文档内容
2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.11 二次函数与几何综合问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷
规定的位置．
一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2020秋•朝阳县期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为 与点 ，
与 轴交于点 ．
（1）求此二次函数关系式和点 的坐标；
（2）请你直接写出 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，进而求解；
（2） 的面积 ；
（3）分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，令 ，则 ，故点 的坐标为 ；
令 ，解得 或 ，
故点 的坐标为 ， ；
（2）连接 ，
则 的面积 ；
（3）设点 的坐标为 ，
由题意得： ， ， ，
当 时，则 ，解得 或 ，
当 时，同理可得 （舍去）或 ，
当 时，同理可得 ，
故点 的坐标为 或 或 或 ， ．
2．（2020秋•增城区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图的顶点为点 ，与
轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点 是 轴上一动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；
（3）如图，若点 是该抛物线上一点， 是直线 下方抛物线上的一动点，点 到直线 的距
离为 ，求 的最大值．
【分析】（1）由二次函数 与 轴交于 ， 两点，求得其对称轴，从而可得 的
值，再将 代入即可求得 的值，则可得抛物线的解析式；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，则 的坐标为 ，连接 交 轴于顶点 ，此时 的周长最
小，用待定系数法求得直线 的解析式，令 ，可得点 的横坐标，则问题得解；
（3）先求得点 的坐标，再用待定系数法求得直线 的解析式；作 的平行线 ，交 轴于点 ，
交 轴于点 ，过点 作 于点 当直线 与抛物线相切时，点 到直线 的距离 最
大，设直线 的解析式为 ，将其与抛物线解析式联立，得出关于 的一元二次方程，由交点个
数与方程的判别式的关系可得△ ，从而可得 的值，最后由三角函数求得 的值，即为所求的 的最
大值．
【解析】（1） 二次函数 与 轴交于 ， 两点，
对称轴为直线 ，
，
，，
将 代入得：
，
，
这个二次函数的解析式为 ；
（2） 抛物线 的对称轴为 ，
顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
作点 关于 轴的对称点 ，则 的坐标为 ，连接 交 轴于顶点 ，此时 的周长最小，如
图：
设直线 的解析式为 ，将 ， 分别代入得：
，
，
当 时， ，
点 的坐标为 ， ；
（3） 抛物线 ，点 是该抛物线上一点，，
点 ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 分别代入得：
，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
作 的平行线 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图：
当直线 与抛物线相切时，点 到直线 的距离 最大，
，
．
设直线 的解析式为 ，将其与抛物线解析式联立得：
，
，
整理得： ，当 与抛物线相切时，△ ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ， ，点 坐标为 ，
，
，
，
，
的最大值为 ．
3．（2021•沙依巴克区三模）如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点
（点 在点 的右边），且 ．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小
值．
（3）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为 两部分，求点 的坐标．
【分析】（1）先根据已知条件求得 点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）把 向下移1个单位得点 ，再作 关于抛物线的对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于
点 ，再在对称轴上 点上方取点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小，求出此时
的最小值便可；
（3） ，即可求解．
【解析】（1） 点 ， ，
，
把 、 、 三点坐标代入 ，得
，
解得， ，
抛物线的解析式为： ，
，
顶点坐标为 ；
（2）把 向下移1个单位得点 ，再作 关于抛物线的对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于
点 ，再在对称轴上 点上方取点 ，使得 ，连接 ，则 ，
，
，
对称轴是直线 ，
，，
，
，
的值最小，
四边形 的周长的最小值为 ；
（3）如图，设直线 交 轴于点 ，
直线 把四边形 的面积分为 两部分，
又 ，
则 或 ，
则 或1.5，
即点 的坐标为 或 ，
将点 的坐标代入直线 的表达式： ，
解得： 或 ，
故直线 的表达式为： 或 ，联立方程组 或 ，
解得： 或8（不合题意值已舍去），
故点 的坐标为 或 ．
4．（2021•柳南区校级模拟）综合与探究：
如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ， ，连接 和 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是第四象限内抛物线上的动点，连接 和 ．求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）若点 是 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由 ， 得到 ， ，用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）设 点横坐标为 ，由 即可得到 的面积与 之间的函数关系式，从
