文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（湖北卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解：-2025的绝对值是 ，
故选：A．
2．2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆
放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】B
【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可．
【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转 得到另一个“巳”．
故选：B．
3．2025年大年初一上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》的中国票房收入2月13日夜间突破100亿元人民
币．该片是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片．它的成功意义远
不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．
将100亿用科学记数法表示应为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：100亿 ，
故选：C．
4．已知二元一次方程组 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相减即可得出结果．
【详解】解： ，
，得： ；
故选B．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可得出答案．
【详解】解： ，故A选项计算错误，不合题意；
，故B选项计算错误，不合题意；
与 不是同类项，不能合并，故C选项计算错误，不合题意；
，故D选项计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查同类项的定义，合并同类项的计算法则．多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，系数相加，字母及字母的指数不变，熟练掌握这些知识点是
解题的关键．
6．如图，在∆ABC中， ，将∆ABC沿直线 向右平移3个单位得到
，连接 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形 的周长为30
【答案】B
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得 ， ， ， ，
，据此对各结论逐一判断即可得答案．正确理解“平移前后对应线段平行且相等”是解
题关键．
【详解】解：∵将三角形 沿直线 向右平移3个单位得到三角形 ，连接 ， ，
∴ ， ， ， ， ，故A正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∵ ， ，
∴ ，故C正确；
∵ ， ，
∴四边形 的周长
，故D正确.
故选：B．
7．若关于x的方程 没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式 ，得
出关于 的一元一次不等式，并解不等式得出 的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有
两个相等的实数根，若 ，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
8．现有四张航天相关卡片，正面如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，
先从中随机抽取一张后放回，洗匀，再从中随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图
形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率、中心对称图形的识别，解题的关键是正确列表得到所有的
等可能的结果数．根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：以上4张卡片分别用 、 、 、 表示，其中卡片C是中心对称图形，
列表如下：
第二次第
一次共有 种等可能的结果，这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的结果有1种，
这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的概率为 ．
故选：C
9．一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐
标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．
若点 ，点 ，点 ，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为 ，
然后把C点的横纵坐标都乘以 得到其对应点D的坐标．
【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似，
而点 ，点 ，
∴相似比为 ，
∴点 的对应点D的坐标是 ，即 ．
故选：C．10．已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，对称轴为直线
．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为 ；④当
时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握
二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断 ， ， 的符号即可；②将点 代入
函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到
；④由 ， 得到 ， ，将 代入函数得 ，
从而推出当 时，该抛物线与直线 的图象无交点，即可判断．
【详解】解：由题图可知 ， ，
，故①正确；
当 时， ，即 ，故②正确；
二次函数与 轴的一个交点的横坐标为 ，对称轴为直线 ，
二次函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，
多项式 ，故③错误；当 时， 有最大值，即 ，
当 时，抛物线 与直线 的图象无交点，
即关于x的方程 无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B，点C是点B关于原点 的对称点，
连接AC，则∆ABC的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了反比例函数的 的几何意义、轴对称的性质，连接 ，由题意可得
，由轴对称的性质可得 ，从而得出 即可得解．
【详解】解：如图：连接 ，，
∵点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B，
∴ ，
∵点C是点B关于原点 的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，在∆ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两
弧相交于点M和N；②作直线 交 于点D，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了基本作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段
垂直平分线上点到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到 ，求得 的长，
