专题4.2.3相似三角形的性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读） 【直击考点】 【学习目标】 1、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上； 2、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 3、运用相似三角形的性质解决综合问题。 【知识点梳理】 考点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽ ，则 由比例性质可得： 图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二， ∽ ，则 分别作出 与 的 1 1 BCAD kBCkAD 高 和 ，则 S △ABC  2  2 =k2 S 1 1 △ABC BCAD BCAD 2 2 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点2 相似三角形的性质与判定综合 【典例分析】 【考点1 相似三角形的性质】 【典例1】（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则 △ABC与△DEF对应中线的比为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】（2019•自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和 △DEF，则∠BAC的度数为（ ） A．105° B．115° C．125° D．135° 【变式1-2】（2015•贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为 2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ） A．2：3 B． ： C．4：9 D．8：27 【变式1-3】（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC ： S△A'B'C′ 为（ ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【典例2】（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点 D，E分别在 AB，AC上，若 ，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ） A．18 B．27 C．72 D．81 【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上， EF∥BC， ＝ ，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ） A． B．25 C．35 D．63 【变式2-2】（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE： EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2【典例3】（2019秋•长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， ＝ ，OB＝6，S△AOC ＝50， 求：（1）AO的长； （2）S△BOD ． 【变式3-1】（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC ＝（ ） A．2 B． C． D．4 【变式3-2】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4， AB＝12，求CD的长． 【变式 3-3】（2016 秋•雨花区期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝ 18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°． （1）求∠ADE和∠AED的度数； （2）求DE的长．【变式3-4】（2016秋•相城区期末）如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°， △ABC∽△DAC． （1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长． 【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】 【典例4】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连 接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， ＝ ． （1）若AB＝8，求线段AD的长． （2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【变式4-1】（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD ＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 【变式4-2】（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角 平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F． （1）求证：BC＝CD+ED； （2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长． 【变式4-3】（2022•长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点， 连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．【典例5】（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC 上且DA⊥AC，垂足为A． （1）求证：AB2＝BD•BC； （2）若BD＝2，则AC的长是 ． 【变式 5-1】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，∠ABC＝ ∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长． 【变式5-2】（2021秋•秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接 CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）求证：△APE∽△FPA； （3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．【典例6】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ． （1）求证△ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【变式6-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD ＝4，BD＝8，则CD的长为（ ） A．4 B．4 C．4 D． 【变式-2】（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．【典例7】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过 点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作 GH∥EF交BC于点H． （1）求证：△AFG∽△ABC； （2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的 函数表达式，并求y的最大值． 【变式7-1】（2020•蔡甸区模拟）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12 （1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上， EF交AD于点K，求 的值； （2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．【变式7-2】（2021秋•金川区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，四 边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N； （1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度； （2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积 为多少？ 