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专题01网格中求正弦和余弦
1．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的
正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知， 的中点 也在格点上，连接 ，先利用勾股定理可得 ，
，再根据等腰三角形的判定与性质可得 ，然后根据相似三角形的判定可证
，根据相似三角形的性质可得 ，从而可得 ，最后在
中，根据正弦的定义可得 ，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，由题意可知， 的中点 也在格点上，连接 ，，
，
是等腰直角三角形，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
又 ，
，
，即 ，
，
在 中， ，
则 ，
即 的正弦值为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握解
直角三角形的方法是解题关键．
2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于 ，则sin∠CAB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过C作CD⊥AB，根据勾股定理得： AC=AB= = ，
S =4- - - = ，
ABC
△
即 CD•AB= ，所以 CD = ，
解得：CD= ，
则sin∠CAB= = ，
故选B．
3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上， 、
相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BE、AE．根据格点先求出AB、AE、BE，再利用正方形对角线的性质判断CD与BE
关系与△ABE的形状，最后求出∠ABE的余弦值．
【详解】解：如图，连接 、 ．
则： ， ．
、 、 都是正方形的对角线，
．
， ．
， 是直角三角形．．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形状，
从而可以求得sin∠BAC的值．
【详解】解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：
设每个小正方形的边长为a，
则CD a，
AC a，
AD 2 a，
∴CD2+AD2＝（ a）2+（2 a）2＝（ a）2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠CAD ，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状．
5．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则 是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将∠ADC转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可．
【详解】延长CD交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示：
由题意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE= ，BD= ，
∴在Rt△BDE中， ，∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到角所在的直角三角形，利用正弦函
数值的定义进行求解，是解决本题的关键．
6．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角
△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网
格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
7．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形
的顶点上，那么 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作 于点D，在 中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦
函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在正方形网格中， ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（
） △A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=90°
∵BC＝2，
∴S ＝ BC×4＝4，
ABC
△
∵AB＝ ＝4 ，S ＝ BA×CD
ABC
△
∴CD＝
∵AC＝ ＝2 ，
∴在Rt ABC中, ∠CDA=90°
sinA＝ =
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，正确作出辅助线构造∠A所在的直
角三角形是解题的关键．
9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形
的顶点上，则cos∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 C 作 CD⊥AB 于 D ，首先根据勾股定理求出 AC ，然后在 RtΔACD 中即可求出
cos∠BAC 的值．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＝3，CD＝4，
∴由勾股定理可知： ，
∴cos∠BAC＝ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，要注意三种锐角三角函数的区别，正确
作出辅助线是解题的关键．
10．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可
得出答案.
【详解】
作AD垂直BC的延长线于点D
则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°
∴
故答案选择B.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值.
11．三角形在方格纸中的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据网格结构确定出α所在的直角三角形，然后利用勾股定理列式求出斜边的长，再根
据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【详解】解：由图可知，α所在的直角三角形的两直角边分别为3、4，
根据勾股定理，斜边 ，
∵α的邻边为4，
∴ .
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，确定出α所在
的直角三角形是解题的关键．
12．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为 ，
∴cos∠ABC= ，
故选：B．
13．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中
的格点，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：如图，由6块长为2、宽为1的长方形，可得∠D=90°，AD=3×1=3，
BD=2×2=4，因此在Rt△ABD中，AB= =5，因此可得cos∠ABC= ．
故选D．
考点：锐角三角函数
14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设小正方形的边长为1，过B作BD⊥AC，交AC延长线于D，利用勾股定理可求出AB的长，
利用余弦函数的定义即可得答案.
【详解】如图，设小正方形的边长为1，过B作BD⊥AC，交AC延长线于D，
∵BD=4，AD=3，
∴AB= = =5，
∴cos∠BAC= = ，
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；
余弦是角的邻边与斜边的比；正切是角的对边与邻边的比；余切是角的邻边与对边的比；熟练掌
握各三角函数的定义是解题关键.