进而可得到 的长．
【详解】解：由作图知， 是线段 的垂直平分线，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
13．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 分别与空竹 相切于点 ，且
，连接左右两个绳柄 ， 经过圆心 ，分别交 于点 ，经测量 ，则图
中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接 ，可证
，得到 ， ，利用三角函数可得 ，即得
，得到 ，最后根据 即可求解，正确作出辅助
线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，点 为切点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．对于实数 定义新运算： ，例如 ，若关于 的一元
二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，根据新运算列出一元二次方程，根据方程有2个相等的实数
根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解： ，
∵方程有2个相等的实数根，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
15．如图，把一张矩形纸片 沿 折叠，点 的对应点为 ， 交 于点 ．若点 为 的中
点， 平分 ，则 ．【答案】 /
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长 交 于点 ，可证
，得到 ，设 ， ，则 ，根据平行线分线段成
比例得到 ，得到 ，能够得到 ，根据勾股定理得
， ，能够得到 ，先计算 即可求得．
【详解】解：延长 交 于点 ，
由折叠得， ， ， ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
点 为 的中点，
，
设 ， ，则 ，
在矩形 中，
， ，
，即 ，
，
即 ，
，
即 ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
即 ，
化简得 ，
解得 （舍）， ，
即 ，
，
即 ，
故答案为： ．
三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10
分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（6分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1）0；（2） ．
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，整式的运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘法公式的计算，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式 ．(3分)
（2）原式 ．(6分)
17．（6分）
如图，已知 求证：
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
，(1分)
在 与 中，
，(4分)
，(5分)
．(6分)18．（7分）
数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随
机抽取部分学生参加了数学文化知识测试，并对数据（百分制）进行整理和分析（用 表示，单位：分，
成绩共分四个等级组：优秀： ；良好： ；合格： ；待提高： ），将数
据整理后，绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图．
(1)本次调查的样本容量是_______，图中 _________；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校八年级学生共有 人，请你估计八年级数学文化知识掌握的程度达到良好以上（含良好）的学
生大约有多少人？
(4)请对该校八年级学生“数学文化知识”的掌握情况作出合理的评价．（写出一条即可）
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) 人
(4)见解析
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量及条形与扇形统计图的综合利用．从统计图表中，有效
的获取信息是解题的关键．
（1）根据数据中“良好”的学生有 人，所占百分比为 ，用 除以 即可求解；根据样本容量及成
绩为“合格”的学生有 人，即可求出所占百分比 ；
（2）根据样本容量及“待提高”、“合格”、“良好”学生的人数，求出“优秀”学生的人数，补全条
形统计图即可；
（3）样本数据中达到良好以上（含良好）的学生有： （人），根据该数据在样本容量中所占百分
比，估计总体数量即可；
（4）根据数据中成绩低于80分的人数占样本容量的比例进行分析，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据数据中为“良好”的学生有 人，所占百分比为 ，
；又 数据中为“合格”的学生有 人，
．
故答案为： ， ；(2分)
（2）补全条形统计图如图所示：
(4分)
（3）样本数据中达到良好以上（含良好）的学生有： （人），
该校八年级数学文化知识掌握程度达到良好以上（含良好）的学生大约有 （人）；(6分)
（4）根据 ，可得：
数学文化知识测试成绩低于 分的人数占测试人数的 ，说明该校八年级学生对数学文化知识的掌握
情况不太好（答案不唯一，合理均可）．(7分)
19．（7分）
为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干
粉灭火器贵 元，用 元购买水基灭火器的个数恰好与用 元购买干粉灭火器的个数相同．
(1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价；
(2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共 个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售
价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过 元，最多可购买多少个水基灭火器？
【答案】(1)水基灭火器每个的价格是 元，干粉灭火器每个的价格是 元
(2)最多可购买 个水基灭火器．【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，理清题意，正确列出分式方程和一元一次不等
式是解答本题的关键．
（1）设水基灭火器每个的价格是 元，则干粉灭火器每个的价格是 元，根据“用 元购买水
基灭火器的个数恰好与用 元购买干粉灭火器的个数相同”列出分式方程，解之即可；
（2）设购买 个水基灭火器，则购买 个干粉灭火器，根据“学校用于购买两种灭火器的总费用不
超过 元”列出一元一次不等式，解出 的取值范围，即可得解．
【详解】（1）解：设水基灭火器每个的价格是 元，则干粉灭火器每个的价格是 元，
根据题意得： ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，也符合题意，
，
答：水基灭火器每个的价格是 元，干粉灭火器每个的价格是 元；(4分)
（2）解：设购买 个水基灭火器，
根据题意得： ，
解得： ，
为整数，
最大取 ，
答：最多可购买 个水基灭火器．(7分)
20．（8分）
如图，一次函数 （ ）的图象与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ，
且一次函数与 轴， 轴分别交于点C，D．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)点 坐标为
