专题2.10二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解_北师大初中数学_9下-北师大版初中数学_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第2套）

专题 2.10 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像与性质（知识讲解） 【学习目标】 y a(xh)2 k 1. 会用描点法画出二次函数 (a、h、k 常数，a≠0)的图像．掌握抛物线 y a(xh)2 k y ax2 与 图像之间的关系； y a(xh)2 k y a(xh)2 k 2. 熟练掌握函数 的有关性质，并能用函数 的性质解决一些 实际问题； y a(xh)2 k y a(xh)2 k y ax2 3.经历探索 的图像及性质的过程，体验 与 、 y ax2 k y a(xh)2 、 之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 【要点梳理】 要点一、函数 与函数 的图像与性质 1.函数 的图像与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y a0 向上 h，0 x=h 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值0． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y a0 向下 h，0 x=h 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值0． 2.函数 的图像与性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时， y 随x的增大而增大；xh时， y 随x的 a0 向上 h，k x=h 增大而减小；xh时， y 有最小值k． xh时， y 随x的增大而减小；xh时， y 随x的 a0 向下 h，k x=h 增大而增大；xh时， y 有最大值k． y  a(xh)2+k(a≠0） 特别说明：二次函数 的图像常与直线、三角形、面积问题结合在一起， 借助它的图像与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 2.性质： 要点二、二次函数的平移 1.平移步骤： yaxh2k h，k ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；yax2 h，k ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加 右减，上加下减”． 特别说明： y  ax2 bxc y m y  ax2 bxc ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 y  ax2 bxcm y  ax2 bxcm （或 ） y  ax2 bxc m y  ax2 bxc ⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 y  a(xm)2 b(xm)c y  a(xm)2 b(xm)c （或 ） 【典型例题】 1．已知二次函数经过点 ，且当 时，函数 有最大值4． （1）求二次函数的解析式； （2）直接写出一个与该函数图像开口方向相反，形状相同，且经过点 的二次函数解析式． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）设顶点式为y＝a（x−1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质，抛物线解析式为可设为y＝（x−1）2＋h，然后把（0，3）代入求出 h解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x−1）2＋4， 把（0，3）代入得a（0−1）2＋4＝3， 解得a＝−1， 所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋4；（2）设抛物线解析式为y＝（x−1）2＋h， 把（0，3）代入得1＋h＝3，解得h＝2， 所以满足条件的一个抛物线解析式为y＝（x−1）2＋2． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．当已知抛物线的顶点 或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图像上的坐标 特征． 举一反三： 【变式1】 已知函数 是二次函数． （1）求m的值； （2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）-3；（2） ，开口方向向下，对称轴是直线 ，顶点坐标 是（-2，-5） 【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不 等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a 的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题． 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴m≠3 ∴ （2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为 ∵a=-6＜0 ∴开口方向向下 ∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）． 【点拨】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质 是解决本题的关键． 【变式2】已知二次函数y＝－x2＋4x.(1)用配方法把该二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个函数图像与x轴的交点的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4);(2)(0，0)，(4，0) 【解析】试题分析：(1)先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可. (2)令 ，然后解一元二次方程即可. 试题解析：(1) y＝－(x－2)2＋4，其对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)． (2)令y＝0，则－x2＋4x＝0，∴x＝0，x＝4，∴这个函数图像与x轴的交点的坐标为(0， 1 2 0)，(4，0)． 【变式3】 已知抛物线 ，当 时，有最大值，且抛物线过点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1） ；（2）x的取值范围为 ；（3）抛物线 与y轴 的交点坐标为 ． 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为 ，把点 代入即可求解；（2） 根据函数的对称轴即可求解；（3）令x=0，即可求解． 解：（1）∵抛物线 ，当 时，有最大值， ∴抛物线的解析式为 ． ∵抛物线过点 ，∴ ，∴ ． ∴此抛物线的解析式 ． （2）∵抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线开口向下， ∴当 时，y随x的增大而增大． ∴x的取值范围为 ．（3）当 时， ， ∴抛物线 与y轴的交点坐标为 ． 【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用． 2．已知二次函数 ，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同， 小明的计算过程： ……①； ……②； ……③； 顶点坐标是 ……④； （1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步． （2）请写出此题正确的求顶点的计算过程． 【答案】（1）①；（2）见详解 【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案；（2）利用配 方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点 式，即可得到答案． 解：（1）y＝0.5x2−x−0.5 ＝0.5（x2−2x）−0.5 ① ＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ② ＝0.5（x−1）2−1③ ∴顶点坐标是（1，−1）④； 故答案为：①； （2）y＝0.5x2−x−0.5 ＝0.5（x2−2x）−0.5＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ＝0.5（x−1）2−1 ∴顶点坐标是（1，−1）． 【点拨】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般 式，掌握配方法，是解题的关键． 举一反三： 【变式1】确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1) ； (2) . 【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；(2)抛物线开口向下， 对称轴为直线 ，顶点坐标为 . 【分析】（1）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点 坐标； （2）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 解：(1)由 可知，二次项系数为 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； (2)由 可知，二次项系数为 ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 . 【点拨】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口 方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴． 3、把二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛 物线的解析式为____________． 