文档内容
专题4.2.1 一次函数与正比例（知识解读）
【学习目标】
1. 经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想；
2. 理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数
表达式；
3. 通过学生从实际生活中发现变量间的特定的关系来掌握运动变化的本质，感受数学就在
身边，体验生活中处处有数学，促进学生乐于亲近数学，喜欢数学。
【知识点梳理】
考点 1 一次函数的定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
考点2 正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
考点3 待定系数法求一次函数解析式
y kxb k b k k b
一次函数 （ ， 是常数， ≠0）中有两个待定系数 ， ，需要两个独
k b x y
立条件确定两个关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 ， 的值.
注意：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个
y kxb k b
式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数 中有 和 两个待定系数，所以用
k b
待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以 和 为未知数），解方程组后就
能具体写出一次函数的解析式.
考点4 待定系数法求正比例函数解析式
y kx k k k
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对
x y k
， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
考点5 一次函数与一元一次方程
直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．
求 线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时,
1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 __ ____________ ，2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_ ______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标．
【典例分析】
【考点1 一次函数的定义】
【典例1】下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝3x﹣5 D．y＝
【变式1-2】下列函数关系中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x
【变式1-2】下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝x2+3 B． C． D．y＝kx+b
【典例2】要使函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，应满足（ ）
A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
【变式2-1】若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
【变式2-2】若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【考点2 正比例函数的定义】
【典例3】下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝x2+2
【变式3-1】下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝8x B． C．y＝5x+1 D．y＝x2+2x
【变式3-2】下列函数中为正比例函数的是（ ）
A．y＝3x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝6x+1
【变式3-3】若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【考点3 待定系数法求一次函数解析式】【典例4】已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝1．求该一次函数
的解析式．
【变式4-1】如图，在直角坐标系中，直线l所表示的一次函数是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣3 C．y＝﹣3x+3 D．y＝﹣3x﹣3
【变式4-2】已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析
式．
【变式4-3】已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．
（2）当x＝﹣3时，y的值．
【考点4 待定系数法求正比例函数解析式】
【典例5】已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．【变式5-1】已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣ 时，求y的值．
【变式5-2】已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
【变式5-3】已知y＝y +y ，y 与x成正比例，y 与x﹣1成正比例，且x＝3时，y＝4；x＝1
1 2 1 2
时，y＝2，求y与x之间的函数关系式．
【考点5 一次函数与一元一次方程】
【典例6-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程kx+b
＝2的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定
【典例 6-2】若关于 x 的方程 4x﹣b＝0 的解是 x＝﹣2，则直线 y＝4x﹣b 一定经过点
（ ）
A．（2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，2）
【变式 6-1】若关于 x 的方程﹣2x+b＝0 的解为 x＝2，则直线 y＝﹣2x+b 一定经过点
（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）
【变式6-2】如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程 x+5＝
ax+b的解（ ）
A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20
【变式6-3】关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（ ）
A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3）
【考点6 根据实际问题列一次函数关系式】
【典例7】A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地．汽车
距B地的距离y（千米）与行驶时间t（之间）的关系式为 ．
【变式7-1】已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧
伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为 ．【变式7=2】拖拉机开始工作时，油箱中有油28升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的
剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 ．
【变式7-3】某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收
0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金 元．
【变式7-4】漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按
每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（x＞2）千米，付车费y元，则所付车
费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数关系为 ．
专题4.2.1 一次函数与正比例（知识解读）
【学习目标】4. 经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想；
5. 理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数
表达式；
6. 通过学生从实际生活中发现变量间的特定的关系来掌握运动变化的本质，感受数学就在
身边，体验生活中处处有数学，促进学生乐于亲近数学，喜欢数学。
【知识点梳理】
考点 1 一次函数的定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
考点2 正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
考点3 待定系数法求一次函数解析式
y kxb k b k k b
一次函数 （ ， 是常数， ≠0）中有两个待定系数 ， ，需要两个独
k b x y
立条件确定两个关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 ， 的值.
注意：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个
y kxb k b
式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数 中有 和 两个待定系数，所以用
k b
待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以 和 为未知数），解方程组后就
能具体写出一次函数的解析式.
