文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.10方程（组）与不等式相结合的解集问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
{x+2y=3m−6
1．（2021春•成都月考）若关于x，y的方程组 的解满足x+y＜2，求出满足条件的m的所
2x+ y=3
有非负整数值．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即
可．
【解析】方程组两式相加，得3x+3y＝3m﹣3，
即x+y＝m﹣1，
∵x+y＜2，
∴m﹣1＜2，
∴m＜3，
则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2．
{2x−y=3k−2
2．（2021春•海珠区期中）已知关于x，y的二元一次方程组 （k为常数）．
2x+ y=1−k
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）．
（2）若方程组的解x，y满足x﹣y＞5，求k的取值范围．
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
（4）若（4x+2）2y﹣1＝1，直接写出k的值．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；
m+5
（3）由m＝2x﹣3y得出m＝7k﹣5，即可得出k= ≤1，解不等式即可求得m的正整数解；
7
2k−1 3−4k
（4）根据题意得出4× +2＝±1或2× −1＝0，解得即可．
4 2
{2x−y=3k−2①
【解析】（1） ，
2x+ y=1−k②2k−1
①+②得，4x＝2k﹣1，解得x= ；
4
3−4k
②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y= ，
2
2k−1
{x=
∴二元一次方程组的解为 4 ；
3−4k
y=
2
（2）∵方程组的解x、y满足x﹣y＞5，
2k−1 3−4k
∴ − ＞5，
4 2
2k﹣1﹣2（3﹣4k）＞20，
2k﹣1﹣6+8k＞20，
10k＞27，
27
k＞ ；
10
2k−1 3−4k
（3）m＝2× −3× =7k﹣5，
4 2
m+5
∴k= ≤1，
7
解得m≤2，
∵m是正整数，
∴m的值是1，2．
（4）若（4x+2）2y﹣1＝1，
3−4k
∵2× −1＝2（1﹣2k），
2
2k−1 3−4k
则4× +2＝±1或2× −1＝0，
4 2
1
解得k＝0或﹣1或 ．
2
{2x+ y=3k−1
3．（2021春•牧野区校级期末）关于x、y的元一次方程组 的解满足x+y＞1，求k的取值
x+2y=−2
范围．
【分析】先把方程组的两个方程相加求出x+y＝k﹣1，再解不等式即可解答．【解析】由方程组解x+y＝k﹣1，
由x+y＞1，
得：k﹣1＞1，
解得：k＞2．
故k的取值范围是k＞2．
{x−y=a+3
4．（2021春•福州期中）关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式x+2y＞5，求a的取值
2x+ y=5a
范围．
【分析】先把两式相减求出x﹣y的值，再代入x+2y＞5中得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
{x−y=a+3①
【解析】 ，
2x+ y=5a②
②﹣①得：x+2y＝4a﹣3，
∵x+2y＞5，
∴4a﹣3＞5，
解得a＞2．
故a的取值范围为a＞2．
{ x+ y=m+1
5．（2017春•湖里区校级月考）已知关于x、y的方程组 ．
x−y=3m−1
（1）若方程组的解满足3x﹣4y＝1，求m的值；
（2）若方程组的解满足x＞y，求m的最小整数解．
【分析】（1）由方程组解出x、y，再代入3x﹣4y＝1即可解决问题．
（2）把x、y代入x＞y，得到关于m的不等式，解得即可．
{ x+ y=m+1 { x=2m
【解析】（1）由方程组 ，解得
x−y=3m−1 y=1−m
∵3x﹣4y＝1，
∴3×2m﹣4（1﹣m）＝1，解得m＝0.5；
（2）∵x＞y，
