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专题12 先证切线再求线段长
1．如图，A、B、C是圆O上的三个点，AB＝AC，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接
AD交BC于点E，连接BD，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若AE＝3，DE＝5，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)AB=
【分析】（1）连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得
∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（2）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，推出∠BCD=∠ADC，得到ED=EC=5，同理
可得EA=EB=3，可证得 BAE∽△BCA，再利用相似三角形的性质即可求解．
（1） △
证明：如图，连接OA，
∵AB=AC，
∴ ，
∴OA⊥BC，∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，
∵∠ACB=∠BCD，
∴∠ACD=2∠ACB，
∴∠CAF=∠ACB，
∴AF BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴∠BCD=∠ADC，
∴ED=EC=5，
同理可得EA=EB=3，
∵∠BAE=∠BCD=∠BCA，∠ABE=∠CBA，
∴△BAE∽△BCA，
∴ ，即 ，
∴AB= (负值已舍)．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．如图，在 中， ， 与 ， 分别相切于点E，F， 平分 ，
连接OA．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， 的半径是2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，连接 ，根据切线的性质和角平分线的定义即可证明
△OBD≌OBE，即可得出结论；
（2）设 分别交 于点 ，连接 ，根据切线的性质和等腰三角形的性质先证明四边
形 是矩形，再由勾股定理求出AB的长度，利用“HL”证明 ，即可
求出 ，根据图中阴影部分的面积为 ，利用三角形的面积公式和扇形的
面积公式求解即可．
（1）
如图，过点 作 于点 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，
平分 ，
，
在 和 中， ，
∴△OBD≌OBE （AAS），
，
是 的半径，
又 ，
是 的切线；（2）
如图，设 分别交 于点 ，连接 ，
的半径是2，
，
与 相切于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角
形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．3．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点P是⊙O上任意一点，且满足∠BPC=∠A．
(1)求证：PC与⊙O相切；
(2)若圆的半径为 ，tan∠BPC= ，求切线CP的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证明OP为圆的切线，只要证明∠1+∠2=90°即可；
（2）先求得PB=2，AP=4，证明 CPB∽ CAP，利用相似三角形的性质得到 ，
△ △
设BC=x，则PC=2x，AC=4x，利用AC=AB+BC，列方程，即可求解．
(1)
证明：连接PO，
∵AB为直径，
∴∠APB=∠2+∠3=90°，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠3，
∵∠1=∠A，
∴∠1+∠2=90°，即OP为圆的切线；
(2)
解：∵∠1=∠A，tan∠1= ，
∴在Rt△ABC中，AB=2 ，tan∠A= ，
即 = ，
设PB=a，则AP=2a，
∵AB2=PB2+AP2，
∴(2 )2=a2+(2a)2，
解得a=2，
∴PB=2，AP=4，
又∵∠C=∠C，∠1=∠A ，
∴△CPB∽△CAP，
∴ ，
设BC=x，则PC=2x，AC=4x，
又∵AC=AB+BC，
∴4x=2 +x，
∴x= ．
∴PC=2x= ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会
利用参数构建方程解决问题．
4．如图，在 中， ，E是BC的中点，以AC为直径的 与AB边交于点D，
连接DE．(1)求证：DE是 的切线；
(2)若 ，求 直径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，先证明∠BDC=90°， ，再由直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半推出 ，从而推出 ，即可证明结论；
（2）先求出BC的长，从而求出BD的长，然后证明△ABC∽△CBD得到 ，据此求解即可．
(1)
解：连接OD，
为圆O的直径，
，
∴∠BDC=90°，
，
，
在 中， 为BC中点，
，
，
，即 ，
，是圆O的切线；
(2)
解：在 中， 为BC中点，
，
，
，
为直径，
，
又 ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，
勾股定理，直角三角形斜边上的中线，直径所对的圆周角是直角等等，熟知圆的相关知识是解题
的关键．
5．如图，AB是⊙O的直径，N是⊙O上一点，M是 的中点，连接AN，BM，交于点D．连接
NM，OM，延长OM至点C，并使∠CAN＝2∠N．AN与OC交于点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若DM＝10， ，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，先根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，再根据
