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专题 21 概率与统计常考小题归类
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：抽样方法与随机数表.....................................................................................2
题型二：统计图表及其数字特征.................................................................................3
题型三：传统线性拟合.................................................................................................5
题型四：非线性拟合处理.............................................................................................6
题型五：传统独立性检验.............................................................................................8
题型六：创新类定义统计...........................................................................................10
题型七：正态分布.......................................................................................................13
题型八：超几何分布与二项分布...............................................................................14
题型九：随机变量的分布列、期望、方差...............................................................15
题型十：古典概型.......................................................................................................16
题型十一：条件概率与全概率...................................................................................19
题型十二：概统结合问题...........................................................................................20
题型十三：新赛制概率问题.......................................................................................22
重难点突破：递推型概率命题...................................................................................23
02 重难创新练.............................................................................................................27题型一：抽样方法与随机数表
1．某校有男生 人，女生 人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取 人进行调查，则男
生被抽取的人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设男生被抽取的人数是 ，
由已知可得 ，
解得， .
故选：C.
2．已知 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，现用分层抽样的方法抽取容量为 的样本，
若样本中 型号产品有 件，则 为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】B
【解析】因为 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，
且用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，
所以 型号产品被抽的抽样比为： ，
因为 型号产品有 件，所以 ，解得 .
故选：B.
3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，
001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6
列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【答案】A
【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，
第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，
下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.
故选：A.
题型二：统计图表及其数字特征
4．学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，
176，176，则十名护旗手身高的 分位数为（ ）
A．177.5 B．178 C．178.5 D．179
【答案】C
【解析】将这10个数从小到大排列为174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，则
,故第 分位数为 ，
故选：C
5．已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航
展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模
型的人数（估计值）分别为（ ）
A．200，24 B．200，28 C．100，24 D．100，28
【答案】D【解析】样本量为 ，
抽取的初中生人数为 ，
所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为 .
故选：D
6．在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成
绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在
内，按照 的分组作出频率分布直方图（如图所
示），据图中数据，则（ ）
A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75
B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间
C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间
D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300
【答案】C
【解析】由题意得， ，解得 .
对于选项A，成绩在 内的频率为 ，成绩在 内的频率为
，故中位数在 间，但样本成绩在 间的可能均为74分，
故中位数不一定大于75，所以选项A错误；
对于选项B，由极差的定义知，学生成绩的极差介于40至60之间，所以选项B错误；
对于选项C，由平均数的定义知，学生成绩的平均成绩为，介于70至80之间，所以
选项C正确；
对于选项D，由于成绩不低于60分的频率为 ，所以成绩不低于60分的人数是
，所以选项D错误.
故选：C.
题型三：传统线性拟合
7．某水文站为了研究所在河段 降雨量 （单位： ）与水位增长量 （单位： ）之间的关系，记
录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出 与 之间有线性相关关系，并设其回归方程为 .已
知 和 分别表示第 次 降雨量（单位 ）和水位增长量（单位：cm），且
.若某次 降雨量为 ，据此估计水位增长量为 .
【答案】35
【解析】由题意得 ，
所以 ，
所以回归方程为 ，
所以当 时， ，
所以若某次 降雨量为 ，据此估计水位增长量为 .
故答案为：35.
8．假设关于某设备的使用年限 和所支出的维修费用 万元 统计数据如下：
使用年限
维修费用
若有数据知 对 呈线性相关关系．其线形回归方程为 ，请估计使用 年时的维修费用是万元．
【答案】
【解析】由题意可得 ， ，
由回归方程过点 可得 ，解得 ，
故方程为 ，
把 代入可得 ，
故答案为： ．
9．已知变量y与x线性相关，由样本点 求得的回归方程为 ，若点
在回归直线上，且 ， ，则 ．
【答案】6
【解析】由题意，点 在回归直线上，代入 可得， ，解得 ，
因 ，且样本中心点 在回归直线上，将条件代入得： ，
故 ，解得 ．
故答案为：6.