∴2m＞1﹣m，
1
∴m＞ ，
3
∴求m的最小整数解为1．
{ 2x−y=m+3
6．（2021春•高邮市期末）若关于x，y的二元一次方程组 ．
x+2y=4−7m（1）若方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝7的解，求m的值．
（2）若方程组的解满足x＞y+1，求m的取值范围．
【分析】（1）把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值．
（2）把x和y用含有m的式子表示，代入x＞y+1，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
{ x=2−m
【解析】（1）解方程组得 代入x﹣3y＝7，得2﹣m﹣3（1﹣3m）＝7，
y=1−3m
解得：m＝1；
{ x=2−m
（2）由（1）得 代入x＞y+1，
y=1−3m
得2﹣m＞1﹣3m+1，
解得m＞0．
{3x+ y=4m+2
7．（2021春•赣州期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
x−y=6
{x=m+2
（1）用含有m的式子表示上述方程组的解是 ；
y=m−4
（2）若x、y是相反数，求m的值；
（3）若方程组的解满足x+y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可；
（3）根据（1）的结论，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．
{3x+ y=4m+2①
【解析】（1） ，
x−y=6②
①+②得：4x＝4m+8，
∴x＝m+2，
把 x＝m+2代入②得m+2﹣y＝6，
∴y＝m﹣4，
{x=m+2
故方程组的解为 ；
y=m−4
{x=m+2
故答案为： ；
y=m−4
（2）由题意，得m+2+m﹣4＝0，
解得m＝1；
（3）由（1）得x+y＝（m+2）+（m﹣4）＝2m﹣2，∵x+y＜3，
∴2m﹣2＜3，
5
∴m＜ ．
2
所以满足条件的m的所有非负整数值为：0，1，2．
{3x−5 y=4m
8．（2021秋•义乌市期中）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
5x−3 y=8
（1）若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值．
（2）若方程组的解满足x＜﹣y，求满足条件的整数m的最小值．
【分析】（1）用加减消元法解出x和y的值，把x和y用含有m的式子表示，代入x﹣y＝6，求出m的
值即可；
（2）把x和y用含有m的式子表示，代入x+y＜0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
{3x−5 y=4m①
【解析】（1） ，
5x−3 y=8②
1
①+②得：8x﹣8y＝4m+8，即x﹣y＝1+ m，
2
1
代入x﹣y＝6得：1+ m＝6，
2
解得：m＝10，
故m的值为10，
（2）②﹣①得：2x+2y＝8﹣4m，即x+y＝4﹣2m，
∵x＜﹣y，
∴x+y＜0，
∴4﹣2m＜0，
解得：m＞2，
故m的取值范围为：m＞2，
∴满足条件的整数m的最小值为3．
{x+2y=m+1
9．（2021春•南岗区校级月考）当m为何值时，关于x、y的二元一次方程组 的解x、y满
2x+ y=3
足x＞y．
【分析】解方程组求出x﹣y，根据x﹣y＞0列出关于m的不等式，解之可得．
{x+2y=m+1①
【解析】 ，
2x+ y=3②②﹣①得x﹣y＝2﹣m，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴2﹣m＞0，
解得m＜2．
{ x+ y=7k
10．（2021春•隆昌市校级月考）若关于x、y的二元一次方程组 ．
x−2y=k+6
（1）若方程组的解满足x﹣y＝1，求k的值；
（2）若x﹣y≤1，求k的取值范围．
{x=5k+2
【分析】（1）解关于x、y的方程组得出 ，据此知x﹣y＝3k+4，再结合x﹣y＝1可得关于k
y=2k−2
的方程，解之即可；
（2）根据x﹣y≤1得出关于k的不等式，解之即可．