专题4.2.3 相似三角形的性质（知识解读） 【直击考点】【学习目标】 3、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上； 4、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 3、运用相似三角形的性质解决综合问题。 【知识点梳理】 考点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽ ，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二， ∽ ，则 分别作出 与 的 1 1 BCAD kBCkAD 高 和 ，则 S △ABC  2  2 =k2 S 1 1 △ABC BCAD BCAD 2 2图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点2 相似三角形的性质与判定综合 【典例分析】 【考点1 相似三角形的性质】 【典例1】（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则 △ABC与△DEF对应中线的比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为 ， ∴△ABC与△DEF对应中线的比为 ， 故选：A． 【变式 1-1】（2019•自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和 △DEF，则∠BAC的度数为（ ） A．105° B．115° C．125° D．135° 【答案】D 【解答】解：∵EF＝2，DE＝ ，DF＝ ，BC＝5，AB＝ ，AB＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF， 又∵∠DEF＝90°+45°＝135°， ∴∠BAC＝135°， 故选：D． 【变式1-2】（2015•贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为 2：3，那么这两个相似三角 形面积的比是（ ） A．2：3 B． ： C．4：9 D．8：27 【答案】C 【解答】解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2＝4：9． 故选：C． 【变式1-3】（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC ： S△A'B'C′ 为（ ） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 【答案】C 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′， ， ∴ ＝（ ）2＝ ， 故选：C． 【典例2】（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点 D，E分别在 AB，AC上，若 ，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）A．18 B．27 C．72 D．81 【答案】C 【解答】解：∵ ，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， ∵△ADE的面积为9， ∴△ABC的面积＝81， ∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积 ＝81﹣9 ＝72， 故选：C． 【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上， EF∥BC， ＝ ，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ） A． B．25 C．35 D．63 【答案】B 【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ ＝（ ）2， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， ∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC ＝S△AEF +S四边形BCFE ， ∴S△ABC ＝4+21＝25， 故选：B． 【变式2-2】（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE： EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵DE：EC＝3：1， ∴DE：AB＝DE：DC＝3：4， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴ ＝ ＝ ， ∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4． 故选：B． 【典例3】（2019秋•长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， ＝ ，OB＝6，S△AOC ＝50， 求：（1）AO的长； （2）S△BOD ．【解答】解：（1）∵△OBD∽△OAC， ∴ ＝ ＝ ， ∵BO＝6， ∴AO＝10； （2）∵△OBD∽△OAC， ＝ ， ∴ ＝ ， ∵S△AOC ＝50， ∴S△BOD ＝18． 【变式3-1】（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC ＝（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解答】解：∵△ABC∽△BDC， ∴ ＝ ， ∵AC＝4，CD＝2， ∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2 ． 故选：B． 【变式3-2】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4， AB＝12，求CD的长． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ， ∵AD＝6，AE＝4，AB＝12， ∴ ＝ ， ∴AC＝8， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2． 【变式 3-3】（2016 秋•雨花区期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝ 18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°． （1）求∠ADE和∠AED的度数； （2）求DE的长． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°， ∵△ABC∽△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝40°， ∠AED＝∠C＝65°； （2）∵△ABC∽△ADE， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得DE＝12cm． 【变式3-4】（2016秋•相城区期末）如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°， △ABC∽△DAC． （1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC， ∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°． （2）∵△ABC∽△DAC， ∴ ， 又AC＝4，BC＝6， ∴CD＝ ＝ ； 【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】 【典例4】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连 接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， ＝ ． （1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BF， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ＝ ， ∵AB＝8， ∴AD＝2； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， ∵△ADE的面积为1， ∴△ABC的面积是16， ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴△EFC∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∴△EFC的面积＝9， ∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6． 【变式4-1】（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD ＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA， ∵∠ACD＝∠ABE， ∴∠BCA＝∠ABE， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB； （2）解：∵△ABC∽△AEB， ∴ ＝ ， ∵AB＝6，AC＝4， ∴ ＝ ， ∴AE＝ ＝9． 