题型四：非线性拟合处理
10．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植物的株数 （单位：株）之间的相关关
系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，设 ， 与 的数据如表格所示：
3 4 6 7
2.5 3 4 5.9
得到 与 的线性回归方程 ，则 .【答案】
【解析】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，
所以 .
由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
11．已知变量y关于x的回归方程为 ，若对 两边取自然对数，可以发现 与x线性相关，
现有一组数据如下表所示， 时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e
【答案】 /
【解析】对 两边取对数，得 令 则
x 1 2 3 4
y e
z 1 3 4 6
代入 得 故
故 ，
当 时，故答案为：
12．用模型 拟合一组数据 ，若 ， ，设 ，
得变换后的线性回归方程为 ，则ak= .
【答案】
【解析】由题意得 ，因为 在回归直线
上，所以 ，由 得 与 比较得： ，a
.
故答案为： .
题型五：传统独立性检验
13．学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、
女生各 人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（ ）
参考公式及数据： ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.70 6.63 10.82
6 5 8
A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多C．若 ，依据 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D．若 ，依据 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
【答案】D
【解析】对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人
数少，故A错误；
对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游
泳运动的女生人数多，故B错误；
对于C，结合等高堆积条形图可得：
游泳
性别 合计
喜欢 不喜欢
男生 0.6n 0.4n n
女生 0.4n 0.6n n
合计 n n 2n
故 ，
若 ，则 ，
故依据 的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误；
对于D，若 ，则 ，
依据 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确.
故选：D
14．如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：
（ ）.A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性
B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说
C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话
D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果
可能存在错误
【答案】D
【解析】对于A选项，观察统计图，比较男性和女性未对父母说过“我爱你”的比例，
发现男性未说的比例高于女性，所以A选项正确.
对于B选项，分别对比男女对母亲和对父亲说“我爱你”的比例，
能看出无论男女对母亲说的比例都高于对父亲说的比例，所以B选项正确.
对于C选项，从统计图整体来看，未说过“我爱你”的人数比例较大，
所以大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话，C选项正确.
对于D选项，经常对父母说“我爱你”的人数总计比例较女生比例有所下降，
并不能直接说明统计图结果存在错误，有可能是实际调查结果就是如此，所以D选项错误.
故选：D
15．设研究某两个属性变量时，作出零假设 并得到2×2列联表，计算得 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．有99.5%的把握认为 不成立 B．有5%的把握认为 的反面正确
C．有95%的把握判断 正确 D．有95%的把握能反驳【答案】D
【解析】依题意， ，因此有95%的把握反驳 ，
故选：D.
题型六：创新类定义统计
16．定义空间直角坐标系中的任意点 的“ 数”为:在 点的坐标中不同数字的个数，如:
，点 的坐标 ，则所有这些点 的“ 数”的均值与最小值
之差为 .
【答案】
【解析】由点 的坐标 ，可分三种情况讨论：
①恰有3个相同数字的排列为 种，则 共有4个；
②恰有2个相同数字的排列为 种，则 共有36个；
3个数字各不相同的排列为 种，则 共有24个，
③
所以点 的“ 数”的平均值为 ，
则平均值与最小值之差为 .
故答案为： .
17．2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为
了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位： ）得到如图所示
的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的 分位数为满足 的 ，则估计本例中
.（结果保留小数点后两位有效数字）【答案】2.45
【解析】由题意可知： 就是满足 的横坐标的值，
因为 对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
所以 落在 内，设 距离2.5的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：2.45
18．（多选题）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数
.某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均
分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 .）A．学生考试成绩标准差为
B．学生考试成绩近似服从正态分布
C．约有20000名学生的成绩低于58分
D．全体学生成绩的第84百分位数约为78
【答案】ACD
【解析】对于A，根据离散系数 ，平均分为57.4，离散系数为0.36，可得标准差为
，故A正确；
对于B，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，则学生考试成绩近似服从正态分布 ，
故B错误；
对于C，平均分为57.4，所以成绩低于58分得概率约为 ，所以约有 名学生的成绩低
于58分，故C正确；
对于D，又因为 ，且 ，所以全体学生成绩的第84百分位数约为
，故D正确；
故选：ACD.
