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专题 4.1 相似三角形的性质与判定
目录
比例的性质.........................................................................................................................................1
成比例线段.........................................................................................................................................1
平行线分线段成比例.........................................................................................................................3
平行线分线段成比例（推论）.........................................................................................................5
平行线分线段成比例（辅助线）....................................................................................................6
相似多边形的相关内容.....................................................................................................................7
相似多边形的计算.............................................................................................................................8
相似三角形的判定.............................................................................................................................9
相似三角形判定（动点问题）.......................................................................................................10
相似三角形综合运用.......................................................................................................................11
相似比与面积和周长的关系...........................................................................................................12
图形的位似.......................................................................................................................................13
图形的位似（坐标轴）...................................................................................................................14
比例的性质
a,b,c,d a和b c和d a,b,c,d
在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段
叫做成比例线段，简称比例线段．
【例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是
A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12
【变式训练1】甲、乙两地相距60千米，在比例尺 的地图上，图上距离应是
厘米．
A．6000000 B．600 C．60 D．6
【变式训练2】下列各组中的四条线段成比例的是A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【变式训练3】已知 、 、 、 是成比例线段，其中 ， ， ，则线段
的长为
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
成比例线段
b d
=
a c
a c d c a b
= ⇔ad=bc⇒ = 或 =
b d b a c d
（比例基本定理） a±b c±d
=
b d
合比性质：
a c m a+c+⋯+m a
= =⋯= (b+d+⋯+n≠0)⇒等比性质: =
b d n b+d+⋯+n b
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
【例2】若 ，则下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
【变式训练1】如果 ，那么 的值是
A． B． C． D．
【变式训练2】若 ，则 的值是
A． B． C． D．
【变式训练3】已知 ，则 的值为
A． B．1 C． D．【例3】已知线段 、 、 满足 ，且 ．
（1）求 、 、 的值；
（2）若线段 是线段 、 的比例中项，求 的值．【变式训练1】已知 、 、 是 的三边长，且 ，求：
（1） 的值．
（2）若 的周长为90，求各边的长．
平行线分线段成比例
比例式法 长短法 位置法
短∶长＝ 上∶下＝
＝
短∶长 上∶下
短∶最长＝ 上∶全＝
＝
短∶最长 上∶全
长∶最长＝ 下∶全＝
＝
长∶最长 下∶全
【例4】如图， ，直线 、 与这三条平行线分别交于点 、 、 和点 、
、 ．已知 ， ， ，则 的长为
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式训练1】如图， ，两条直线与这三条平行线分别交于点 、 、 和 、、 ．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图， 已知直线 ，直线 ， 与 ， ， 分别交于点 ， ，
， ， ， ，若 ， ， ，则 的值是
A ． 4 B ． 4.5 C ． 5 D ． 5.5
【变式训练3】如图，直线 ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点 ， ， 和
点 ， ， ．若 ， ，则 的长为 ．平行线分线段成比例（推论）
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得 等.
特别在三角形中：
AD AE BD EC AD AE
= 或 = 或 =
DB EC AD EA AB AC
由DE∥BC可得：
A
D E
B C
【例5】如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】如图所示， 中若 ， ，则下列比例式正确的是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，已知在 中，点 、 、 分别是边 、 、 上的点，， ，且 ，那么 等于
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且
， ．若 ，则 的值为
A． B． C． D．
平行线分线段成比例（辅助线）
【例6】如图， ， ，则 的值是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 中， 是 边的中点，点 在 边上，且 ，
与 交于点 ，则 的值为A． B． C． D．
【变式训练2】如图， 是 的中线，点 在 上，延长 交 于点 ，若
，则
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在 中， 在 边上， ， 是 的中点，连接