{ x+ y=7k {x=5k+2
【解析】（1）解方程组 得 ，
x−2y=k+6 y=2k−2
则x﹣y＝3k+4，
∵x﹣y＝1，
∴3k+4＝1，
解得k＝﹣1；
（2）∵x﹣y≤1，
∴3k+4≤1，
解得k≤﹣1．
{ x−y=4m
11．（2021春•偃师市期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞﹣5，求m
2x+ y=−m+3
的取值范围．
【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出解集即可确定出m的范围．
{ x−y=4m①
【解析】方程组 ，
2x+ y=−m+3②
①+②得：3x＝3m+3，
解得：x＝m+1，
把x＝m+1代入①得：m+1﹣y＝4m，
解得：y＝﹣3m+1，{ x=m+1
∴方程组的解为 ，
y=−3m+1
代入x+y＞﹣5得：﹣2m+2＞﹣5，
7
解得：m＜ ．
2
{x+ y=−7−m
12．（2021春•饶平县校级期末）已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
x−y=1+3m
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然
后再化简（2），最后求得m的值．
{ x=m−3
【解析】（1）解原方程组得： ，
y=−2m−4
∵x≤0，y＜0，
{ m−3≤0
∴ ，
−2m−4＜0
解得﹣2＜m≤3；
（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，∴2m+1＜0，
1
∴m＜− ，
2
1
∴﹣2＜m＜− ，
2
∴m＝﹣1．
{2x+ y=−3m+2
13．（2019春•房山区期中）关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＞5．求m的取
x+2y=m
值范围．
【分析】将两个方程相加得出3x+3y＝﹣2m+2，结合x+y＞5知3x+3y＞15，据此列出关于m的不等式，
解之可得．【解析】两个方程相加可得3x+3y＝﹣2m+2，
∵x+y＞5，
∴3x+3y＞15，
则﹣2m+2＞15，
13
解得m＜− ．
2
{x+ y=−1−3a
14．（2021春•南京月考）已知关于x、y的方程组 的解x是负数，y是非负数．
−x+ y=7+a
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|a+1|+|a﹣3|；
（3）如果a满足|a+1|+|a﹣3|＝5，试求a的值．
{−4−2a＜0
【分析】（1）解出方程组，根据题中所给条件得到不等式组 ，求出a的范围即可；
3−a≥0
（2）根据（1）的范围，分两种情况化简：当﹣2＜a＜﹣1时，|a+1|+|a﹣3|＝2﹣2a；当﹣1≤a≤3时，|
a+1|+|a﹣3|＝4；
（3）由（2）可知﹣2＜a＜﹣1，则|a+1|+|a﹣3|＝2﹣2a＝5，求出a值即可．
{x=−4−2a
【解析】（1）解方程组，得 ，
y=3−a
∵x是负数，y是非负数，
{−4−2a＜0
∴ ，
3−a≥0
∴﹣2＜a≤3，
∴a的取值范围是﹣2＜a≤3；
（2）∵﹣2＜a≤3，
当﹣2＜a＜﹣1时，|a+1|+|a﹣3|＝﹣a﹣1+3﹣a＝2﹣2a；
当﹣1≤a≤3时，|a+1|+|a﹣3|＝a+1+3﹣a＝4；
（3）∵|a+1|+|a﹣3|＝5，
由（2）可知﹣2＜a＜﹣1，
此时|a+1|+|a﹣3|＝2﹣2a＝5，
3
∴a=− ，
2
3
∴a的值为− ．
2{ x+ y=4
15．（2021春•锦江区校级期中）关于x，y的二元一次方程组 的解是正数．
2x−y=3p+2
（1）用含p的代数式表示方程组的解x＝ p + 2 ，y＝ ﹣ p + 2 ．
（2）求整数p的值．
【分析】（1）将p看做常数，利用加减消元法求解可得；
（2）根据方程组的解为正数列出关于p的不等式组，解之求出p的取值范围，从而得出答案．
{ x+ y=4 ①
【解析】（1） ，
2x−y=3p+2 ②
①+②，得：3x＝3p+6，
解得x＝p+2，
将x＝p+2代入①，得：p+2+y＝4，
∴y＝﹣p+2，
故答案为：p+2，﹣p+2；
{ p+2＞0 ③