圆周角定理可得 ，从而可得 ，然后根据圆的切线的判定即可得
证；
（2）连接 ，先在 中，解直角三角形可得 ，再在 中，解直角三角
形可得 ，然后利用勾股定理可得 的长，由此即可得．
（1）
证明：如图，连接 ，
是 的中点，
，
，
， ，
，
由圆周角定理得： ，
，即 ，
，
又 是 的直径，
是 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
由（1）已得： ，
，
在 中， ，
解得 ，
又由（1）已得： ，
，
在 中， ，
解得 ，
，
则 的半径为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定
理和圆的切线的判定是解题关键．
6．如图，在 中， ，在 上取点 ，以 为圆心， 为半径作圆，若该圆与
相切于点 ，与 相交于点 （异于点 ）．(1)求证： 平分 ；
(2)若 的长为 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，先证明 ，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质可证
，进而可得 平分 ．
（2）连接 ，根据 和等量代换可得 ，设 ，则 ，
由勾股定理得 ，求出a的值，进而可求出半径的长．
(1)
证明：如图1中，连接 ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
(2)
如图2中，连接 ．
∵ 为 的直径，
∴
∵ 且
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 为 的直径，∴
∴
∵ ， ，
∴设 ，则 ，
由勾股定理得 ，得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的
判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的判定与性质是解
答本题的关键．
7．在 中，弦 平分圆周角 ，连接 ，过点 作DE//AB交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，且 是 的中点， 的直径是 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ， ， ，根据圆周角定理先说明 ，
即可得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，即可证得结论；
（2）连接 ， ， ，OB，过点 作 于点 ，构建直角三角形，设 ，
，利用勾股定理，得 ，求出线段长度即可求解；
(1)
证明：如图 ，连接 交 于点 ，连接 ， ， ，平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线．
(2)
如图 ，连接 ， ， ，OB，过点 作 于点 ，如图所示：，
， ，
，
，
∴设 ， ，
的直径是 ，
，
，
，
解得： ，
， ，
，
是 的中点，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，已知正切求边长，勾股定理，
综合运用以上知识是解题的关键．
8．如图，在 中，点O在斜边 上，以O为圆心， 为半径作圆，分别与BC，AB相
交于点D，E，连接 ．已知 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）如图，连结 ，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠B，由∠CAD=∠B可得
∠ODB=∠CAD，根据直角三角形两锐角互余及平角的定义可得∠ADO=90°，即可证明AD是 的
半径；
（2）设 的半径为 ，在Rt ABC中，根据tanB= 可求出AC的长，利用勾股定理可求出AB
△
的长，可用r表示出OA的长，在Rt ACD中，根据∠CAD=∠B可利用∠B的正切值求出CD的长，
利用勾股定理可求出AD的长，在Rt△ADO中，利用勾股定理列方程求出r的值即可得答案．
△（1）
证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠2+△∠3＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）
解：设圆O的半径为r，
在Rt ABC中，AC＝BCtanB＝4，
△
根据勾股定理得：AB＝ ，
∴OA＝ ﹣r，
在Rt ACD中，tan∠1＝tanB＝ ，
△
∴CD＝ACtan∠1＝ ，
根据勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝ ，
在Rt ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（ ﹣r）2＝r2+ ，
△
解得：r＝ ，∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，勾股定理的应用及锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函
数的定义是解题关键．
9．如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，
延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若tan∠ACB＝ ，BM＝10．求EC的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据AB=AM，可得∠ABM=∠AMB=∠EMC，再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得
∠EBC=∠ECM，然后由BC为直径，可得∠EMC+∠ECM=90°，从而得到∠ABM+∠EBC=90°，即可
求证；