题型七：正态分布
19．某批零件的尺寸 服从正态分布 ，且满足 ，零件的尺寸与8
的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，
则 的最小值为 ．
【答案】4
【解析】因为 服从正态分布 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即每个零件合格的概率为 ．
因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，且合格零件件数为0或1的概率为 ，
所以 ，即 ．
令 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，而 ， ，
所以不等式 的解集为 ，所以 的最小值为4．
故答案为：4.
20．设 为任取的某袋包装误差的产品的质量， ，则 的概率是 （结果精
确到 ）．（已知 表示标准正态分布的密度函数从 到
的累计面积）
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，由 ，得 ，
由 ，知 ，
由正态分布图象知
，
故答案为： .
21．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试
数据 （单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，则 ，
则 ，故A错误；
在 的概率为 ，则 ，
则 ，故C正确；
，故D错误；
，故B错误.
故选：C.
题型八：超几何分布与二项分布
22．某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项
目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为 ，则 的所有可能取值为
，数学期望 ．
【答案】 0，1； .
【解析】X的取值可能为0，1．
依题意可知 服从超几何分布，
则 ， ，所以 ．
故答案为：0，1； .
23．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在
实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ．
【答案】
【解析】随机选择3个专业，基本事件总数为 ，
填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为 ，
由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ．
故答案为： .
题型九：随机变量的分布列、期望、方差
24．以下说法正确的个数为（ ）
①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近0；
②设 是随机变量，则 ， ；
③设随机变量 ，若 ，则 ；
④设随机变量 ，则 ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于1，故①错误；
若 是随机变量，则 ，故②正确；
随机变量 ，若 ，则 ，故③错误；设随机变量 ，则 ，当且仅当 ， 时等号成立，
故④错误；
故选：B．
25．新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文
献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准
备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师
相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记 表示抽到问题A的教师人数，
则 （ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【解析】 每名教师抽到问题 的概率为 ，
由题意可知 ， ，
故选：D．
题型十：古典概型
26．如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全
部消失不见．如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，
我们称发生了“坍塌”．那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为 ．【答案】
【解析】把题设中的14个小正方体编号如下：
其中1代表最上方的一个小正方体，第二层、第三层相应的标号如下图所示.
与1号小正方体在同一个竖直方向小正方体从上至下记为2,6，
标号为3的正方体下面的小正方体标号为7，
标号为4的正方体下面的小正方体标号为8，
标号为5的正方体下面的小正方体标号为9，
若不发生坍塌，则
则全部14次施法过程中，不发生坍塌的事件总数为
设事件 为：“全部14次施法过程中，不发生坍塌”，
则
故答案为： .
27．设 为正整数，从集合 的所有二元子集中任取两个，记为 ， ，其中
与 可以相同.在平面直角坐标系 中，记直线 与直线 的四个交点
分别为 ，则以 为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含 的代数式表示）
附参考公式：【答案】
【解析】由题知，边长为 的正方形有 种情况，
故
故答案为：
28．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号 的卡片各1张，两人轮流从中不放回的
随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先
抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ．
【答案】 /0.1
【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从8张卡片中抽取了5张，
且甲抽取的三张卡片数字之和为13，乙抽取的两张卡片数字之和不为13；
总的情况相当于从8张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共 种排法；
其中三张卡片数字之和为13的组合有 ； ； ； ； ； 共6种情况；
当甲抽取的数字为 ； 时，
乙在剩余的5个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有 种；
当甲抽取的数字为 ； ； ； 时，
要排除乙抽到 或 ，此时共有 种；
所以符合题意的排列总数为 种，
可得所求概率为 .
故答案为：题型十一：条件概率与全概率
29．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气
枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为
0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气
枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环
的概率为 ．
【答案】
【解析】①设事件 表示使用已校正的气枪，事件 表示射中10环，
则 ，
故任取一支气枪射中10环的概率是 ；
4次射击中恰有2次射中10环的概率为： .