【答案】 或 （答出这两种形式中任意一种均得分） 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解： 由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位长度所得抛物 线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2 （x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图像与几何变换． 【变式1】 抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当 x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x2向______平移______个单位得到． 【答案】 向上 (2，0) 直线x＝ 2 ≥2 2 小 0 右 2． 解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝ 2． 当x≥2时，y随x的增大而增大； 当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到． 故答案为：向上； （2，0）； 直线x＝ 2；≥2 ；2；小； 0； 右；2． 【变式2】将二次函数y=2x2﹣1的图像沿y轴向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为 ________． 【答案】y=2x2+1 【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图像对应的函数表达式． 解：由二次函数 的图像沿y轴向上平移2个单位，因此所得图像对应的函数表达式 为： ． 【点拨】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律是本题的解题关键. 4、一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式． 【答案】 【分析】设抛物线为： 根据抛物线的顶点坐标求解 ，再把 代入 解析式可得答案．解：设抛物线为： 抛物线的顶点是(1，－3)， 抛物线为： 把 代入抛物线得： ， 抛物线为： 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，根据题意设出合适的抛物线的解析 式是解题的关键． 5、将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______； 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______． 【答案】y=2（x+1）2+1 y=2（x﹣1）2﹣1 解：（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同， 只有开口方向变了， ∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为： ； （2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点 对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相 反， ∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为： .【点拨】（1）抛物线 关于其顶点对称的抛物线的解析式为 ； （2）抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式： . 举一反三： 【变式1】已知二次函数的顶点为 且过点 ，求该函数解析式． 【答案】 【分析】由题意设抛物线的顶点式： ，再把 代入抛物线的解析式，解方 程即可得到答案． 解：由顶点（-2，2），可设抛物线为： ， 将点（-1，3）代入上式可得： 综上所述： ． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握根据题意设出合适的二次函 数的表达式是解题的关键． 【变式2】 求符合下列条件的抛物线 的函数关系式，（1）通过点（3，8）； （2）与 的开口大小相同，方向相反。 【答案】 ； 【解析】 试题分析：(1)、将点(3，8)代入函数解析式求出a的值得出函数解析式；(2)、根据题意得出，从而得出函数解析式． 解：(1)、将(3，8)代入函数解析式可得： ， 解得：a=2， ∴二次函数的解析式为： ； (2)、∵函数与 的开口大小相同，方向相反， ∴ ， ∴二次函数的解析式为： ． 【变式3】已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点 为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S =3，求抛物线的解析式． △AMP 【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2． 【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐 标，再根据S =3求出M的坐标，最后求出解析式. △AMP 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b， 把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得 解得 解析式为y=﹣x+4．（2）设M点的坐标为（m，n）， ∵S =3， △AMP ∴ （4﹣1）n=3， 解得，n=2， 把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2， M（2，2）， ∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0）， 可得y=a（x﹣1）2， 把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2． 【点拨】此题重点考察学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键. 6、 A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知 从A、B到C、D的运价如表： 到C地 到D地 A果园 每吨15元 每吨12元 B果园 每吨10元 每吨9元 （1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为____吨，从A果园将橘 子运往D地的运输费用为____元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于 的函数关系式； （3）求总运输费用的最大值和最小值； （4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且 w=-(x-25)2+4360，则当x＝___ 时，w有最 __ 值（填“大”或“小”）．这个值是 ___ ． 【答案】（1）（40-x），12（40-x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值为1110元，最小值为1050 元；（4）25，大，4360 【分析】 （1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是（40-x）吨． 运输费用=吨数×每吨的运费． （2）总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用． （3）总运费与x是一次函数关系，由于0≤x≤30，可计算出总运费的最大值和最小值． （4）利用二次函数的性质，求出函数的最值． 解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨， 从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40-x）吨． 故答案为：（40-x），12（40-x）； （2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨， 运费为每吨12元； 从B果园运到C地（30-x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为 每 吨9元； 所以总运费为：y=15x+12（40-x）+10（30-x）+9（30+x） =2x+1050； （3）因为总运费y =2x+1050， ∵ ， ∴函数值随x的增大而增大， 由于0≤x≤30， ∴当x=30时，有最大值2×30+1050=1110元， 当x=0时，有最小值2×0+1050=1050元； （4）w=-(x-25)2+4360， ∵二次项系数-1＜0， ∴抛物线开口向下， 当x=25时，w有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360． 【点拨】本题考查了列代数式及函数的性质．利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值， 利用二次函数的性质求出总成本的最值． 举一反三： 【变式1】某商店以30元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）之间为一次函数关系，如图所示． （1）求 与 的函数解析式； （2）要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克多少元？ 【答案】（1） ；（2）65元 【分析】（1）设 与 的函数解析式为 ，把 ， 代入，得 解得 即可； （2）设销售利润为 元，先求出每件销售利润 ，再乘以销售量 ，根据题意， ，由 ， 时， 有最大值，最大值 为1225． 解：（1）设 与 的函数解析式为 ， 把 ， 代入，得 ， 解得 ，∴ 与 的函数解析式为 ； （2）设销售利润为 元，根据题意，得， ， ， ， ∵ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为1225． ∴要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克65元． 【点拨】本题考查一次函数的解析式，列二次函数，利用配方法转化为顶点式，掌握一次函数的 解析式的求法，列二次函数方法，会利用配方法将二次函数转化为顶点式，根据开口向下有最大 值是解题关键．