15．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则 的正弦值
是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO=90°，利用勾股定理求
得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO=90°，
则AC= ，AO=2 ，
sin∠AOB= ．
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余
弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
16．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交
于点O，则∠AOC的正弦值是__．
【答案】
【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明 再利用勾股定理及等面
积法求解 从而可得答案．
【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．
∵BD∥CE．BD＝CE．∴四边形DBEC是平行四边形．
∴BE∥DC．
∴∠ABE＝∠AOC．
∵ ，
．
∴ ．
在Rt△BEF中，
∵ ，
∴sin∠AOC＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦
是解题的关键．
17．如图，已知 ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为_______．
△
【答案】
【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得
出结论．
【详解】解：如图，连接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴ ．
故答案为 .
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此
题的关键．
18．如图所示， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值是________．
【答案】
【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为
1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，再根据三角函
数的定义可以求出答案.
【详解】连接AB如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴ 10， ， ，
= =
∴ 是直角三角形，
∴ ，故答案为： .
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.
19．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=_____．
【答案】
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC.进而结合 得出AD的长，再利用锐角三角函
数关系求出答案．
【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC.
∵
∴
解得： 故sin∠ABC
故答案为
点睛：考查锐角三角函数，涉及三角形面积和勾股定理，根据面积求出 是解题的关键.
20．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值
是___________．【答案】
【详解】试题解析：连接BC，
根据勾股定理，可求得AB= ，BC= ，AC= ，
根据勾股定理的逆定理，可得∠ABC=90°，
∴sin∠BAD= ．
21．如图在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O在小正方形的顶点上，则
______．
【答案】 ##
【分析】延长AB使得 ，根据勾股定理得出 ，结合余弦函数的定义（邻边比斜
边）求解即可得．
【详解】解：如图所示，延长AB使得 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及求角的余弦值，熟练掌握运用勾股定理及余弦函数的
定义是解题关键．
22．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则
∠BAC的余弦值是____．
【答案】
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则cos∠BAC ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果
两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
23．如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____．
【答案】
【分析】如图，过点B作BD⊥AC于D．利用勾股定理求出AB即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于D．
∵AB＝ ＝5，
在Rt△ABD中，cos∠BAC＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
属于中考常考题型．
24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD
相交于点O，则cos∠AOD=___．
【答案】
【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中
点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，
再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．
【详解】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．
∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，∴BE∥CD，
∴∠AOD＝∠ABE．
在△ABE中，AB＝ ，AE＝2 ，BE＝ ，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴∠AEB＝90°，
∴cos∠ABE＝ ＝
∴cos∠AOD＝
故答案为 .
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，
构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．
25．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为_____．
【答案】
【分析】设小正方形的边长为1，求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明∠CAB＝
90°，再根据余弦定理即可得出答案．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
∵AC＝ ＝ ，BC＝ ＝5，AB＝ ＝2 ，
∵AB2+AC2＝（2 ）2+（ ）2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，
∴cos∠ABC＝ ＝ ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握
勾股定理以及逆定理解决问题，属于中考常考题型．
26．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．
【答案】
【详解】连接AB，
∴△AOB是等腰直角三角形,即
故答案为
27．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则
cos∠BAC的值为_____．【答案】
【分析】如图，找出格点D、E，连接CD、AD，易知△ACD是直角三角形，A、C、E三点共线，然
后勾股定理逆定理可判断△AEB是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，
找出格点D、E，连接CD、AD，
易知△ACD是直角三角形，
∴A、C、E三点共线，
连接BE，
由勾股定理可知：AB2=1+9=10，AE2=1+1=2，BE2=4+4=8，
∴AB2=AE2+BE2，
∴△ABE是直角三角形，
∴cos∠BAC= = = ，
故答案为 .
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵
活运用所学知识．
28．如图，在 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中， 的顶点都在小正方形的
格点上，则 _______．【答案】
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】在网格上取个点D，得 ∠ADC=90 ，如图：
∘
∵CD=3，AD=4，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵
活运用所学知识．
29．如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为
____．
【答案】 ．
【详解】解：如图，连接AC，由题意可得：
AB2=12+32=10，BC2=22+12=5，AC2=12+22=5，∴BC2+AC2=AB2，AB= ，AC= ，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=
故答案为： ．