②
故答案为：① ；② .
30．小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园
的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
【答案】D
【解析】根据全概率公式可得小张一家去游乐园的概率为 ．
故选：D.
31．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为 ， ，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为 ，且甲
是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，则 ， ， ，
因为 ，即 ，解得 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
32．某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生
饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为
，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为 .若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则
该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则 ， ，
设“学生肥胖”为事件B，则 ， ，
由全概率公式可得 ，
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为 .
故选：A题型十二：概统结合问题
33．已知数列 是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这
两组数据的极差相同的概率为 .
【答案】 /0.4
【解析】不妨设 ，则 ，其极差为 ．
若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项，
则有 种删除方法，所以 ．
故答案为： .
34．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数
为4的概率为 ．
【答案】 /
【解析】当且仅当 时，这6个点数的中位数为4， 的概率为 ，
所以这6个点数的中位数为4的概率为 .
故答案为： .
35．定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件 条件下的期望为
，其中 为X的所有可能取值集合，
表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若
掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时
的投掷次数，则 ．【答案】2
【解析】由 可得 或 或 ，
由题意可得
故答案为：2
题型十三：新赛制概率问题
36．甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概
率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 .
【答案】0.245/
【解析】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，
设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，
则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为所以甲队以4：1获胜的概率
.
故答案为：0.245
37．已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后
胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为
.
【答案】
【解析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，假如甲、乙、丙三人实力相当，则每局比
赛双方获胜的概率均为 ，
比赛进行4场，丙最终获胜，则后3场丙全胜，概率为 ；
比赛进行5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，
胜负空胜，负空胜胜，概率分别为
;
所以丙获胜的概率为 .
故答案为：
38．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ．假
定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下
是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 ．
【答案】
【解析】第一局甲胜，第二局乙胜：
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为 ，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为 ，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为 ；
故答案为： .
重难点突破：递推型概率命题
39．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一
次向左跳动的概率为 ；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为 ．记第n次向左跳动的概率为
，则 ； ．
【答案】
【解析】由题意，得 ， ， ，
由 ，
设 ，则 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为： ；
40．某学校有 、 两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择
了某个餐厅，他第二天会有 的可能性换另一个餐厅就餐，假如第 天甲选择了 餐厅，则第 天选择餐厅的概率 为 .
【答案】
【解析】当 且 时，若甲在第 天选择了 餐厅，
那么在第 天有 的可能性选择 餐厅，
若甲在第 天选择了 餐厅，那么在第 天有 的可能性选择 餐厅，
所以第 天选择 餐厅的概率 ，
即 ，所以 .
又由题意得， ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为： .
41．引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校
的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、
丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他
两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为 ．
【答案】
【解析】设第 次由乙同学传球的概率为 ，显然 ，
第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，这两人每人得到球的概率为 ，
如果球传到乙，则乙不能传到乙，
故第 次由乙传球的概率 与第 次由乙传球的概率 的关系为：
，即 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，则 ，故 .
故答案为： .
42．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该
瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么
在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是 ．
【答案】
【解析】
设第 秒后瓢虫在角的概率为 ，在中心的概率 ，在边中间的概率为 ，
则 ， ， ，
其中 ，所以 ，
又 ， ，
而 ，
故 ，
故在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率为 ，
故答案为: .1．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了 分，受到爸爸表扬的概率为 ，受到妈妈表扬的概率
也为 ，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记小王受到爸爸表扬为事件 ，小王受到妈妈表扬为事件 ，小王受到表扬为事件 ，
小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则 .
故选：C.
2．（2025·上海·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性
检验，计算得实验数据的统计量 的值为 .已知 ，则（ ）
A． 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B． 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C． 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D． 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
【答案】B
【解析】因为 ，则 的值大于3.841，
就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确；
的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误.
故选：B.
