文档内容
专题 24 直线和圆的方程
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
Ⅰ、直线的方程
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， x 轴正向 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直
线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝
tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 24．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y － y ＝ k ( x － x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ ( x ≠ x ， y ≠ y ) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2 ＋ B 2 ≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
温馨提示：
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应
注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
Ⅱ、两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
直线l ：y＝kx＋b ，l ：y＝kx＋b ，l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0(其中l 与l 是同一直线，l
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2 1 3 2
与l 是同一直线，l 的法向量v＝ ( A ， B )，l 的法向量v＝ ( A ， B )的位置关系如下表：
4 3 1 1 1 4 2 2 2
位置关系 法向量满足的条件 l，l 满足的条件 l，l 满足的条件
1 2 3 4
AB － A B ＝ 0 且
1 2 2 1
平行 v∥v k ＝ k 且 b ≠ b
1 2 1 2 1 2
AC － A C ≠0
1 2 2 1
垂直 v⊥v k · k ＝－ 1 AA ＋ B B ＝ 0
1 2 1 2 1 2 1 2
v 与v
1 2
相交 k ≠ k AB － A B≠0
1 2 1 2 2 1
不共线
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
②结论：|PP|＝.
1 2
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0之间的距离d＝.
1 1 2 2
温馨提示：
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2
C )＝0(λ∈R)，但不包括l.
2 2
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
Ⅲ、圆的方程
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
标 圆心C ( a ， b )
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
方 准 半径为r
程 一 圆心C
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
般 半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2>r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|0
量化
几何观点 d>r d＝r d r ＋ r
1 2
外切 d ＝ r ＋ r
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r
1 2 1 2
内切 d ＝ | r － r|
1 2
内含 d < | r － r|
1 2
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元
二次方程，则|MN|＝·.
温馨提示：
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)
＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1
＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C 是否满足题意，以防丢解)．
1 2 2 2 2 2直线方程是解析几何的基础知识，在高考中直线方程与圆的方程常作为圆锥曲线知识点的基础内容
出现。
Ⅰ、直线的方程
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1). 直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
答案 A
分析 先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解.
详解 设直线的 的倾斜角为 ，且 ，
直线 的斜率 ，所以 ，
故选：A
(2)．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ， ，斜率k（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
分析 根据斜率与倾斜角的变化关系即可求解.
详解 由于 ，且 ，
所以 或 ，
故选：D
方法归纳： 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角
的范围时，要分与两种情况讨论．
题型二 求直线的方程
例2已知直线 和直线 都过点 ，求过点 和点 的直线方程
．答案
分析 根据 ， 得出所求直线方程.
详解 因为直线 和直线 都过点 ，
所以 ， .
由上式可得点 和点 都在直线 上，
即过点 和点 的直线方程为 .
故答案为：
方法归纳： 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线 过点 且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，
(1)求三角形 面积取最小值时直线 的方程；
(2)求 取最小值时直线 的方程．
答案 (1) ；
(2) .
分析 （1）由题意设 ， ，由条件结合基本不等式求 取得最小值时 和 的值即可求解；
（2）结合（1），利用基本不等式计算 取得最小值时 和 的值即可求解；
详解 （1）由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ， ，当且仅当 即 时， 取得最小值 ，
所以 面积 ，
所以当 ， 时， 面积最小，
此时直线 的方程为 ，即 ，
（2）因为 ， ，
所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以当 ， 时， 的值最小，
此时直线 的方程为 ，即 ．
方法归纳： 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的
函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
Ⅱ、两条直线的位置关系
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知直线 ，直线 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
答案 (1)
(2) 或 .分析 （1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
详解 （1）因为 ，所以 ，
整理得
解得 或 .
当 时， 重合；
当 时， ，符合题意.
故 .
（2）因为 ，所以
解得 或 .
方法归纳： 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)．已知直线 与直线 互相垂直，交点坐标为 ，则 的值
为（ ）
A．20 B． C．0 D．24
答案 B
分析 根据两直线垂直可求出 的值，将公共点的坐标代入直线 的方程，可得出 的值，再将公共点的坐
标代入直线 的方程，可得出 的值，由此可得出 的值.
详解 已知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
又两直线垂直，则 ，解得 ．
，即 ，将交点 代入直线 的方程中，得 ．
将交点 代入直线 的方程中，得 ．
所以， ．
故选：B．
(2)．已知两条平行直线 ， 间的距离为3，则 等于（ ）
A． B．48 C．36或48 D． 或48
答案 D
分析 由两直线平行，求出 的值，由平行直线间的距离求出 的值，可得 .
详解 将 改写为 ，
因为两条直线平行，所以 ．
由 ，解得 或 ，
所以 或48．
故选：D.
方法归纳： 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x，y)到直线x＝a的距离d＝|x－a|，到直线y＝b的距离d＝|y－b|.
0 0 0 0
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直
1 2
线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l 与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l 上，代入l
1 2 2
的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例4（多选） 一光线过点 ，经倾斜角为 的且过 的直线 反射后过点 ，则反射后的光线
还经过下列哪些点（ ）
A． B．C． D．
答案 BC
分析 点 关于直线 的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解.