（2）根据tan∠ACB＝ ，可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，再由△CEM∽△BEC，可得
，即可求解．
（1）
证明：∵AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB=∠EMC，
∵点E为弧CF的中点，
∴∠EBC=∠ECM，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EMC+∠ECM=90°，
∴∠ABM+∠ECM=90°，∴∠ABM+∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）
解：∵ ，
可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，
∴AC=13x，
∴CM=AC-AM=8x，
∵∠EBC=∠ECM，∠BEC=∠CEM=90°，
∴△CEM∽△BEC，
∴ ，
∵BM＝10．
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴EC=12．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似的知识，
综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将
所学知识贯穿起来．
10．如图，在 中， ，以 边为直径作 交 于点 ，过点 作 交
于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ，且 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质可证 ，从而可得 ，
即可解答；
（2）在 中，根据题意设 ， ，从而求出 ，再在 中，求出 ，
然后根据 ，进行计算求出 ， ，最后在 中利用勾股定理求出 ，即
可解答．
(1)
证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
(2)
解：在 中， ，设 ， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握锐角
三角函数的定义是解题的关键．
11．如图，⊙O是 ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，∠DCB＝
∠A，CE⊥AB于点E．
(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AC＝4，tan∠BCE＝ ，求DC的长；
(3)在（2）的条件下，若M是线段AC上一动点，求OM+ AM的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接OC，通过角之间的互余关系推出∠OCD＝90°，从而证明DC是⊙O的切线；
（2）根据题意易得Rt ABC～Rt CBE，利用相似三角的性质解得三角形的各边长，又可由
Rt DCE～Rt DOC推△出DC与B△D之间的关系，最后在Rt DOC中运用勾股定理得DC2+OC2＝
OD△2，将相关△线段代入求解即可； △
（3）如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，当 三点共线时 的最小值为 的长，根据菱形
的面积公式求解即可．
(1)
证明：如图，
根据题意连接OC，则有OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝∠BCD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线．
(2)
由（1）可知∠A+∠ABC＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∴Rt ABC～Rt CBE，
△ △
∴ ＝ ，
∵AC＝4，tan∠BCE＝ ，
∴ ＝ ＝ ，解得BC＝2，
∴AB＝ ＝2 ，
∴OC＝OB＝ ，
∵ ＝ ，即 ，解得BE＝ ，
∴CE＝ ，
∵Rt DCE与Rt DOC有公共角∠D，
∴Rt△DCE～Rt △DOC，
△ △
∴ ＝ ，即DC2＝DO•DE＝（ +BD）（ +BD），
在Rt DOC中有：DC2+OC2＝OD2，
△
即（ +BD）（ +BD）+ ＝（ +BD）2，
解得BD＝ ，
∴DC＝ ＝ ．
(3)
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点
作 于点CE⊥AB， 是直径
当 三点共线时 的最小值为 的长
的长即为所求，
四边形 是菱形
故OM+ AM的最小值为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，轴对称求最短线段问
题，垂线段最短，第三问中转化线段是解题的关键．12．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝
AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）过点O作OE∥AB交AC与点E，若直径BC＝4，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形等边对等角和三角形外角性质与直角三角形两锐角互余得
出∠OAD=90°即可求证；
（2）根据题意利用直径所对圆周角为直角得∠BAC=90°，进而由勾股定理求得 ，最后根
据平行线性质以及点E是AC中点，OE是△ABC的中位线即可求出答案.
【详解】解：（1）连接OA
∵AD=AB且∠D=30°
∴∠OBA=30°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOD=60°
∵∠D+∠AOD=90°
∴∠OAD=90°
∴OA⊥AD
∵OA 是⊙O的半径
∴AD是⊙O的切线 ；
（2）∵BC是⊙O直径∴∠BAC=90°
∵∠ABC=30°且BC=4
∴AC=2,由勾股定理可求：
∵BC是⊙O直径
∴O是BC中点
∵OE∥AB
∴点E是AC中点，OE是△ABC的中位线
∴ .