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）将点 坐标代入反比例函数解析式，求出 ，再将点 坐标代入反比例函数解析式，求出点 坐标，
最后将 ， 两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据 与 的面积关系，可求出点 的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将 代入 得，
∴ ，
反比例函数的解析式为 ，(1分)
将 代入 得， ，
点 的坐标为 ．
将点 和点 的坐标代入 得，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；(3分)
（2）解：根据所给函数图象可知，当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 ，
不等式 的解集为： 或 ．(5分)
（3）解：将 代入 得， ，
点 的坐标为 ，
，
．
将 代入 得， ，
点 的坐标为 ，
，
解得 ．
∵点 在第三象限，
∴ ，
将 代入 得， ，
点 坐标为 ．(8分)
21．（8分）
如图， 是 的直径，点 在 上，点 在 的延长线上， ， 平分 交
于点 ，连结 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判
定是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得
，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到 ，求得 ，连接 ，根据角平分线
的定义得到 ，求得 ，得到 ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；(4分)
（2）解： ， ，
，，
，
，
，
连接 ，
平分 ，
，
，
，
是 的直径，
，
．(8分)
22．（10分）
某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售
单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的 ，经试销发现，每天的销售量y（千克）与
销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且 时， 时， ．求：
(1)y与x之间的表达式；
(2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单
价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围．【答案】(1)
(2)当 时，最大利润为 元
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是
解题的关键．
（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润 每千克的利润 销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克
获利不得高于成本单价的 ”得出 的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值；
（3）根据“每天获得利润不低于 元”列出不等式，解不等式后结合 可得答案．
【详解】（1）解：设表达式为 ，将 和 代入 得：
，解得 ，
；(3分)
（2）解：∵这批白茶每千克获利不得高于 元，
根据题意得：
，
解得 ，
在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
∴当 时，最大利润为 元；(7分)
（3）解：当 时， ，
解得 或 ，
由 得，
∴销售单价的范围为 ．(10分)
23．（11分）
【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1， 是一个正方形花园， 是它的两个门，且 ，要修建两条路 和 ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要
作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题
又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形 中，点E是 上一点，连接 ，过点A作 的垂线交 于点F，垂足为
点G，若 ， ，求 的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在 中， ， ，点D是 上一点，连接 ，作 交
于点E，求证： ．
【拓展应用】
（3）如图4，在 中， ， ， ，作点A关于 的对称点D，点E为 上
一点，连接 ，过点D作 的垂线，交 于F，垂足为G，若E为 中点，则 _________．
【答案】（1） （2）见解析（3）
【分析】（1）利用矩形的性质证明 ，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题；
（2）作 ，延长 交 于点 ，利用等腰三角形性质，证明 ，得到
，再证明 ，利用相似三角形性质得到 ，结合等量代换，即可证明
；
（3）连接 ，交 于点 ，由对称的性质可知 于点 ， ，作 于点 ，
交 于点 ，利用三角形内角和证明 ，得到 ，利用等面积法求得，进而得到 ，设 ， ，利用勾股定理建立等式求解，得到 ，再证明
，利用相似的性质得到 ，再结合题干条件利用勾股定理得到 ，将 代入等式
求解，即可解题．
【详解】（1）解： 四边形 为矩形，
，
，
于点 ，
，
，
，
，
， ，
，
解得 ；(3分)
（2）证明：作 ，延长 交 于点 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
．(7分)
（3）解：连接 ，交 于点 ，由对称的性质可知 于点 ， ，作 于点
，交 于点 ，
， ，
，
， ， ，
， ，
，
，解得 ，
，
，
设 ， ，
有 ，
解得 ，
，
， ，，
，
，
，
E为 中点，
，
，
，解得 ．
故答案为： ．(11分)
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，
解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题
关键．
24．（12分）
如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经过原点和点 ．经过点 的直
线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 有最大值为 ；②当P的坐标为 或 时， 与 相似
【分析】（1）把 ， ， 代入 求解即可，利用待定系数法求出直线
解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ，
两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；(4分)
（2）解：①设 ，则 ，∴
，
∴当 时， 有最大值为 ；(8分)
②∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 轴，
∴ 轴，
∴ ，
当 时，如图，
∴ ，
∴ 轴，
∴P的纵坐标为3，
把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；当 时，如图，过B作 于F，
则 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为 或 时， 与 相似．(12分)
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
