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专题2.11 二次根式（知识讲解2）
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： ≥0，（ ≥0）， （ ≥0）， （
≥0），并利用它们进行计算和化简．
【要点梳理】
要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号．
特别说明：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：形如5，a，a+b，ab， ，x3， 这些式子，用基本的运算符号
(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，
我们称这样的式子为代数式.
要点二、二次根式的性质
1. ≥0，（ ≥0）；
2. （ ≥0）；
3. .
特别说明：
1.二次根式 (a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即 .
2. 与 要注意区别与联系：1). 的取值范围不同， 中 ≥0， 中
为任意值。
2). ≥0时， = = ； <0时， 无意义， = .
【典型例题】
类型一、最简二次根式的判断
1在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行
化简．（1） （2） （3）
（4） （5） ．
【答案】（1）不是， ；（2）不是， ；（3）是；（4）不是， ；（5）
不是， .
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式
的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解:（1） ，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2） ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3） ，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最
简二次根式；
（4） ，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5） ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定
义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开
得尽方的因数或因式．
【变式1】判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．
； ； ；； ； ．
【答案】（1）不是最简二次根式； 不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；
（4）不是最简二次根式； 不是最简二次根式；（6）是最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可．
解: ，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式．
【点拨】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做
最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式．
类型二、最简二次根式化简
2．把下列各式化成最简二次根式：
； ；
； ；
； ．【答案】 ； ； ； ； ；
．
【分析】（1）先将带分数化为分数再开方．
（2）直接开方再分母有理化；
（3）直接开方即可．
（4）将小数化为分数后再开方．
（5）通分后再开方．
（6）通分后再开方，然后再分母有理化．
解：（1）原式= = ；
（2）原式=x2 =x ；
（3）原式= = ；
（4）原式= = ab ；
（5）原式= = ；
（6）原式= = ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错．
【变式1】把下列各式化为最简二次根式．(字母均为正数)
（1） ； （2）4 ； （3）2 ； （4） .【答案】(1) ;(2) .
【分析】根据最简二次根式的定义和最简二次根式必须满足两个条件进行化简计算即
可．
解:解:(1) ；
(2)原式 ；
(3)原式 ；
(4)原式 ．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必
须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式2】把下列根式化成最简二次根式．
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：（1） ；
（2） ；（3）
；
（4）
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键，二
次根式开出来的数一定为非负数．
类型三、化为最简二次根式的参数
3．已知A＝2 ，B＝ ，C＝ ，其中A，B都是最
简二次根式，且A＋B＝C，请求出a的值．
【答案】2
【分析】根据A、B都是最简二次根式，且A＋B＝C，可知A、B的被开方数相同，
由此即可求出a的值.
解：∵A＝2 ，B＝ ，A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，
∴a＋3＝3a－1，
解得a＝2
【点拨】此题主要考察最简二次根式的定义.
【变式1】已知 ， ， ，且A、B、C
是可以合并的最简二次根式，求 、 及 的值.
【答案】 ， ， .【分析】由A、B、C是可以合并的最简二次根式可得A、B、C的被开方数相等，由
此可得关于a、b的方程，解出a、b的值后，即可求出 的值.
解：∵ ， ， ，且A、B、C是可以合
并的最简二次根式，
∴ .
∴ ，则 ， ，且 .
∴ ，则 .
故 .
【点拨】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义以及合并同类二次根式的法
则，正确理解题意，得出关于a、b的方程是求解的关键.
【变式2】如果最简二次根式 与 是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+ ．
【答案】（1）a=3；(2)4
解:(1)利用同类二次根式定义，列式.
(1)4a-5=13-2a,
解得a=3.
(2) ≤x≤
= = =
【点拨】根据 ，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括
号，化简.
类型四、同类二次根式
4．计算：
【答案】当b≥0时，原式 = ；当b<0时，原式 = .
【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次
根式进行合并．
解:当b≥0时，原式＝2ab − ab +ab = ．
当b<0时，原式=-2ab − ab +ab =
【点拨】需注意的是，当二次被开方数为平方的形式时，化简的结果要带着绝对值，
而合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
【变式1】最简二次根式 与 是同类二次根式，求3a﹣b的值．
【答案】2.