【点睛】本题主要考查切线的判定和圆周角定理，注意掌握等腰三角形等边对等角和三角形外角
性质与直角三角形两锐角互余以及证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键．
13．如图， 是 的直径，点 是 上一点，点 是 延长线上一点， ， 是
的弦， ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径；
（3）若 于点 ，点 为 上一点，连接 ， ， ，请找出 ， ， 之间
的关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3） ，理由见解析
【分析】（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，进而得出∠OAD＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出△AOC是等边三角形，得出AC＝OC，再判断出AC＝CD，即可得出结论；
（3）先判断出∠CAP＝∠CEM，进而得出△ACP≌△ECM（SAS），进而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判断出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 在 上，
∴直线 是的切线；
（2）解：如图1，连接 ，
由（1）知， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
即 的半径为3；
（3） ，
理由：如图，
，
，连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
， 为 的直径，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
，
， ，
过点 作 于 ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构
造出直角三角形是解本题的关键．
14．已知：如图， 是 的直径， ， 是 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 ，
，连接 ， ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质，已知条件可得 ，进而根据平行线的性质可得
，根据圆周角定理可得 ，等量代换即可得证；
（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，进而根据正切值以及已知条件可得
的长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，
理解题意添加辅助线是解题的关键．
15．如图，在 中， ，以 为直径的 分别与 交于点 ，过点 作
，垂足为点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；（2）求证： ；
（3）若 的半径为2， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） 见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接OD，由DF⊥AC，证明OD∥AC即可；
（2）连接AD，由△ADC∽△DFC，可得 ＝ ，即CD2＝CF•AC，再证明CD＝ BC即可；
（3）连接AD，OE，根据已知求出∠AOE＝90°，从而可得S AOE和S AOE，即可得到答案．
扇形
△
【详解】解：（1）连接 ，如图：
，
，
，
，
，
∥ ，
，
，
∴直线 是 的切线；
（2）连接 ，如图：
为 直径，
，
，
，∵ ，
，
，即 ，
，
，
，
；
（3）连接 ，如图：
，
，
，
，
，
的半径为2，
，
．
【点睛】本题考查圆的切线判定、圆周角定理，扇形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形
的判定与性质等，解题的关键是恰当连接辅助线，熟练掌握运用圆的相关性质和等腰三角形的性
质以及相似三角形的判定与性质．
16．如图，BC是 的直径，A为 上一点，连接AB、AC， 于点D，E是直径CB延
长线上一点，且AB平分 ．
（1）求证：AE是 的切线；
（2）若 ， ，求EA．【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）连接OA，根据角平分线定义和直角三角形两个锐角互余即可证明 从
而可得结论；
（2）根据直径所对圆周角是直角可以证明∠C=∠BAD，所以tan∠C=tan∠BAD，再证明
△ABE∽△CAE，可得 ，进而可得结果．
【详解】证明：（1）连接
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠BAD=∠BAE，
∴∠ABD+∠BAE=90°，
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠OAB，
∴∠OAB+∠BAE=90°，
∴∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，而OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∵∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴tan∠C=tan∠BAD，
∵AD=2BD，
∴ ，
为 的切线， 为 的直径，
而
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△CAE，
∴
∵EC=4，
∴AE=2．
【点睛】本题考查的是切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识，
掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．如图， 是 的直径， 平分 ， ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见详解；（2）⊙O的半径为 ．
【分析】（1）如图，连接OD、AC，由AB是直径可得∠ACB=90°，根据DE⊥BC可得DE//AC，
根据垂径定理的推论可得OD⊥AC，即可证明OD⊥DE，由点D在圆上即可证明DE是⊙O的切线；（2）作OF⊥BC于F，可得四边形OFED是矩形，可得OF＝DE＝5，OD＝EF，由垂径定理可得
BF＝CF，设⊙O的半径为R，在Rt△BOF中，利用勾股定理构造方程求出R值即可．
【详解】（1）如图，连接OD、AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵ 平分 ，
∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，
∴OD⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF，
∵DE⊥BE，OD⊥DE，OF⊥BC，
∴四边形OFED是矩形，
∴OF＝DE＝5，OD＝EF，
设⊙O的半径为R，CE=2，则BF＝CF＝R﹣2，
在Rt△BOF中，BF2+OF2＝OB2，
∴（R﹣2）2+52＝R2，
解得R＝ ，即⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查切线的判定及垂径定理，角平分线定义，矩形判定与性质，勾股定理，一元一
次方程及其解法，熟练掌握切线的判定及垂径定理，角平分线定义，矩形判定与性质，勾股定理，
一元一次方程及其解法是解题关键．
18．如图，在 中， ，点O在 上， ，点D在 上，以点O为圆
心， 为半径作圆，交 的延长线于点E，交 于点F， ．
（1）求证： 为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）先证出 ，再根据直角三角形两锐角互余得 ，即可
证明；
（2）先利用正切得出AD，再设 ，表示出BC、AC，利用 ，解出k，再由勾
股定理得出AB，即可计算出结果；【详解】（1）证明：如图．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
在 中， ，设 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、锐角三角函数、灵活的等角的转换是关键 ，利用方程
思想是重点．