而根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）分别以 为菱形的边和对角线进行分类讨论并画出图形，根据菱形的性质确定点 的坐标．
【解析】（1） ， ，
， ，
将 ， ，代入 ，
得 ，解得： ， ，
抛物线得解析式为： ．
（2）在函数 中，令 得：
，
解得： ， ，
．
如图1，连接 ， ．
设点 ，
，
根据二次函数的图象及性质可知，当 时， 的面积有最大值 ，
此时点 的坐标为 ．
（3）存在；点 坐标为 ， ， ， ．， ，
．
①若 为菱形的边长，如图2，
则 ，且 ．
， ， ．
②若 为菱形的对角线，如图3，
则 ， ，
设 ，
则 ，
解得： ．．
综上所述，点 坐标为 或 或 或 ．
5．（2020秋•卧龙区期末）如图，已知抛物线 经过 、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使点 到点 和点 的距离之和最小，求出此时点 的坐标；
（3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使 为直角三角形时点 的坐标．
【分析】（1）将点 ， 代入抛物线，用待定系数法求解；
（2）根据将军饮马模型，将点 关于抛物线对称轴对称，求直线 与对称轴的交点坐标；
（3）设 点坐标为 ，结合两点间距离坐标公式，利用勾股定理求解．
【解析】（1）把 、 分别代入 中，
得 ，
，
抛物线的解析式为： ；
（2） 抛物线的对称轴是直线 ，
作点 关于直线 的对称点 ，如图，设直线 表达式为 ，代入点 ， ，
解得 ，
直线 的解析式为： ．
当 时， ．
；
（3）设 点坐标为 ，
、 ，
， ， ，
①当 时， ，
即 ，
解得： ， ；
②当 时， ，
即 ，解得 ；
③当 时， ，
即 ，
解得 ，
综上所述， ， ， ， 时， 为直角三角形．
6．（2021•洛阳一模）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线 经
过 、 ，且与 轴另一交点为 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点 的横坐标；
（3）点 从点 出发，沿线段 由 向 运动，同时点 从点 出发沿线段 由 向 运动， ，
的运动速度都是每秒1个单位长度，当 点到达 点时， ， 同时停止运动，问在坐标平面内是否
存在点 ，使 ， 运动过程中的某些时刻 ，以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，直
接写出 的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求出点 、 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）满足条件的点 有两种情形，需要分类讨论：
①当点 在 轴上方时，设 与 轴交于 ，则 ，
②当点 在 轴下方时，延长 交 轴于点 ，则 ．（3） 的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：
①若以 为菱形对角线，如图2，此时 ， ，由 ，得 ，
建立方程求解即可；
②若以 为菱形对角线，如图3．由 ，建立方程求解即可；
③若以 为菱形对角线，如图4．由 ，得 ，建立方程求解即可．
【解析】（1） 直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
， ，
抛物线 经过 ， ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2） ， ，
，
①当点 在 轴上方时，设 与 轴交于 ，
， ，
，
， ，
△ ，
，
由 ，得： ， ，
， ，， ，
设直线 的解析式为 ，
， ， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得： ， ，
， ；
②当点 在 轴下方时，
， ，
，
延长 交 轴于点 ，
，
， ，
，
，
，，
，
，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组，得： ，
解得： ， ，
， ；
综上，点 的横坐标为 或 ；
（3）在 中， ， ， ，
，
设 ，则 ， ， ，假设存在满足条件的点 ，设菱形的对角线交于点 ，设运动时间为 ，且 ，
①若以 为菱形对角线，如图2，此时 ， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，即 ，
解得： ；②若以 为菱形对角线，如图3，
，
，
解得： ；
③若以 为菱形对角线，如图4，设 与 交于点 ，
四边形 为菱形，
与 互相垂直平分，即 ， ，
，
，即 ，
解得： ；
综上，当 或 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形．7．（2021•历城区模拟）如图，若一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 的
坐标为 ，二次函数 的图象过 、 、 三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，若点 在直线 下方的抛物线上运动，过 点作 ，交线段 于点 ，在点 运
动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）点 在 轴右侧的抛物线上运动，过 点作 轴的垂线，与直线 交于点 ，若
，请在备用图上画出示意图，并直接写出点 的坐标．
【分析】（1）函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，则点 、 的坐标分别为
，将点 、 、 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）先利用待定系数法求直线 的解析式，设 ，过点 作 轴交直线 于点 ，则 ，可得 ，再证明 ，运用相似三角形性质得出 ，再运用二次函数最值求