（2）根据题意，得： ，
−p+2＞0 ④
解不等式③，得：p＞﹣2，
解不等式④，得：p＜2，
∴﹣2＜p＜2，
则整数p的值为±1或0．
{x+ y=−6+m
16．（2021春•江都区校级期末）已知关于x，y的方程组 ．
x−y=3m−2
（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）若方程组的解同时满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下化简|m﹣2|+|3﹣m|．
【分析】（1）利用加减法解关于x、y的方程组；
{2m−4≤0
（2）利用方程组的解得到 ，然后解关于m的不等式组即可求解；
−m−2＜0
（3）根据（2）的结论﹣2＜m≤2进行化简即可求解．
{x+ y=−6+m①
【解析】（1） ，
x−y=3m−2②
由①+②，得2x＝4m﹣8，解得x＝2m﹣4，
由①﹣②，得2y＝﹣2m﹣4，解得y＝﹣m﹣2，{x=2m−4
所以原方程组的解是 ；
y=−m−2
（2）∵x为非正数，y为负数，
∴x≤0，y＜0，
{2m−4≤0
即 ，
−m−2＜0
解得﹣2＜m≤2；
（3）∵﹣2＜m≤2，
∴|m﹣2|+|3﹣m|＝2﹣m+3﹣m＝5﹣2m．
{2x+ y=3a+2
17．（2021春•涟水县期末）若关于x，y的二元一次方程组
x+2y=1
（1）若x+y＝1，求a的值为 0 ．
（2）若1≤x﹣y≤4，求a的取值范围．
（3）在（2）的条件下化简|a|+|a﹣1|．
{2x+ y=3a+2①
【分析】（1）方程组 ，①+②得x+y＝a+1，根据题意得到a+1＝1，解得即可；
x+2y=1②
（2）①﹣②得x﹣y＝3a+1，根据题意得到1≤3a+1≤4，解不等式组即可；
（3）根据绝对值的意义化简即可．
{2x+ y=3a+2①
【解析】（1） ，
x+2y=1②
①+②得，3x+3y＝3a+3，即x+y＝a+1，
∵x+y＝1，
∴a+1＝1，
∴a＝0，
故答案为0；
（2）①﹣②得x﹣y＝3a+1，
∵1≤x﹣y≤4，
∴1≤3a+1≤4，
解得0≤a≤1；
（3）∵0≤a≤1，
∴|a|+|a﹣1|＝a+1﹣a＝1．
{2x+ y=5k+8
18．（2021春•镇江期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
2x−y=7k1
（1）若方程组的解满足方程 x﹣2y＝5，求实数k的值；
3
（2）若方程组的解满足条件x＞0，且y＞0，求实数k的取值范围．
{x=3k+2 1 3k+2
【分析】（1）利用加减消元法求解得出 ，根据 x﹣2y＝5得 −2（﹣k+4）＝5，解之
y=−k+4 3 3
即可；
{3k+2＞0 ①
（2）根据x＞0，且y＞0知 ，分别求解可得答案．
−k+4＞0 ②
{2x+ y=5k+8 {x=3k+2
【解析】（1）解方程组 ，得： ，
2x−y=7k y=−k+4
1
∵ x﹣2y＝5，
3
3k+2
∴ −2（﹣k+4）＝5，
3
37
解得k= ；
9
（2）∵x＞0，且y＞0，
{3k+2＞0 ①
∴ ，
−k+4＞0 ②
2
解不等式①，得：k＞− ，
3
解不等式②，得：k＜4，
2
∴− ＜k＜4．
3
{ x−y=4m①
19．（2020春•万州区期末）已知方程组 的解满足x﹣2y＜8．
2x+ y=2m+3②
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求代数式2（m2﹣m+1）﹣3（m2+2m﹣5）的值．
【分析】（1）解方程组得出x＝2m+1，y＝1﹣2m，代入不等式x﹣2y＜8，可求出m的取值范围；
（2）根据题意求出m＝1，化简原式即可得出答案．
{ x−y=4m① {x=2m+1
【解析】（1）解方程组 得， ，
2x+ y=2m+3② y=1−2m
∵x﹣2y＜8，
∴2m+1﹣2（1﹣2m）＜8，3
解得，m＜ ．
2
3
（2）∵m＜ ，m为正整数，
2
∴m＝1，
∴原式＝2m2﹣2m+2﹣3m2﹣6m+15＝﹣m2﹣8m+17．
当m＝1时，原式＝﹣1﹣8+17＝8．
{2x−y=3k−2
20．（2019春•宿城区校级月考）已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