详解 倾斜角为 的且过 的直线 的方程为 ，即 .
设点 关于直线 的对称点 ，
则有 ，即 ，解得 ，即 .
于是反射后的光线所在的直线方程 为 ，即 .
对于A： 在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点 ，故A错误；
对于B： 时 ，故B正确；
对于C： 时 ，故C正确；
对于D： 时 ，故D错误；
故选：BC.
命题点3 线关于线对称
例5 过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线 对称的直线 的倾斜角不可能为
（ ）
A．θ B． C． D．答案 C
分析 利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
详解 设直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为直线 和直线 关于直线 对称，
所以直线 和直线 也关于直线 对称 ，
所以 或 ，
对于A，当 时， ，所以A正确，
对于B，当 时， ，所以B正确，
对于C，若 ，则 不成立，且 也不成立，所以C错误，
对于D，当 时， ，所以D正确.
故选：C
方法归纳： 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
Ⅲ、圆的方程
题型一 圆的方程
例1 圆心在直线 上，且经过点 ， 的圆的方程为 ．
答案
分析 直线 和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.
详解 圆经过点 和 ， ，AB中点为 ，
所以线段AB的垂直平分线的方程是 ．
联立方程组 ，解得 ．
所以，圆心坐标为 ，半径 ，
所以，此圆的标准方程是 ．故答案为： .
方法归纳： (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知 是圆 上的动点， ， 为 的中点，则点 的轨迹方程为 ．
答案
分析 根据给定条件，利用坐标代换法求出轨迹方程.
详解 设点 ，由 为 的中点，得 ，
由点 在圆 上，得 ，即 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
方法归纳： 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3.已知 是圆 上的一点，则 的最小值是
答案
分析 即求圆上动点 到点 的距离的最小值，求出点 到圆心的距离即可得出.
详解 表示圆上的动点 到点 的距离，
由 可化为 ，则圆心为 ，半径为 ，点到圆心的距离为 ，
所以点 到点 的距离的最小值为 ，
即 的最小值是 .
故答案为： .
命题点2 利用函数求最值
例4 设 ，已知圆 ，圆 ，过圆 上任意一点
作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
答案 C
分析 设 ，可得出 ，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出
，利用圆的几何性质求得 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得
的最小值.
详解 设 ，则 ，
由切线长定理可得 ， ， ，，
圆心 的坐标为 ，则 ，
由图可得 ，即 ，则 ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递增，
所以，当 时， 取得最小值 .
故选： .
【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值.
方法归纳： 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判
别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，
把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之
和，一般要通过对称性解决．
Ⅳ、直线与圆，圆与圆的位置关系
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 已知直线 ，圆 ，点 在圆内，则（ ）
A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相离 D．不确定
答案 C
分析 由题意结合点到直线的距离公式，判断圆心 到直线 的距离与半径的大小关系，
即得答案.
详解 由题意知点 在圆 内，故 ，故圆心 到直线 的距离 ，
故直线l与圆C相离，
故选：C
方法归纳： 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 当圆 截直线 所得的弦长最短时，实数 （ ）
A． B． C． D．1
答案 B
分析 先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可.
详解 将直线 的方程变形为 ，由 ，可得 ，
所以，直线 经过定点 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
因为 ，即点 在圆 内，
故当 时，圆心 到直线 的距离取最大值，此时，直线 截圆 所得弦长最短，
，直线 的斜率为 ，所以， ，解得 ．
故选：B．
方法归纳： 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3 切线问题
例3 过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 .若 ，则
点 的坐标为（ ）A．
B． 或
C．
D． 或
答案 B
分析 根据点 在直线设为 ，结合题中条件可求得 ，利用两点间的距离公式建立方程，
求解即可.
详解 因为点 在直线 上，
可设 ，
又 是圆的两条切线，且 ，
所以 , , ,
所以 ,
即 ，
化为 ，
解得 或 ，
所以点 坐标为 ，
故选：B.
方法归纳： 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d
0 0
＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后
0 0
令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4 已知点 ， 为圆 上一动点， 为直线 上一点，则 的最小
值为 .
答案
分析 设 ， ，且 ，列式化简求得定点 ，然后把距离问题转化为
最小，数形结合，利用点到直线距离公式三点共线时最短，即可得解.
详解 不妨设x轴上定点 使得满足 ， ，
则 ，整理得， ，
又 ，所以 ，则 ，
解得 ，所以 ，使得 ，
要使 最小，则 最小，
所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线 时取得最小值，如图所示.
故 的最小值为点B到直线 的距离 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若 为两定点，动点 满足 ，则 时，动点 的轨迹为直线；当 且 时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助
阿波罗尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值.
方法归纳： 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关
于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)已知圆 ，圆 ，则圆 的位置关系为
（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
答案 C
分析 将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关
系即可.
详解 圆 ，化为 ，圆心为 ，半径为 ；
圆 ，化为 ，圆心为 ，半径为 ．
则两圆心距离为 ，
因为 ，所以圆 与圆 相交．
故选：C．
(2)已知圆 与圆 的公切线条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
分析 求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解.
详解 圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，所以两圆外切，
所以圆 与圆 的公切线有3条.
故选：C方法归纳： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，
一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