解即可；
（3）分两种情况：①当点 在直线 下方的抛物线上时，过点 作 轴于点 ，证明
，再利用相似三角形性质列方程求解即可；②当点 在直线 上方的抛物线上时，过点
作 轴于点 ，证明 ，再利用相似三角形性质列方程求解即可．
【解析】（1）在 中，令 ，得 ，
，
令 ，得 ，
解得： ，
，
二次函数 的图象过点 ， ，
，
解得： ，
二次函数的表达式为： ；
（2）设直线 的解析式为 ，
， ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
在 中， ， ，
设 ，过点 作 轴交直线 于点 ，则 ，
，
，
，
轴，
，
，
，即： ，
，
当 时， 取得最大值 ；
（3）设 ，分以下两种情况：
①当点 在直线 下方的抛物线上时，如图2，过点 作 轴于点 ，
则 ，
， ，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
， ；
②当点 在直线 上方的抛物线上时，如图3，过点 作 轴于点 ，
则 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
，综上所述，点 的坐标为 ， 或 ．
8．（2021•郴州）将抛物线 向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，得到抛物线
．抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．已知 ，点 是抛物线
上的一个动点．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）如图1，点 在线段 上方的抛物线 上运动（不与 ， 重合），过点 作 ，垂足为
， 交 于点 ．作 ，垂足为 ，求 的面积的最大值；
（3）如图2，点 是抛物线 的对称轴 上的一个动点，在抛物线 上，是否存在点 ，使得以点 ，， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理
由．
【分析】（1）根据将抛物线 向左平移 1个单位，再向上平移 4个单位后，得到抛物线
，可得顶点坐标为 ，即可得到抛物线 ，运用待定系数法将点
的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，设 ，则 ，进而得出
，运用二次函数性质可得：当 时， 有最大值 ，再证得 是等腰直角三
角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当 为平行四边形的边时，则有 ，且 ，如图2，过点 作对称
轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ，证得 ，根据点 到对称轴的距离为
3，建立方程求解即可；
②当 为平行四边形的对角线时，如图3，设 的中点为 ，则 ， ，设点 的横坐标为 ，
根据中点公式建立方程求解即可．
【解析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线 ，
将 代入，得： ，解得： ，
抛物线 的表达式为 ；
（2）如图1，由（1）知： ，
令 ，得 ，
，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
当 时， 有最大值 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
当 时， ；
（3）①当 为平行四边形的边时，则有 ，且 ，
如图2，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，设 交对称轴于点 ，
则 ，
在 和 中，
，
，
，
点 到对称轴的距离为3，
又 ，
抛物线对称轴为直线 ，
设点 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
点 坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时，如图3，设 的中点为 ，
， ，
， ，
点 在对称轴上，
点 的横坐标为 ，设点 的横坐标为 ，
根据中点公式得： ，
，此时 ，
；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．9．（2021•江西模拟）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 是抛物线对称轴上的一点连接 ， ，求 的最小值．
（3）若 为 轴正半轴上一动点，过点 作直线 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ，
连接 ， ，当 时，请求出 的值．
【分析】（1）将点 坐标代入直线解析式可求 的值，可求点 坐标，利用待定系数法可求解；
（2）由对称性可得 ，可得当 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 ，由勾股
定理可求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求 解析式，联立方程可求解．
【解析】（1） 直线 与 轴交于点 ，
，
，直线解析式为： ，
当 时， ，
点 ，
抛物线 经过点 ， ，
，
，
抛物线的解析式为： ；
（2） 点 是抛物线对称轴上的一点，
，
，
当 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 ，
，
的最小值为 ；
（3）当点 在 轴上方时，如图1，连接 ，延长 交 轴于 ，
点 ，点 ，
，
，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，
，
， ，
点 ，
，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
点 ，
直线 解析式为： ，
，
（舍去）， ，
点 的横坐标为 ，
；
当点 在 轴下方时，如图2，连接 ，设 与 轴交于点 ，， ，
，
又 ， ，
，
，
点 ，
直线 解析式为： ，
，
（舍去）， ，
点 的横坐标为5，
，
综上所述： 或 ．
10．（2021•晋中模拟）综合与探究：
如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，直线 经过