并延长交 于 ，则 ．
相似多边形的相关内容
【例7】下列四组图形中，不是相似图形的是
A． B．
C． D．
【变式训练1】用一个4倍放大镜照 ，下列说法错误的是A． 放大后， 是原来的4倍
B． 放大后，边 是原来的4倍
C． 放大后，周长是原来的4倍
D． 放大后，面积是原来的16倍
【变式训练2】下列图形中一定是相似形的是
A．两个等边三角形 B．两个菱形
C．两个矩形 D．两个直角三角形
【变式训练3】如图，有三个矩形，其中是相似图形的是
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
相似多边形的计算
【例8】已知矩形 中， ，在 上取一点 ，将 沿 向上折叠，使
点落在 上的 点．若四边形 与矩形 相似，则 ．
【变式训练1】两个相似多边形的周长比是 ，其中小多边形的面积为 ，则较大多
边形的面积为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，一块矩形 绸布的长 ，宽 ，按照图中的方式将它
裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形 绸布相似，则 的值等于A． B． C．2 D．
【变式训练3】如图，在四边形 中， ，点 为边 上一点，且
交 于点 ，若 ， ，四边形 四边形 ，则 的值
是
A． B． C． D．
相似三角形的判定
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS
4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理4：直角三角形中，“HL”
【例9】已知在 中， ， ， ，下列阴影部分的三角形与原
不相似的是A． B．
C． D．
【变式训练1】如图，点 在 的边 上，要判断 ，添加一个条件，
不正确的是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与
△ 相似的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】如图，如果 ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定
的是A． B． C． D．
相似三角形判定（动点问题）
【例10】已知 ， ， ， ， ，在线段 上有一点
使得 和 相似，则满足条件的点 的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【变式训练1】如图，矩形 中， ， ， 为 边上的动点，当
与 相似时， ．
5
【变式训练2】如图， 是边长为 等边三角形，动点 、 同时从 、 出发，
分别沿 、 方向匀速运动，其中点 运动的速度是 ，点 运动的速度是
，当点 到达点 时， 、 两点停止运动，在运动过程中作 交 于点
，连接 ，设运动的时间为 ，当 时 ．2
【变式训练3】在 中， ， ．点 在边 上，且 ，点 在
边上．当 时， 与原三角形相似．
5
相似三角形综合运用
【例11】如图， ， ， 是 上一点，使得 ；
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当 时，请写出线段 、 、 之间数量关系，并说明理由．【变式训练1】如图，在 中， ， ，点 从点 出发，沿
以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以 的速度向点 运
动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 ．
（1）当 时，求 的值．
（2） 与 能否相似？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
相似比与面积和周长的关系
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例12】如果两个相似三角形的面积比是 ，那么它们的周长比是
A． B． C． D．
【变式训练1】 与 的相似比为 ，则 与 的周长比为
A． B． C． D．【变式训练2】若 ，相似比为 ，则对应高的比为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，已知 ， ，则下列等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【变式训练4】在 中， ， ，点 、 分别在 、 上．若
与 相似，且 ，则 ．
【变式训练5】如图，在 中， ， 分别是 的边 ， 上的中线，则
A． B． C． D．
图形的位似
【例13】如图，已知 与 位似，位似中心为点 ，且 的面积等于
面积的 ，则 的值为A． B． C． D．
【变式训练1】如图， 和△ 是以点 为位似中心的位似三角形，若 为 的
中点， ，则 的面积为
A．15 B．12 C．9 D．6
【变式训练2】如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的
周长为4，则 的周长是
A．4 B．6 C．9 D．16
【变式训练3】如图，以点 为位似中心，作四边形 的位似图形 ，已知
，若四边形 的面积是2，则四边形 的面积是A．4 B．6 C．16 D．18
18
图形的位似（坐标轴）
【例14】如图，在直角坐标系中，有两点 ， ，以原点 位似中心，相似比为
，在第一象限内把线段 缩小后得到线段 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为
位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上，若正方形 的边长为
6，则 点坐标为
A． B． C． D．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点 为位似
中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是
A． B．
C． 或 D． 或
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 ，以原点 为位似
中心，相似比为 ，把 缩小，则点 的对应点 的坐标是
A． B．
C． 或 D． 或
【例15】已知： 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 、 ，
正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1） 的面积是 ．
（2）以点 为位似中心，在网格内画出△ ，使△ 与 位似，且位似比为
，此时点 的坐标是 ．
【变式训练1】如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 三个顶
点分别为 、 、 ．
（1）画出 关于 轴对称的△ ；
（2）以原点 为位似中心，在 轴的上方画出△ ，使△ 与 位似，且
位似比为2，并求出△ 的面积．一．选择题（共8小题）
1．已知 ，则
A． B． C． D．
2．如果 ，那么下列比例式成立的是
A． B． C． D．
3．如果 ，那么 的值是
A． B． C． D．
4．一张比例尺为 的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实
际面积是 平方米．
A．260000 B．260000000 C．26000 D．26000005．如图，已知直线 ，直线 、 分别与直线 、 、 分别交于点 、 、 、
、 、 ，若 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
6．如图，直线 ， ， 截直线 和 ， ， ，则下列结论中，正确的是
A． B． C． D．
7．下列两个图形一定相似的是
A．任意两个矩形 B．任意两个等腰三角形
C．任意两个正方形 D．任意两个菱形
8．下列结论不正确的是
A．所有的等腰直角三角形都相似
B．所有的正方形都相似
C．所有的矩形都相似
D．所有的正八边形都相似
二．填空题（共4小题）
9．若 ，则 ．10．已知 ，且 ．则 为 ．
11．若 ，则 ．
12．已知线段 是线段 、 的比例中项，若 ， ，则 ．
三．解答题（共3小题）
13．已知 ，且 ，求 的值．
14．已知 ＝ ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
15．计算：
（1）已知 ，若 ，求 ， 的值．
（2）解方程： ．