2x+ y=1−k
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；
m+5
（3）由m＝2x﹣3y得出m＝7k﹣5，即可得出k= ≤1，解不等式即可求得m的正整数解；
7
{2x−y=3k−2①
【解析】（1） ，
2x+ y=1−k②
2k−1
①+②得，4x＝2k﹣1，解得x= ；
4
3−4k
②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y= ，
2
2k−1
{x=
∴二元一次方程组的解为 4 ；
3−4k
y=
2
（2）∵方程组的解x、y满足x+y＞5，
2k−1 3−4k
∴ + ＞5，
4 2
2k﹣1+2（3﹣4k）＞20，
2k﹣1+6﹣8k＞20，
﹣6k＞15，
5
k＜− ；
22k−1 3−4k
（3）m＝2× −3× =7k﹣5，
4 2
m+5
∴k= ≤1，
7
解得m≤2，
∵m是正整数，
∴m的值是1，2．
{x+ y=−10−2m
21．（2021春•南充期末）已知关于x，y的方程组 ，的解满足x为非正数，y为负数．
x−y=2+4m
（1）求m的取值范围；
（2）计算|m﹣4|+|m+2|．
{ m−4≤0
【分析】（1）利用加减法解关于x、y的方程组，根据题意得到 ，然后解关于m的不等
−3m−6＜0
式组即可求解；
（2）根据（1）的结论﹣2＜m≤4进行化简即可求解．
{x+ y=−10−2m①
【解析】（1） ，
x−y=2+4m②
由①+②，得2x＝2m﹣8，解得x＝m﹣4，
由①﹣②，得2y＝﹣6m﹣12，解得y＝﹣3m﹣6，
∵x为非正数，y为负数，
{ m−4≤0
∴ ，
−3m−6＜0
解得﹣2＜m≤4；
（2）∵﹣2＜m≤4，
∴|m﹣4|+|m+2|＝4﹣m+m+2＝6．
{2x−y=3k−2
22．（2019春•新野县期中）已知关于x的二元一次方程组 （k为常数）．
2x+ y=1−k
（1）求这个二元一次方程组的解（用k的代数式表示）．
（2）若方程组的解满足x+y＞5，求k的取值范围．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
2k−1 3−4k
（2）由方程组的解满足x+y＞5，得 + ＞5，解之可得．
4 2
【解析】（1）①+②得4x＝2k﹣1，2k−1
∴x= ，
4
3−4k
代入①得y= ，
2
2k−1
{x=
所以方程组的解为 4 ；
3−4k
y=
2
（2）方程组的解满足x+y＞5，
2k−1 3−4k
所以 + ＞5，
4 2
5
∴k＜− ．
2
{3x−2y=m+2
23．（2020春•岳麓区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组 ．
2x−y=m−5
（1）求这个二元一次方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足﹣5＜x+y＜1，求m的范围．
【分析】（1）用加减法或代入法求解即可；
（2）根据题意，得到关于m的一次不等式组，求解即可．
{3x−2y=m+2①
【解析】（1） ，
2x−y=m−5②
②×2﹣①，得x＝m﹣12，
把x＝m﹣12代入②，得2m﹣24﹣y＝m﹣5，
∴y＝m﹣19，
{x=m−12
∴ ；
y=m−19
{m−12+m−19＞−5
（2）由题意，得 ，
m−12+m−19＜1
解得，13＜m＜16．
{x+ y=−2m+3
24．（2019春•龙海市期中）若关于x、y的二元一次方程组
x+2y=4
（1）求这个方程组的解（用含m的代数式表示）．
（2）若方程组的解满足x﹣y＞﹣8，求满足条件的m的正整数值．
【分析】（1）用加减法或代入法求解即可；（2）根据题意，得到关于m的一次不等式，求值即可．
{x+ y=−2m+3①
【解析】（1）
x+2y=4②
②﹣①，得y＝4+2m﹣3＝2m+1，
把y＝2m﹣1代入①，得x+2m+1＝﹣2m+3
∴x＝﹣4m+2
{x=−4m+2
∴
y=2m+1
（2）由题意，得﹣4m+2﹣（2m+1）＞﹣8，
整理．得﹣6m＞﹣9
3
∴m＜
2
3
由于满足m＜ 的正整数只有1，
2
所以满足条件的m的正整数值为1．