， 两点．
（1）求 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式．
（2）点 是直线 上方抛物线上一点，其横坐标为 ，过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ．
当 时，求点 的坐标．
（3）在（2）的条件下，在 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．【分析】（1）在 中，令 ，可求得点 ， 的坐标，令 ，可求得点 的坐标，
利用待定系数法可求得直线 的函数表达式；
（2）先分别表示出 ， 的长，然后根据 列方程求解即可；
（3）分情况讨论：①当点 在 轴正半轴上时，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，先
求得直线 的函数表达式，再证明 和 ，设 ，则 ，根据相似
三角形性质和勾股定理建立方程求解即可求得点 的坐标，②当点 在 轴负半轴上时，利用点 与点
关于 轴对称，即可求得点 的坐标．
【解析】（1）在 中，
令 ，得： ，
解得： ， ，
点 在点 的左侧，
， ，
令 ，得 ，
，
设直线 的函数表达式为 ，直线 经过点 和点 ，
，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
（2）如图1， 轴，垂足为 ，点 的横坐标为 ，
， ， ，
， ，
，
，
解得： 或 （舍去），
把 代入 ，得 ，
．
（3）存在，点 的坐标为 或 ．
①如图2，当点 在 轴正半轴上时，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，
设直线 的函数表达式为 ，
， ，
，解得： ，
直线 的函数表达式为 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理，得： ，
，
解得： ，
，
点 的坐标为 ．
②如图3，当点 在 轴负半轴上时，
由题意知，点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，综上所述，点 的坐标为 或 ．
11．（2021•湖州模拟）二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 上找点 （点 在第一象限），使得以点 ， ， 为顶点的三角形与以点 ， ， 为
顶点的三角形相似，求点 的坐标（用含 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰
直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将 ， ， 代入抛物线，待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据 与 相似，分 或 两种情况分别表示出 的坐标即可；
（3）根据 为等腰直角三角形得 ， ，再由 ，即可证明
，进而有 ， ，再分 或 两种情况分别求出 即可．
【解析】（1）将 ， ， 代入 ，
得： ， ， ，
解得： ， ， ，
；（2）当 时， ，
，
，
当 时， ，
，
，
综上， 或 ；
（3）如图，过点 作 于点
为等腰直角三角形， ， ，
又 ，
，
， ，
①当 为 时， ， ，
，
代入 ，
解得： ， （舍去）
②当 为 时， ， ，，
代入 ，
解得： ， （舍去）
，
此时的点 不在第一象限内，故舍去，
综上，可得 ．
12．（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 在抛物线的对称轴上，且位于 轴的上方，将 沿直线 翻折得到△ ，点 恰好落
在抛物线的对称轴上．若点 为直线 下方抛物线上的一点，求当△ 面积最大时点 的横坐标；
（3）点 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点 使得 为等边三角形，
请直接写出此时直线 的函数表达式．【分析】（1）根据待定系数法，把点 ， 的坐标代入 得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与 轴交于点 ，则 点的坐标为 ， ，由翻折得 ，求出
的长，可得点 的坐标，设点 ，且 ，设直线 解析式为 ，对称轴与
交于点 ，先求得 解析式，再求得点 的坐标，将△ 面积表示成关于 的函数，利用二次函
数的最值即可．
（3）由题意可知△ 为等边三角形，分两种情况讨论：①当点 在 轴的上方时，点 在 轴上方，
连接 ， ．证出 △ ，可得 垂直平分 ，则 点在直线 上，可求出直线 的
解析式，②当点 在 轴的下方时，点 在 轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解析】（1）由题意得： ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为 ．
（2） 抛物线与 轴交于 ， ，
，抛物线的对称轴为直线 ，如图，设抛物线的对称轴与 轴交于点 ，则 点的坐标为 ， ，
由翻折得 ，
在 △ 中，由勾股定理，得 ，
点 的坐标为 ， ，
设点 ，且 ，设直线 解析式为 ，对称轴与 交于点 ，
则： ，解得： ，
直线 解析式为 ，
，
，
，
，
当 时， 的值最大，此时点 坐标为 ， ；
（3）存在．
取（2）中的点 ， ，连接 ，， ，
为等边三角形．分类讨论如下：
①当点 在 轴的上方时，点 在 轴上方，连接 ， ．
， 为等边三角形，
， ， ，
，
△ ，
．
点 在抛物线的对称轴上，
，
，
又 ，
垂直平分 ，
由翻折可知 垂直平分 ，
点 在直线 上，
设直线 的函数表达式为 ，
则 ，解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
②当点 在 轴的下方时，点 在 轴下方．， 为等边三角形，
， ， ．
，
△ ，
，
， ，
，
，
设 与 轴相交于点 ，
在 中， ，
点 的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ，
则 ，解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