【变式4-2】（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角 平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F． （1）求证：BC＝CD+ED； （2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴AE＝CD， ∵AD＝AE+DE， ∴BC＝CD+ED； （2）∵AF＝3，AC＝8， ∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5， ∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC， ∴△AFE∽△CFB， ∴ ＝ ＝ ， ∴设AE＝3x，BC＝5x， ∴AB＝AE＝3x， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴（3x）2+82＝（5x）2， ∴x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴AE＝3x＝6， ∴AE的长为6． 【变式4-3】（2022•长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点， 连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠EDB＝∠C， ∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E， ∴△ADE∽△DBE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB， 由（1）得△ADE∽△DBE， ∴ ， ∵DC＝10cm，BE＝18cm， ∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB+BE＝28cm， 即 ， ∴DE＝6 （cm）． 【典例5】（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC 上且DA⊥AC，垂足为A． （1）求证：AB2＝BD•BC； （2）若BD＝2，则AC的长是 2 ． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝120°， ∴∠BAC＝∠BDA＝120°， ∵∠B＝∠B， ∴△BDA∽△BAC， ∴ ＝ ，∴AB2＝BD•BC； （2）∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， ∵∠B＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD＝2， 在Rt△ADC中，∠C＝30°， ∴AC＝ AD＝2 ， 故答案为：2 ． 【变式 5-1】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，∠ABC＝ ∠ACD． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD， ∴ ＝ ， ∴AC2＝AD•AB， ∴AC2＝2×6＝12， ∴AC＝2 或AC＝﹣2 （舍去）， ∴AC的长为2 ． 【变式5-2】（2021秋•秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接 CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA； （3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长． 【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝CB， 在△ADB和△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（SSS）， ∴∠PDA＝∠PDC， 在△APD和△CPD中， ， ∴△APD≌△CPD（SAS）． （2）证明：如图，∵CD∥AB， ∴∠F＝∠PCD， ∵∠PAE＝∠PCD， ∴∠PAE＝∠F， ∵∠PAE＝∠FPA， ∴△APE∽△FPA． （3）解：如图，∵△APE∽△FPA， ∴ ＝ ， ∵PE＝4，PF＝12， ∴PA2＝PE•PF＝4×12＝48， ∴PA＝ ＝4 ，∴PC＝PA＝4 ． ∴PC的长为4 ． 【典例6】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ． （1）求证△ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵ ＝ ，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴CD＝ ． 【变式6-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ） A．4 B．4 C．4 D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ADC∽△CDB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：CD＝4 ， 故选：A． 【变式-2】（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠ADC，∠ACD+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴△ADC∽△ACB， ∴ ＝ ，∴AC2＝AB•AD； （2）解：∵AC2＝AB•AD，BD＝9，AC＝6， ∴36＝（AD+9）•AD， 解得：AD ＝3，AD ＝﹣12（舍去）， 1 2 则AD的长为3． 【典例7】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过 点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作 GH∥EF交BC于点H． （1）求证：△AFG∽△ABC； （2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的 函数表达式，并求y的最大值． 【解答】（1）证明：∵EF⊥BC，FG⊥EF， ∴ EFGH为矩形， ∴▱FG∥BC， ∴ ， ∵∠BAC＝∠FAG， ∴△AFG∽△ABC； （2）解：∵EF⊥BC，GH∥EF， ∴∠FEH＝90°，GH⊥BC， ∴∠GHE＝90°， 又FG⊥EF，AD⊥BC， ∴∠EFG＝∠ADB＝90°， ∴四边形EFGH，EFND都是矩形， ∴ND＝EF，AN⊥FG， ∵EF＝x，AD＝3， ∴ND＝EF＝x，∴AN＝AD﹣ND＝3﹣x． 由（1）得△AFG∽△ABC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴FG＝9﹣3x， ∵S四边形EFGH ＝EF•FG， ∴y＝x（9﹣3x） ＝﹣3x2+9x ＝﹣3（x﹣ ）2+ （0＜x＜3）， ∴当x＝ 时，y取得最大值，最大值为 ． 【变式7-1】（2020•蔡甸区模拟）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12 （1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上， EF交AD于点K，求 的值； （2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值． 【解答】解：（1）∵△AEF∽△ABC， ∴ ＝ ， ∵边BC长为18，高AD长为12， ∴ ＝ ＝ ； （2）∵EH＝KD＝x， ∴AK＝12﹣x，EF＝ （12﹣x）， ∴S＝ x（12﹣x）＝﹣ （x﹣6）2+54，当x＝6时，S有最大值为54． 【变式7-2】（2021秋•金川区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，四 边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N； （1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度； （2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积 为多少？ 【解答】解：（1）设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴ ， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴ ， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20； （2）设矩形EFGH的边长EH＝y， 同理可证△AEF∽△ABC，∴ ， ∴ ＝ ， ∴EF＝120﹣2y， ∵S矩形EFGH ＝EF×EH＝y（120﹣2y）＝﹣2（y﹣30）2+1800， ∴当y＝30时，矩形EFGH有最大面积， ∴当EH＝30时，矩形EFGH有最大面积，最大面积为1800．