3．（2025·浙江温州·模拟预测）已知4名学生的期中考试数学成绩分别为98，110，m，120，且上四分位
数为118，则 （ ）
A．115 B．116 C．117 D．118
【答案】B【解析】由题意，上四分位数为98，110，m，120从小到大排列的第3、4位的平均数，
当 时，上四分位数为 不合题意；
当 时，上四分位数为 ，解得 ，满足题意.
故选：B
4．（2025·吉林·二模）已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 互斥，则 D．若 互斥，则
【答案】C
【解析】若 ，则 ， ，故AB选项的内容都是正确的；
若 互斥，则 ， ，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确
的.
故选：C
5．（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有 八个
数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件A为：当 时，
分两种情况：
第一次掷出4，第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5种情况;
第二次掷出4，第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5种情况，
两种情况都有第一次和第二次都掷出4，共1种情况，
所以事件A包含的基本事件数为
设事件B为： ，
则事件AB为： 且 ，
有 ， 和 ， 两种情况.
由条件概率公式：
故选：B．
6．（2025·重庆·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率 （单位:
次/分钟）的对应数据 . 根据生物学常识和散点图得出 与 近似满足 （
为参数），令 ，计算得到 . 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，
则 的值为（ ）
A． B．0.4 C． D．0.2
【答案】A
【解析】因为 ，两边取对数可得 ，
又 ，
依题意回归直线方程 必过样本中心点 ，
所以 ，解得 ，所以 .故选：A.
7．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混
双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以
的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制
（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为 ，则“莎头”组合再次以
获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】“莎头”组合再次以 获胜，即前 局“莎头”组合胜 局、负 局，第 局“莎头”组合获胜，
所以“莎头”组合再次以 获胜的概率 .
故选：B
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作
为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园.假设每个人在进入学校时选
择每个检测点的概率都是 ，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学
生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等，
则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有 种不同的结果，
若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等，
则①每个检测点均为一男一女通过，共有 种不同的结果；
②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有
种不同的结果；③六人均在同一个检测点通过，共有 种不同的结果.
则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为 .
故选：B.
9．（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，
A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于 的事件是（ ）
A． B．
C． D．在 条件下，
【答案】BD
【解析】由于向量是有方向和大小的量，所以在9个格点中依次取不同的两点 共有 个不同的
向量，
对于A， ，由于 ，故 ，且 方向相同，
所以 只能在 只能在 ,只有这一种情况，故 ，A错误，
对于B，由于 ，
所以 可以为 共18种，
所以 ，B正确，
对于C， ，则 ，故 可以为 共4种，所以 ，C错误，
对于D，在 条件下，
可以为 共16种,
满足 有 ，故概率为 ，D正确，
故选：BD
10．（多选题）（2025·河南·模拟预测）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学
体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，
我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知
某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩 （单位 ）服从正态分布 ，且
，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记 不在区间 的人数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，由 ，得 ，
则 ，A错误；
对于B，由A知， 不在区间 的概率为 ， ， ，因此 ，B正确；
对于C，由B知， ，因此 ，C正确；
对于D， ，D错误.
故选：BC
11．（多选题）（2025·福建厦门·一模）药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某
新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药
物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究
该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，
如下表所示：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 120 110 103 93 82 68 59 47 38
根据表中数据可得到经验回归方程 ，则（ ）
A． B．变量y与x的相关系数
C．当 时，残差为-1.5 D．代谢约10小时后才需要补充药物
【答案】AC
【解析】因为样本中心点 在直线 上，所以 ，A选项正确；
血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数 ，B选项错
误；
当 时， ，残差为 ，C选项正确；
令 ，解得 ，D选项错误；
综上所述，应选AC．
故选：AC.
12．（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）在一个圆环隧道内等间距装有若干个完全一样的开关，每个
开关只有“开”或“关”两种状态（这些开关总数和标记为“开”或“关”的开关个数均未知）.小郅同学
位于隧道内部，从某个标记为“开”的开关开始，以下策略一定可以一次确定开关个数的选项为：（ ）.