综上所述，直线 的函数表达式为 或 ．13．（2021•罗湖区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标
为 ，并与 轴交于点 ，点 是对称轴与 轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示， 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 ， ，求 的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴 的右侧作 交抛物线于点 ，求出 点的坐标；并探究：在
轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为 ，将 代入可得 ，则可求解析式；
（2）连接 ，设 ，分别求出 ， ， ，所以
，当 时， 的最大值为 ；
（3）设 点的坐标为 ，过 作对称轴的 垂线， 垂足为 ，则 ，
，在 中， ，所以 ，求出
， ，所以 ， ，连接 ，在 中， ， ，
在以 为圆心， 为半径的圆与 轴的交点为 点，此时， ，设 ， 为
圆 的半径， ，求出 或 ，即可求 ．【解析】（1）抛物线顶点坐标为 ，
可设抛物线解析式为 ，
将 代入可得 ，
；
（2）连接 ，
由题意， ， ，
设 ，
，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ；（3）存在，设 点的坐标为 ，
过 作对称轴的垂线，垂足为 ，
则 ， ，
，
，
在 中，
，
，
或 （舍
， ，
， ，
连接 ，在 中，
，
， ，
在以 为圆心， 为半径的圆与 轴的交点为 点，此时， ，
设 ， 为圆 的半径，
，
，
，
或 ，
综上所述： 点坐标为 ， 或 ．
14．（2021•咸宁一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
（1）直接写出抛物线的解析式为： ；
（2）点 为第一象限内抛物线上的一动点，作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 的垂线与
抛物线的对称轴和 轴分别交于点 ， ，设点 的横坐标为 ．
①求 的最大值；
②连接 ，若 ，求 的值．
【分析】（1）将点 ， 代入抛物线 ，得方程组，解得 与 的值，则可得出
抛物线的解析式；
（2）①先求出点 的坐标，用待定系数法求得直线 的解析式，作 轴于点 ，可得：，由线段的和差可得： ，代入数据得到关于 的二次函
数，由二次函数的性质可得 的最大值；②作 轴于点 ，记直线 与 轴交于点 ，由
等腰三角形的判定可知 ， ，由抛物线的性质可得 ，继而求得 的值；判定
，得出比例式，代入数据可得关于 的方程，解方程即可．
【解析】（1）将点 ， 代入抛物线 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
故答案为： ；
（2）①当 时， ，
点 ，
又 ，
直线 的解析式为： ，
，
，
作 轴于点 ，
又 ，
，
，，
由题意有 ，且 ， ，
当 时， 取最大值，
的最大值为： ；
②作 轴于点 ，记直线 与 轴交于点 ，
轴， 轴， ，
，
，
，
，
的对称轴为直线 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
在 中，，
，
，
，
解得： 或 ．
15．（2021•诸城市一模）如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，经过 、 两点的
抛物线 与直线 交于 ， 两点．（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）点 是抛物线上位于直线 下方上的一个动点，当点 运动到什么位置时 的面积最大？最
大值是多少？
（3）在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出满足条
件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点 的坐标；
（2）如图 1，过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，设点 坐标为 ，设 坐标为
，可求出 的面积，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种情况：①当点 为直角顶点时，②当点 为直角顶点时，③当点 为直角顶点时，由直角三
角形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
【解析】（1） 抛物线 经过 、 两点，
，
解得 ，
抛物线的解析式 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
，即直线解析式为： ，
抛物线 与直线 交于 、 两点，
，解得 ， ，
；
（2）如图1，过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，
设点 的坐标为 ，
则点 的坐标为 ，
，
，
，
有最大值，
当 运动到 时， 有最大值为36；
（3）存在．①当点 为直角顶点时，设 ，过点 作 轴，垂足为 ，
则 ，，
，
，
， ，
点 的坐标为 或 ．
②当点 为直角顶点时，如图，过点 作 ，交 轴与点 ，设 ，
则 ．
，
，
，
点 的坐标为 ， ；③当点 为直角顶点时，过点 作 ，交 轴于点 ，设 ，过点 作 轴于点 ，
则 ，
，
，
点 的坐标为 ， ，
满足条件的点 的坐标为 或 或 ， 或 ， ．
16．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点．与 轴交于点
且点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲 ．若点 是第一象限内抛物线上的一动点．当点 到直线 的距离最大时，求点 的坐
标；
（3）图（乙 中，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使得以 ， ，
， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将 的坐标 ，点 的坐 代入 ，即可得抛物线的解析式为
；