【解析】
试题分析：根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
解 ：由最简二次根式 与 是同类二次根式，得
，
解得 ，
则3a-b=2．【变式2】已知 和 是相等的最简二次根式．
求 ， 的值；
求 的值．
【答案】 的值是 ， 的值是 ；（2） ．
【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；
（2）根据算术平方根的概念解答即可．
解: ∵ 和 是相等的最简二次根式，
∴ ．
解得， ，
∴ 的值是 ， 的值是 ；
（2） ．
【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组
是解题的关键.
类型五、二次根式的加减法
5计算：
(1) (2) .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】根据二次根式的性质和最简二次根式的概念，先化简二次根式，然后合并同
类二次根式即可.
解:（1）原式==
（2）解：原式=
= .
【点拨】此题主要考查了二次根式的加减运算，关键是利用二次根式的性质，先把各
二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式.
【变式1】计算：
【答案】 ；
【分析】（1）按照实数混合运算顺序依次计算，合并同类项或合并同类二次根式即可；
（2）运用平方差公式，完全平方公式展开计算即可．
解:（1）
=
= ；
【点拨】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减。
【变式2】计算下列各题：
(1)( ＋ )－( － )；
(2) ＋ (2＋ )；
(3) ÷ －2 × ＋(2 ＋ )2；
(4)(2－ )2017(2＋ )2018－|－ |－(－ )0.
【答案】(1) 2 ＋3 ；(2) 4 ＋5；(3) 15＋2 ；(4)1.试题分析：这是一组二次根式的混合运算题，按照二次根式的相关运算法则计算即可.
试题解析：
（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式= ；
（4）原式= .
类型六、二次根式的混合运算
6．(1)计算： ﹣5 (2)计算：6
【答案】(1)﹣2 ﹣3；(2)9.
【分析】（1）先计算二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（2）先将各二次根式化为最简，有括号的去括号，再化简合并即可.
解：(1)原式＝ ﹣ ﹣5
＝2﹣2 ﹣5
＝﹣2 ﹣3；
(2)原式＝2 ﹣ +9﹣
＝9．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，注意运算中符号的变化.
【变式1】计算
（1） ； （2）
（3） ．【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再利用零指数幂的意义计算，然后合并即可；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂.
【变式2】先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 ； .
【分析】括号内先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可.
解:原式
= ，
当 时，原式 .
【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法
则是解题的关键.
类型七、分母有理化
7．先阅读，再解答
由 =2可以看出，两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
（1） 的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： = ， = ；
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）＜．
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到，然后进行大
小比较．
解:（1） 1的有理化因式是 1；
（2）： ；
（3） ．理由如下：
∵ ，∴ ，∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然
后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，
灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式1】阅读下面的问题：
﹣1；
；
；
……
（1）求 与 的值．（2）已知n是正整数，求 与 的值；
（3）计算 ．
【答案】（1） ＝ ， ＝ ；（2）
= ， = ，（3）9．
【分析】（1）根据所给式子可知，把 的分子、分母分别乘以 即可
化简；把 的分子、分母分别乘以 即可化简；
（2）由所给式子和（1）的计算可知，当分母中的两个二次根式的被开方数相差1时，
其化简的结果等于它的有理化因式；
（2）根据（2）中所总结规律计算即可.
解:（1） ＝ ＝ ，
＝ ＝ ；
（2） ＝ ＝ ，
＝ ＝ ；
（3）﹣1+ +…… +
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
【点拨】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发
现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.熟练掌握有理化因式是解答本题的关键，单项
二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差
公式来进行分步确定.