A．从第1个开关开始，顺时针计数直至遇到下一个标记为“开”的开关B．从第1个开关开始，顺时针计数（包括第1个开关），直至遇到下一个标记为“开”的开关，计数
为 （不包括最后一个开关），将其标记为“关”后，从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包
括第1个开关），发现第 个开关状态为“关”
C．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），计数发现第 （ 为合数）个开关为
“开”，将其标记为“关”后从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包括第1个开关），发现第
个开关状态为“关”
D．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），并将沿途的 个开关均标记为“开”，
第 个开关标记为“关”，再从这个“关”的开关开始逆时针计数（不包括第1个开关），直至第一
次遇到状态为“关”的开关，计数为 （包括最后1个开关），
【答案】BD
【解析】对于A.显然错误，例如5个灯，第1、4个为“开”；
对于B.发现第m个开关为“关”只能是小郅手动关上的，而顺时针途经过程中没有其他“开”的开关，所
以m为开关总数，B正确；
对于C.顺时针沿途可能遇到状态为“开”的开关，所以可能绕了不止一圈，例如，开关总数为5，取
m=10，绕了两圈，开关总数为10的非1因子（所以m取合数时都可能无法一次确定开关个数）；
对于D.第1~m-1个开关均为“开”，第m个开关为“关”，假设环绕不足一圈，则 ，矛盾，于是
环绕数大于等于一圈；而不论环绕是否多于一圈，两个“关”的开关之间一定间隔一圈，即逆时针一定只
环绕一圈，所以n为所求，D正确.
故选:BD.
13．（2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或
“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设
起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则 灯区最终仍处于“点亮”
状态的概率为 ．
【答案】
【解析】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有 种按法．与 相邻的灯区为 ；与 相邻的灯区为 ，故将9个灯区分为三类：第一类 灯区，第二类
灯区，第三类 灯区．若要使得 灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随
机先后按两个不同灯区．
若先后按下的是 两个灯区，则 灯区最终仍处于“点亮”状态，共有 种按法；
①
若先后按下的是 灯区中的两个，则 灯区最终仍处于“点亮”状态，共有 种按法；
②
若先后按下的是 灯区中的两个，则 灯区最终仍处于“点亮”状态，共有 种按法．故
③
灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
故答案为： ．
14．（2025·云南昆明·一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现
有 枚黑色棋子和 枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的
概率为 ．
【答案】
【解析】若两端的棋子颜色不同，那么两端的棋子的颜色分布有 种可能，中间的棋子的颜色分布有
种可能.
所以两端棋子颜色不同的概率为 ，故两端是同色棋子的概率为 .
故答案为： .
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知 ，记 ，若 是唯一的最大
值，则 的值为 .
【答案】13.8【解析】依题意， ，由 是唯一的最大值，得
即 则
即 解得 ，而 ，因此 ，所以 ，
所以 .
故答案为：13.8
16．（2025·广东惠州·模拟预测）有 个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要
求所有人握手时手臂互不交叉，例如 时，一共有4个人，以 、 、 、 表示，握手两人用一条线连
结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有 对相邻的两人握手，当 时， 的数学期望
.
【答案】
【解析】当 时，按顺时针方向把人标记为 ， ， ， ， ， ，用 表示 和 握手.
若1和2握手，共有两种方法： ， 和 ，
若1和6握手，共有两种方法： ， 和 ，
若1和4握手，共有1种方法： ， ，所以一共有5种方法。
当 时，
若1和2握手，剩下6个人，情况同 ，共5种方法，若1和8握手，剩下6个人，情况同 ，共5种方法，
若1和4握手，则2和3握手，5，6，7，8之间握手情况同 ，一共2种，从而 种方法；
若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法；
所以，一共有 种方法.
其中，共2种方法使得 （相邻两人按顺时针或逆时针方向依次握手），
共4种方法使得 （类似 ， ， ， 等），
共8种方法使得 （类似 ， ， ， 等），
的分布列如下：
2 3 4
故 .
故答案为： .