考点4 待定系数法求正比例函数解析式
y kx k k k
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一对
x y k
， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
考点5 一次函数与一元一次方程
直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．
求 线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时,
1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 __ ____________ ，
2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_ ______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标．
【典例分析】【考点1 一次函数的定义】
【典例1】下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝3x﹣5 D．y＝
【答案】C
【解答】解：A、y＝ ，是反比例函数，不符合题意；
B、y＝x2，是二次函数，不符合题意；
C、y＝3x﹣5，是一次函数，符合题意；
D、y＝ ，分母中含自变量．不是一次函数，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】下列函数关系中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x
【答案】D
【解答】解：A选项，这是二次函数，故该选项不符合题意；
B选项，这不是整式，故该选项不符合题意；
C选项，没有强调k≠0，故该选项不符合题意；
D选项，这是一次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝x2+3 B． C． D．y＝kx+b
【答案】B
【解答】解：A．y＝x2+3，是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝ ，是一次函数，故B符合题意；
C．y＝ ，是反比例函数，故C不符合题意；
D．y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），此时才是一次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【典例2】要使函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，应满足（ ）A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
【答案】C
【解答】解：∵y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，
∴m﹣2≠0，n﹣1＝1，
∴m≠2，n＝2，
故选：C．
【变式2-1】若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故选：B．
【变式2-2】若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，
∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【考点2 正比例函数的定义】
【典例3】下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝x2+2
【答案】A
【解答】解：A、y＝ 是正比例函数，故此选项符合题意；
B、y＝ 是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、y＝﹣2x+1是一次函数，但不是正比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2+2是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：A．【变式3-1】下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝8x B． C．y＝5x+1 D．y＝x2+2x
【答案】A
【解答】解：A、y＝8x，y是x的正比例函数，故A符合题意；
B、y＝ ，y是x的反比例函数，故B不符合题意；
C、y＝5x+1，y是x的一次函数，故C不符合题意；
D、y＝x2+2x，y是x的二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【变式3-2】下列函数中为正比例函数的是（ ）
A．y＝3x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝6x+1
【答案】C
【解答】解：A、该函数是二次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、该函数是正比例函数，故本选项正确；
D、该函数是一次函数，故本选项错误；
故选：C．
【变式3-3】若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：∵函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴ ，
解得k＝1．
故选：C．
【考点3 待定系数法求一次函数解析式】
【典例4】已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝1．求该一次函数
的解析式．
【解答】解：设y＝kx+b（k≠0），
∵当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝1，∴ ，
解得：k＝2，b＝3，
所以该一次函数的解析式是y＝2x+3．
【变式4-1】如图，在直角坐标系中，直线l所表示的一次函数是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣3 C．y＝﹣3x+3 D．y＝﹣3x﹣3
【答案】A
【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
把点（﹣1，0）（0，3）代入y＝kx+b，
得 ，
解得 ，
∴直线l所表示的一次函数的解析式为y＝3x+3．
故选：A．
【变式4-2】已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析
式．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得 ，解得 ，
所以一次函数的解析式为y＝2x﹣1．
【变式4-3】已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．
（2）当x＝﹣3时，y的值．
【解答】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则，
解得 ．
故该一次函数解析式为：y＝2x+1；
（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得
y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
即：y的值为﹣5．
【考点4 待定系数法求正比例函数解析式】
【典例5】已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．
【解答】解：设y＝kx（k≠0），
∵x＝2时，y＝﹣6，
∴﹣6＝2k，解得k＝﹣3，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣3x．
【变式5-1】已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣ 时，求y的值．
【解答】解：（1）根据题意，设y＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，
解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；
（2）把x＝﹣ 代入y＝2x得：y＝﹣1．
【变式5-2】已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
【解答】解：（1）∵y与x成正比例，
∴设y＝kx，
∵当x＝3时，y＝4，
∴4＝3k，解得k＝ ，∴y与x之间的函数关系式为y＝ x；
（2）把x＝﹣1代入y＝ x得y＝﹣ ；
【变式5-3】已知y＝y +y ，y 与x成正比例，y 与x﹣1成正比例，且x＝3时，y＝4；x＝1
1 2 1 2
时，y＝2，求y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设y ＝mx，y ＝n（x﹣1），则y＝y +y ＝（m+n）x﹣n，根据题意得：
1 2 1 2
解得： ，
则y与x之间的函数关系式是：y＝x+1．
【考点5 一次函数与一元一次方程】
【典例6-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程kx+b
＝2的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），
∴当y＝2时，x＝3，
即方程kx+b＝2的解为x＝3，
故选：C．
【典例 6-2】若关于 x 的方程 4x﹣b＝0 的解是 x＝﹣2，则直线 y＝4x﹣b 一定经过点
（ ）
A．（2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，2）
【答案】C
【解答】解：由方程可知：当x＝﹣2时，4x﹣b＝0，即当x＝﹣2，y＝0，
∴直线y＝4x﹣b的图象一定经过点（﹣2，0）．
故选：C．
【变式 6-1】若关于 x 的方程﹣2x+b＝0 的解为 x＝2，则直线 y＝﹣2x+b 一定经过点（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（4，0） D．（2，5）
【答案】A
【解答】解：由方程的解可知：当x＝2时，﹣2x+b＝0，即当x＝2，y＝0，
∴直线y＝﹣2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
【变式6-2】如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程 x+5＝
ax+b的解（ ）
A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20
【答案】D
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．
故选：D．
【变式6-3】关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（ ）
A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3）
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，
∴x＝7时，y＝kx+b＝3，
∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）．
故选：D．
【考点6 根据实际问题列一次函数关系式】
【典例7】A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地．汽车
距B地的距离y（千米）与行驶时间t（之间）的关系式为 ．
【答案】y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．
【解答】解：由题意y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．故答案为y＝500﹣50t，（0≤t≤10）．
【变式7-1】已知一根弹簧在不挂重物时长6cm，在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧
伸长0.3cm．则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数关系式为 ．
【答案】 y ＝ 0. 3 x + 6
【解答】解：∵每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长0.3xcm，
∴弹簧总长y＝0.3x+6．
故答案为：y＝0.3x+6．
【变式7=2】拖拉机开始工作时，油箱中有油28升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的
剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 ．
【答案】 y ＝ 28 ﹣ 4 x
【解答】解：∵每小时耗油4升，
∵工作x小时内耗油量为4x升，
∵油箱中有油28升，
∴剩余油量y＝28﹣4x，
故答案为y＝28﹣4x．
【变式7-3】某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收
0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后n天（n≥2）应收租金 元．
【答案】 （ 0. 5 n +0. 6 ）
【解答】解：当租了n天（n≥2），则应收钱数：
0.8×2+（n﹣2）×0.5，
＝1.6+0.5n﹣1，
＝0.5n+0.6（元）．
答：共收租金（0.5n+0.6）元．
故答案为：（0.5n+0.6）．
【变式7-4】漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按
每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（x＞2）千米，付车费y元，则所付车
费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数关系为 ．
【答案】 y ＝ 1.6 x +1.8
【解答】解：由题意得，李老师乘出租车行驶了x（x＞2）千米，
故可得：y＝5+（x﹣2）×1.6＝1.6x+1.8．故答案为：y＝1.6x+1.8．