类型八、已知字母的值，化简求值
7．已知a＝ ，求 的值．
【答案】7．
【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算
顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．
解：∵a＝ ＝ ＝2﹣ ，
∴a﹣2＝2﹣ ﹣2＝﹣ ＜0，
则原式＝
＝a+3+
＝2﹣ +3+2+
＝7．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合
运算顺序和运算法则．
【变式1】先化简，再求值：已知 ,求 的值【答案】
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而
得出答案．
解:
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的
混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
【变式2】先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x=2+
，y=2﹣ ．
【答案】3xy,3
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式进行展开，然后进行合并
化简，最后再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
解:（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2
=x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2=3xy，
当x=2+ ，y=2﹣ 时，
原式=3×（2+ ）×（2﹣ ）=3．
【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序以及乘
法公式是解答本题的关键.
类型九、已知条件，化简求值
9求值
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ， 求的值．
【答案】（1）2；（3）22.
解:试题分析：（1）根据二次根式的分母有理化，先化简代数式，再代入求值即可；
（2）先根据分母有理化化简x、y，然后利用配方法化简代数式，再代入求值即可.
试题解析：（1）当 时，
∴
=
=
=2
（2）∵ ，
∴x= ，y=∴
= -2xy
=3（x+y）2-2xy
=3（ + ）2-2（ ）（ ）
=3×（2 ）2-2
=3×8-2
=22
【变式1】已知y= + +2，求 + ﹣2的值．
【答案】
解:试题分析：由二次根式有意义的条件可知1﹣8x=0，从而可求得x、y的值，然后将
x、y的值代入计算即可．
试题解析：解：由二次根式有意义的条件可知：1﹣8x=0，解得：x= ．
当x= ，y=2时，原式= ﹣2= +4﹣2=2 ．
【变式2】已知a＋b＝－2，ab＝ ，求 的值．
【答案】2
【分析】由 ， ，可知 ， ，进一步根据二次根式的性质化
简，再进一步整体代入求得答案即可.
解：由题意知a＜0，b＜0，所以原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋＝－ ＝－ ＝2 .
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简方法是解决问题的关键.
类型十、比较二次根式的大小
9．阅读下列解题过程：
＝ ＝ ；
＝ ＝ ；
＝ ＝ ＝2﹣ ；…则：
（1） ＝ ； ＝ ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ＝ ；
（3）利用上面的规律：比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3） ﹣ ＞
﹣
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．
（2）分子分母同时乘以 即可求出答案．
（3）将两个数化为 的形式即可求出答案．解：（1） ；
；
（2）由题意可知：
．
（3）由于 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：（1） ， ．
（2） ．
【点拨】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，
解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
【变式1】比较 与 的大小.
【答案】
【分析】先对分母进行有理化，再比较大小.
解：∵
∴
【点拨】本题主要考查分母有理化和二次根式的大小比较，先分母有理化再比较大小
是关键.
【变式2】3 的小数部分为m，3+ 的小数部分为n，求（m-3）（n+2）的值．
【答案】-3-2 ．
【分析】先根据 的取值范围，得出 的取值范围，从而得出m、n的
值，再代入求解即可．
解:
．
【点拨】本题考查了二次根式的大小及乘法运算，利用二次根式的大小范围求出m、n
的值是解题关键．
类型十一、二次根式的应用10．细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.
， ； ， ； ， ；....
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律.
（2）推算出 的长.
（3）求 的值.
【答案】（1） ， .（n是正整数）；（2） ；
（3）
【分析】（1）利用已知可得OA 2，注意观察数据的变化，
n
（2）结合（1）中规律即可求出OA 2的值即可求出，
10
（3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
解:（1） ， .（n是正整数）
（2）由（1）得， ，即OA 2=n，
n
∴ .
（3）
.【点拨】本题主要考查勾股定理以及作图的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股
定理的知识，此题难度不大．
【变式1】一个三角形的三边长分别为5 ， ， .
(1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】（1） ；（2）见解析.
解:（1）周长 ；
（2）当x=20时，周长= （或当x= 时，周长= 等）.
（答案不唯一，符合题意即可）
【变式2】课堂上老师讲解了比较 和 的方法，观察发现11-
10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数：
，
，
因为 > ，所以 > ，则有 <
.
请你设计一种方法比较 与 的大小.
【答案】方法见解析.
解:【分析】观察可知8+3=6+5，因此可以利用两数平方进行比较进而得出答案．【详解】 ，
