间的数量关系并说明原因；
（2）若把一块三角尺 按如图乙方式放置，点 ， ， 是三角尺的
边与平行线的交点，若 ，求 的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点 始终在两条平行线之间，点
在线段 上，连接 ，且有 ，求 与 之间的数量关系．10．如图1，已知 ，点 和点 分别在直线 和 上，点 在直线 和
之间，连接 和 ．
（1）求 的度数；
（2）如图 2，若 ， 平分 交 的延长线于点 ，
，求 的度数．11．已知：如图， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图 2，若 平分 ， 平分 ，设 ，求 的度数；
（用含 的式子表示）
（3）如图 3，在（2）的条件下，过 作 交 于点 ， 平分 ，
，
延长线交 于点 ，求 的度数．12．如图，直线 直线 ，一块三角板的顶点 在直线 上，边 、 分别交
直线 于 、 两点． ， ， ．
（1）如图1， ，则：
① ；
②若 与 的角平分线交于点 ，则 ．
（2）如图2，点 在 的平分线上，连接 ，且 ，若 ，
求 的度数；
（3）如图3，若 ， ，则 （用含 的式子
表示）．13．已知直线 ，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上
的一个动点，试探究 与 ， 之间的数量关系．
（1）如图①，当点 在线段 上运动（点 不与 ， 重合）时，若 ，
，则 ；猜想：此时数量关系是： ，请说明理由；
（2）如图②，当点 在点 的上方运动 ， ， 三点不在同一直线上）时，猜想：此
时数量关系是： ，请说明理由；
（3）如图③，当点 在点 的下方运动 ， ， 三点不在同一直线上）时，猜想：此
时数量关系是： ．14．爱国同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，聪明的你，帮他解决一
下．
（1）如图1，已知 ，则 成立吗？请你帮他说明理由；
（2）如图2，已知 ， 平分 ， 平分 ． 、 所在直线
交于点 ，若 ， ，请你帮他求 的度数；
（3）将图 2 中的点 移到点 的右侧，得到图 3，其他条件不变，若 ，
，请你帮他求出 的度数（用含 ， 的式子表示）．15．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置
了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯 射线从 开始顺时针旋转至 便立即回转，
灯 射线从 开始顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的
速度是每秒2度，灯 转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即 ，且
．
（1）填空： ；
（2）如图2，
①若灯 射线先转动 ，灯 射线才开始转动，在灯 射线到达 之前，设灯 转动
秒 ，则 ， ；（用含 的式子表示）
②在①的条件下，若 ，则 秒．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯 射线到达 之前．若射出的光束交于点 ，过
作 交 于点 ，且 ，则在转动过程中，请探究 与 的数
量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
