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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.11 二次函数与几何综合问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷
规定的位置．
一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2020秋•朝阳县期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为 与点 ，
与 轴交于点 ．
（1）求此二次函数关系式和点 的坐标；
（2）请你直接写出 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
2．（2020秋•增城区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图的顶点为点 ，与
轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点 是 轴上一动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；
（3）如图，若点 是该抛物线上一点， 是直线 下方抛物线上的一动点，点 到直线 的距
离为 ，求 的最大值．3．（2021•沙依巴克区三模）如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点
（点 在点 的右边），且 ．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小
值．
（3）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为 两部分，求点 的坐标．
4．（2021•柳南区校级模拟）综合与探究：
如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ， ，连接 和 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是第四象限内抛物线上的动点，连接 和 ．求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）若点 是 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2020秋•卧龙区期末）如图，已知抛物线 经过 、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使点 到点 和点 的距离之和最小，求出此时点 的坐标；
（3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使 为直角三角形时点 的坐标．
6．（2021•洛阳一模）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线 经
过 、 ，且与 轴另一交点为 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点 的横坐标；
（3）点 从点 出发，沿线段 由 向 运动，同时点 从点 出发沿线段 由 向 运动， ，
的运动速度都是每秒1个单位长度，当 点到达 点时， ， 同时停止运动，问在坐标平面内是否
存在点 ，使 ， 运动过程中的某些时刻 ，以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，直
接写出 的值；若不存在，说明理由．7．（2021•历城区模拟）如图，若一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 的
坐标为 ，二次函数 的图象过 、 、 三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，若点 在直线 下方的抛物线上运动，过 点作 ，交线段 于点 ，在点 运
动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）点 在 轴右侧的抛物线上运动，过 点作 轴的垂线，与直线 交于点 ，若
，请在备用图上画出示意图，并直接写出点 的坐标．
8．（2021•郴州）将抛物线 向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛物线
．抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．已知 ，点 是抛物线
上的一个动点．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）如图1，点 在线段 上方的抛物线 上运动（不与 ， 重合），过点 作 ，垂足为， 交 于点 ．作 ，垂足为 ，求 的面积的最大值；
（3）如图2，点 是抛物线 的对称轴 上的一个动点，在抛物线 上，是否存在点 ，使得以点 ，
， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理
由．
9．（2021•江西模拟）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 是抛物线对称轴上的一点连接 ， ，求 的最小值．
（3）若 为 轴正半轴上一动点，过点 作直线 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ，
连接 ， ，当 时，请求出 的值．
10．（2021•晋中模拟）综合与探究：
如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，直线 经过
， 两点．（1）求 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式．
（2）点 是直线 上方抛物线上一点，其横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ．
当 时，求点 的坐标．
（3）在（2）的条件下，在 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
11．（2021•湖州模拟）二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ，直线 与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 上找点 （点 在第一象限），使得以点 ， ， 为顶点的三角形与以点 ， ， 为
顶点的三角形相似，求点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰
直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 在抛物线的对称轴上，且位于 轴的上方，将 沿直线 翻折得到△ ，点 恰好落
在抛物线的对称轴上．若点 为直线 下方抛物线上的一点，求当△ 面积最大时点 的横坐标；
（3）点 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点 使得 为等边三角形，
请直接写出此时直线 的函数表达式．
13．（2021•罗湖区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标
为 ，并与 轴交于点 ，点 是对称轴与 轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示， 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 ， ，求 的面积的最大
值；
（3）如图②所示，在对称轴 的右侧作 交抛物线于点 ，求出 点的坐标；并探究：在轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2021•咸宁一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
（1）直接写出抛物线的解析式为： ；
（2）点 为第一象限内抛物线上的一动点，作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 的垂线与
抛物线的对称轴和 轴分别交于点 ， ，设点 的横坐标为 ．
①求 的最大值；
②连接 ，若 ，求 的值．
15．（2021•诸城市一模）如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，经过 、 两点的
抛物线 与直线 交于 ， 两点．（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）点 是抛物线上位于直线 下方上的一个动点，当点 运动到什么位置时 的面积最大？最
大值是多少？
（3）在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条
件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点．与 轴交于点
且点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲 ．若点 是第一象限内抛物线上的一动点．当点 到直线 的距离最大时，求点 的坐
标；
（3）图（乙 中，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使得以 ， ，
， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021•连云港）如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，
已知 ．
（1）求 的值和直线 对应的函数表达式；
（2） 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标；
（3） 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．
18．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数
的图象都经过点 和点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ． 是线段 上一点
（点 与点 、 、 不重合）， 是射线 上一点，且 ，连接 ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，以 、 为邻边作 ．
（1）填空： ， ；
（2）设点 的横坐标是 ，连接 ．若 ，求 的值；
（3）过点 作 的垂线交线段 于点 若 ，求 的长．
19．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ， ，过点 的
直线 交抛物线于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点 是直线 下方抛物线上的一个动点 不与点 ， 重合），求 面积的最大值；
（3）若点 在抛物线上，将线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，是否存在点 ，使点 恰好落在
直线 上？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2021•增城区一模）已知抛物线 经过点 ，顶点为 ，对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点 的坐标；（2）如图1，抛物线与 轴交于点 ，连接 ，过 作 轴于点 ， 是线段 上的动点（点
不与 ， 两点重合）；
若直线 将四边形 分成面积比为 的两部分，求点 的坐标；
如图2，连接 ，作矩形 ，在点 的运动过程中，是否存在点 落在 轴上的同时点 恰好
落在抛物线上？若存在，求出此时 的长；若不存在，请说明理由．
21．（2021•广陵区一模）已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线 分
别交 轴正半轴和 轴于点 ， ．
（1）判断顶点 是否在直线 上，并说明理由；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点 ， ，且 ，结合图象，求 的取值
范围；
（3）如图2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， ， ， 都在二次函数图象上，试
比较 与 的大小．22．（2021•河南三模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为 上方抛物线上的动点，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，当 与 相
似时，求点 的坐标．
23．（2021•宿迁模拟）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ．与 轴交于点 ．连
接 ， ．已知 的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 ， 两点．过 ， 向 轴作垂线，垂足分别为 ，
．若四边形 为正方形，求正方形的边长；
（3）抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出满足条件 点的横坐标，
若不存在请说明理由．24．（2021春•新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，
两点，与 轴交于另一点 ，点 为该抛物线的顶点．
（1）顶点 的坐标为 ；
（2）将该抛物线向下平移 单位长度，再向左平移 个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的
顶点 在 内，求 的取值范围；
（3）若点 、点 为该抛物线上两点，连接 ，且 ，求点 的坐标．