（2）过 作 轴于 ，交 于 ，过 作 于 ，由 可得 ，故
， 是等腰直角三角形，可证明 是等腰直角三角形，即知 ，当 最大时，
最大，设直线 解析式为 ，将 代入得直线 解析式为 ，设
， ，则 ， ，故当 时， 最大，即点
到直线 的距离最大，此时 ， ；
（3）抛物线 对称轴为直线 ，设 ， ，而 ， ，①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，可列方程组 ，即可解得 ，
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，同理可得 ，解得 ，
③以 、 为对角线，则 、 中点重合，则 ，解得 ．
【解析】（1）将 的坐标 ，点 的坐 代入 得：
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）过 作 轴于 ，交 于 ，过 作 于 ，如图：
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
，
， 是等腰直角三角形，，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，将 代入得 ，
，
直线 解析式为 ，
设 ， ，则 ，
，
，
当 时， 最大为 ，
时， 最大，即点 到直线 的距离最大，此时 ， ；
（3）存在，理由如下：
抛物线 对称轴为直线 ，
设 ， ，而 ， ，
①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，如图：，解得 ，
，
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，如图：
，解得 ，
，
③以 、 为对角线，则 、 中点重合，如图：，解得 ，
；
综上所述， 的坐标为： 或 或 ．
17．（2021•连云港）如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，
已知 ．
（1）求 的值和直线 对应的函数表达式；
（2） 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标；
（3） 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．【分析】（1）把点 坐标直接代入抛物线的表达式，可求 的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点
的坐标，设直线 的表达式，把点 和点 的坐标代入函数表达式即可；
（2）过点 作直线 的平行线 ，联立直线 与抛物线表达式可求出 的坐标；设出直线 与 轴
的交点为 ，将直线 向下平移，平移的距离为 的长度，可得到直线 ，联立直线表达式与抛物
线表达式，可求出点 的坐标；
（3）取点 使 ，作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点
作 于点 ，可得 ，求出点 的坐标，联立求出点 的坐标．
【解析】（1）将 代入 ，化简得， ，
则 （舍 或 ，
，
．
，
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入表达式，可得，，解得， ，
直线 的函数表达式为 ．
（2）如图，过点 作 ，设直线 交 轴于点 ，将直线 向下平移 个单位，得到直线
．
由（1）得直线 的表达式为 ， ，
直线 的表达式为 ，
联立 ，解得 ，或 ，
或 ，
由直线 的表达式可得 ，
， ，
直线 的表达式为： ，联立 ，
解得， ，或， ，
， ， ， ；
综上可得，符合题意的点 的坐标为： ， ， ， ， ， ；
（3）如图，取点 使 ，作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，
过点 作 于点 ，
则 是等腰直角三角形，
，
，
， ．
设 ，则 ，
由 ，则 ，
，解得 ．
，又 ，直线 对应的表达式为 ，
设 ，代人 ，
，整理得 ．
又 ，则 ．
， ．
18．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数
的图象都经过点 和点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ． 是线段 上一点
（点 与点 、 、 不重合）， 是射线 上一点，且 ，连接 ，过点 作 轴的垂线交
抛物线于点 ，以 、 为邻边作 ．
（1）填空： ， ；
（2）设点 的横坐标是 ，连接 ．若 ，求 的值；
（3）过点 作 的垂线交线段 于点 若 ，求 的长．
【分析】（1）利用待定系数法可得结论．
（2）如图1中，过点 作 于 ，连接 ．证明 ，推出 ，求出点 ， 的坐
标，点 的纵坐标，构建方程可得结论．
（3）如图2中，首先判断点 只能在第一象限，设 交 于 ，再证明 ，推出 ，用 表示出 ， ， 的长，构建方程，即可解决问题．
【解析】（1） 正比例函数 经过 ，
，
，
二次函数 的图象经过点 ，
，
，
故答案为： ，1．
（2）如图1中，过点 作 于 ，连接 ．
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
点 的纵坐标为 ，
， ，
，
解得 或 （舍弃）．
满足条件的 的值为 ．
（3）如图2中，因为点 在线段 上， ，所以 ，观察图象可知，点 只能在
第一象限，设 交 于 ，
， ，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
整理得 ，
解得 或 不合题意舍弃），
．
19．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ， ，过点 的
直线 交抛物线于点 ．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点 是直线 下方抛物线上的一个动点 不与点 ， 重合），求 面积的最大值；
（3）若点 在抛物线上，将线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，是否存在点 ，使点 恰好落在
直线 上？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，作 于点 ，连接 ， ，
设点 ，则点 ，可得出 ，再通过解方程组求出点 的坐标为
