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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.10二次函数推理计算与证明问题大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷
规定的位置．
一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，二次函数 图象与 轴的交点为 ，将点
向右平移4个单位长度得到点 ．
（1）直接写出点 与点 的坐标；
（2）若函数 的图象与线段 恰有一个公共点，求 的取值范围．
2．（2021•三门峡二模）已知抛物线 和点 ， ．
（1）直接写出抛物线 的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）试分析抛物线 与线段 有公共点的个数情况，并写出相应的 的取值范围．
3．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
若此抛物线经过点 ，求 的值；
求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
若抛物线上存在两点 和 ，且 ， ，求 的取值范围．
4．（2020•东城区校级模拟）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，该抛
物线对称轴与 轴的交于点 ．
（1）求该抛物线的对称轴及点 、 的坐标；
（2）点 向右移动两个单位长度，向上移动两个单位长度，得到点 ，若抛物线与线段 恰有一个交点
时，结合图象，求 的取值范围．5．（2021•下城区模拟）已知二次函数 为常数）．
（1）若该函数图象经过点 试求 的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当 时，求 的取值范围；
（3）当 ， 随 的增大而增大， ， ， ， 是该函数图象上的两个点，对任意的
， ， ， 总满足 ，试求 的取值范围．
6．（2019秋•北京期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）已知点 ， ，若该抛物线与线段 有公共点，结合函数图象，求出 的取值范围．
7．（2021•翔安区模拟）已知二次函数 ， 为常数）．
（1）当 ， 时，求二次函数的最小值；（2）当 时，若在函数值 的情况下，只有一个自变量 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当 时，若在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的函数值 的最小值为21，求此
时二次函数的解析式．
8．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 的图象与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）求点 纵坐标（用含有 的代数式表示）；
（3）已知点 ．将点 向下移动一个单位，得到点 ．若二次函数图象与线段 只有一个交点，
求 的取值范围．
9．（2020秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）①过点 作与 轴平行的直线，交抛物线于点 ， ．求点 ， 的坐标；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段 围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个
整点，求 的取值范围．
10．（2021秋•海珠区校级期中）已知抛物线 ．
（1）无论 取任何实数，抛物线过 轴上一定点，求定点坐标；（2）点 ，点 ，抛物线与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
11．（2021春•福州期中）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线和直线 的解析式；
（2）若 为线段 上一个动点（不与 、 重合），过 点作 ，交抛物线于 、 两点
在 轴下方、 在 轴上方），过 点作 轴，交 于 点，求 的值；
（3）在（2）的条件下，连接 ，若点 为 轴上方的抛物线上的一点，且 平分 ，过点 的
直线 ，求证：直线 与抛物线只有一个公共点．
12．（2021•芜湖模拟）已知二次函数 ， ， 为常数， ．
（1）若 ，求二次函数 的顶点坐标．
（2）若 ，设函数 的对称轴为直线 ，求 的值．
（3）点 ， 在函数 图象上，点 ， 在函数 图象上．若函数 图象的对称轴在 轴右侧，
当 ， 时，试比较 ， 的大小．
13．（2021•杭州一模）在平面直角坐标系中，设二次函数 是实数）．
（1）当 时，若点 在该函数图象上，求 的值．
（2）小明说二次函数图象的顶点可以是 ，你认为他的说法对吗？为什么？
（3）已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
14．（2021•焦作模拟）在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，抛物线
的顶点为 ．
（1）若抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；（2）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
15．（2021•新疆）已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）把抛物线沿 轴向下平移 个单位，若抛物线的顶点落在 轴上，求 的值；
（3）设点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围．
16．（2021•汝阳县一模）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
1 2 3 4
2 1 2 5
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数 的图象，分别在 、 的图象上取点 ，
， ，试比较 与 的大小．
17．（2021•九江一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）若点 在第一象限，且 ，求抛物线的解析式；
（3）已知点 ， ．若该抛物线与线段 有公共点，结合函数图象，求出 的取值范
围．
18．（2020秋•中山区期末）已知：抛物线 ．
（1）若抛物线经过点 ．
① 的值为 ；
②当 时， ，求 的值；
（2）平面直角坐标系内的两点 ， ，若抛物线与线段 有两个不同的交点，求 的取值范围．
19．（2020•南通模拟）已知二次函数 和一次函数 ，其中 、 、 ，满足
， ．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于 ， 两点，作 轴于 ， 轴于 ，求线段 的长的取值
范围．
20．（2021•泰兴市二模）直线 与二次函数 的图象有两个交点 、 ，与
轴相交于点 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ， 在某一范围内 的值 始终保持不变，求此时 的范围及 的值．
21．（2021•崇川区二模）在平面直角坐标系 中，已知二次函数 ．
（1）若 ，当 时，函数图象的最低点 的纵坐标为 ，求 的值；
（2）若该函数的图象上有两点 ， ， ， ，设 ，当 时，总有 ，求 的
取值范围；
（3）已知 和 ，若抛物线与线段 只有一个共同点，求 的取值范围．
22．（2021•南通一模）已知抛物线 过点 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）当 时，请确定 ， 的大小关系；
（3）若当 时， 有最小值3，求 的值．
23．（2020秋•茶陵县期末）已知：二次函数为 ，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2） 为何值时，顶点在 轴上方；（3）若抛物线与 轴交于 ，过 作 轴交抛物线于另一点 ，当 时，求此二次函数的解
析式．
24．（2020•奉化区校级模拟）已知二次函数 （是常数）．
（1）求此函数的顶点坐标．（用含 的代数式表示）
（2）当 时， 随 的增大而减小，求 的取值范围．
（3）当 时，该函数有最大值4，求 的值．