， ，利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案；
（ 3 ） 设 ， ， 作 轴 于 点 ， 轴 于 ， 证 明
，得出 ， ，建立方程组求解即可．
【解析】（1）将点 ， 代入 中，得：
，
解得： ，
该抛物线表达式为 ．（2）如图1，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，作 于点 ，连接 ， ，
设点 ，则点 ，
，
联立方程组： ，
解得： ， ，
点 坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，
，
，（其中 ，
，
这个二次函数有最大值．
当 时， 的最大值为 ．
（3）如图2，设 ， ，作 轴于点 ， 轴于 ，
，
线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
解得： ， ，
， ，
如图3，设 ， ，
作 轴于点 ， 轴于 ，
，
线段 绕点 旋转 ，得到线段 ，
， ，
，
，
在 与 中，，
，
， ，
，
解得： ， ，
， ， ；
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ， ．20．（2021•增城区一模）已知抛物线 经过点 ，顶点为 ，对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点 的坐标；
（2）如图1，抛物线与 轴交于点 ，连接 ，过 作 轴于点 ， 是线段 上的动点（点
不与 ， 两点重合）；
若直线 将四边形 分成面积比为 的两部分，求点 的坐标；
如图2，连接 ，作矩形 ，在点 的运动过程中，是否存在点 落在 轴上的同时点 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时 的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得出 ，解得 ，得出抛物线的函数表达式为：
，即可得出顶点 的坐标为 ；
（2） 求出 ，设点 的坐标为 ，求出直线 的函数表达式为： ，则点
的坐标为 ，由题意得出 ， ， ， ，则 ，
，分两种情况求出 的值即可；
过 点 作 于 ， 则 ， 设 点 的 坐 标 为 ： ， 则
， ， 证 ， 得 出 ， 则
，证 ，得出 ，求出 或0，当 时，点 与点 重合，舍
去，得出 ，即可得出结论．
【解析】（1） 抛物线 经过点 ，对称轴是直线 ，，
解得： ，
抛物线的函数表达式为： ，
，
顶点 的坐标为 ；
（2） ，
时， ，
则 点的坐标为 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
设点 的坐标为 ，直线 的函数表达式为： ，直线 交 轴于点 ，如图1所示：
则 ，
解得： ，
直线 的函数表达式为： ，令 ，则 ，
点 的坐标为 ，
直线 将四边形 分成面积比为 的两部分，
点 在线段 上，点 不与点 重合，
， ， ， ，
， ， ， ，
，
，
分两种情况：
① ，即 ，
解得： ，
点 的坐标为： ， ；
② ，即 ，
解得： ，
点 的坐标为： ， ；
综上所述，点 的坐标为： ， 或 ， ；
存在点 落在 轴上的同时点 恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形 在直线 的下方，
过点 作 于 ，则 ，如图2所示：
设点 的坐标为： ，则 ， ，
四边形 与四边形 都是矩形，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，即 ，
，
， ，
，
，
，即 ，
整理得： ，
解得： 或0，
当 时，点 与点 重合，
舍去，
，
当点 落在 轴上的同时点 恰好落在抛物线上，此时 的长为 ．21．（2021•广陵区一模）已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线 分
别交 轴正半轴和 轴于点 ， ．
（1）判断顶点 是否在直线 上，并说明理由；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点 ， ，且 ，结合图象，求 的取值
范围；
（3）如图2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， ， ， 都在二次函数图象上，试
比较 与 的大小．【分析】（1）点 在直线 上，理由如下：配方 ，表
示出顶点 的坐标是 ，把 代入 ，即可求解；
（2）由直线关系式可得 点坐标为 ，代入二次函数关系式得 ，得 ，理由
函数关系式求出 ，由图象，得当 时， 的取值范围是 或 ；
（3）如图2， 直线 与直线 交于点 ，与 轴交于 ，利用 ， 求出直线 的
解析式为 ，联立 ， 得方程组 ，解得： ，得点 ， ，而 点坐标
为 ，由题意得 ，求出 ，根据 的范围进行分类讨论．
【解析】（1）点 在直线 上，
理由如下： ，
顶点 的坐标是 ，
把 代入 ，得 ，
点 在直线 上；（2）如图1，直线 交 轴于点 ，
点坐标为 ，
又 在抛物线上，
，
解得 ，
二次函数的解析是为 ，
当 时， ，
解得 ， ，
，
由图象，得当 时， 的取值范围是 或 ；
（3）如图2，
直线 与直线 交于点 ，与 轴交于 ，
设直线 的函数关系式为： ，
将 ， 代入得，
，
解方程组得， ，
直线 的解析式为 ，
联立 ， 得方程组 ，解得： ，
点 ， ，而 点坐标为 ，
点 在 内，
，
，
当点 ， 关于抛物线的对称轴对称时， ，
，
且二次函数图象开口向下，顶点 在直线 上，
综上：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， ．
22．（2021•河南三模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为 上方抛物线上的动点，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，当 与 相
似时，求点 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）当 与 相似时，则 或 ，故分分类讨论即可：①若
，则 ，可推出点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，由点 为 上方抛物
线上的动点，得关于 的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若 ，则
， ，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，
判定 ， ，由相似三角形的性质得比例式，解得点 的坐标，从而可得直线
的解析式，求得直线 与抛物线的交点横坐标，再代入直线 的解析式求得其纵坐标，即为此时点
的坐标．
【解析】（1） 抛物线 与 轴交于点 ， ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 点 ， ，
， ．
在抛物线 中，当 时， ，
，
，．
，
，
当 与 相似时，则 或 ，
①若 ，则 ，
，
，
点 的纵坐标为2，
点 为 上方抛物线上的动点，
，
解得： （不合题意，舍去）， ，
此时点 的坐标为 ；
②若 ，则 ， ，
，
过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，如图：， ，
，
，
，
，
， 轴，
，
， ，
，
又 ，
，
，即 ，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
令 ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
把 代入 得：
，
此时点 的坐标为 ， ．
综上所述，符合条件的点 的坐标为 或 ， ．
23．（2021•宿迁模拟）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ．与 轴交于点 ．连接 ， ．已知 的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 ， 两点．过 ， 向 轴作垂线，垂足分别为 ，
．若四边形 为正方形，求正方形的边长；
（3）抛物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出满足条件 点的横坐标，
若不存在请说明理由．
【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得 和 的坐标，从而得 ，根据三角形 的面
积为2可得 的长，确定点 的坐标，根据点 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）分两种情况： 在 轴的上方和下方，设点 的纵坐标为 ，当 时， ，解
方程可得 和 两点的坐标，从而得 和 的坐标，再利用正方形的性质可得出关于 的方程，解之即
可得出结论；
（3）过 作 交 轴于 ，交抛物线线于 ，作 关于 的对称点 ，作直线 交抛物线于
， 过 作 轴 于 ， 由 可 得 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 从 而
，有 ，即直线 与抛物线交点 是满足条
件的点，由 、 可得直线 为 ，
解 即得 ；由 、 关于 对称，知 ，即直线 与抛物线交点 满足条件，由 ，可求得 ，由 ，即得 ， ，根据 为
中点得 ， ，由 ， ， 可得直线 为 ，解 即得 ，
．
【解析】（1）如图1， ，
， ，
，
的面积为2，即 ，
，
，
，
将 代入 ，得： ，
，
该二次函数的解析式为 ；（2）分两种情况：
①当 在 轴的上方时，如图2，设点 的纵坐标为 ，当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，
矩形 为正方形，
，
解得： （舍 ， ；
②当 在 轴的下方时， ，
同理可得 ；
当四边形 为正方形时，边长为 或 ；
（3）存在，理由如下：
过 作 交 轴于 ，交抛物线线于 ，作 关于 的对称点 ，作直线 交抛物线于 ，
过 作 轴于 ，如图：由 可得 ， ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，即直线 与抛物线交点 是满足条件的点，
，
，
由 、 可得直线 为 ，
解 得 或 ，
；
、 关于 对称，
，即直线 与抛物线交点 满足条件，
， ，
，，即 ，
，
轴于 ，
，
，即 ，
解得 ， ，
， ，
为 中点，
， ，
由 ， ， 可得直线 为 ，
解 得 或 ，
， ，
满足条件 点的横坐标为5或 ．
24．（2021春•新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，
两点，与 轴交于另一点 ，点 为该抛物线的顶点．
（1）顶点 的坐标为 ， ；
（2）将该抛物线向下平移 单位长度，再向左平移 个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的
顶点 在 内，求 的取值范围；
（3）若点 、点 为该抛物线上两点，连接 ，且 ，求点 的坐标．【分析】（1）把 ， 两点的坐标分别代入抛物线解析式中，求出 和 的值，化成顶点式即可；
（2）在顶点式基础上，按照“左加右减，上加下减”表达出新抛物线解析式，由点 在 内可得出
关于 的不等式，求出 的取值范围；
（3）把点 的坐标代入抛物线，可求出 的值，分情况讨论，画出对应图形，解直角三角形可得出点
的坐标．
【解析】（1） 抛物线 经过 ， 两点，
，解得 ，
，
，
点 为该抛物线的顶点，
， ．
故答案为： ， ．
（2）将抛物线 向下平移 单位长度，再向左平移 个单位长度，得到新抛物线
为 ，
， ，， ， ，
直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，
把 分别代入直线 和 的解析式，可得 和 ，
．
（3） 点 为该抛物线上两点，
，解得 或 ，
当 时， ，此时点 和点 重合，
取点 ，则 ，连接 与抛物线交于点 ，
，
所在直线的表达式： ，联立 ，解得 ，或 （舍 ，
；
同理，取点 ，则 ，连接 与抛物线交于点 ，
则 所在直线的表达式： ，则 ，或 （舍 ．
．
当 时， ，过点 作 轴于点 ，则 ， ，
由勾股定理可得， ，
设线段 上存在点 ，使 ，
过点 作 于点 ，
则 ， ，
设 ，则 ， ，
，即 ，，
， ，
所在直线的解析式： ，
联立直线和抛物线的表达式可得， ，
解得 ，
， ．
符合题意的点 的坐标为： ， ， ， ．
