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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.1认识三角形：三角形的有关概念
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020春•溧水区期末）若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．2＜c＜5 B．3＜c＜8 C．2＜c＜8 D．2≤c≤8
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，
解得：2＜c＜8，
故选：C．
2．（2019秋•巩义市期末）若三角形两边长分别是4、5，则第三边c的范围是（ ）
A．1＜c＜9 B．9＜c＜14 C．10＜c＜18 D．无法确定
【分析】直接利用三角形的三边关系进而得出答案．
【解答】解：∵三角形两边长分别是4、5，
∴第三边c的范围是：5﹣4＜c＜4+5，
则1＜c＜9．
故选：A．
3．（2021春•遵化市期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，2，4 C．2，3，6 D．3，4，5
【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
【解答】解：A、1+2＜4，不能构成三角形，不符合题意；
B、2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意；
C、2+3＜6，不能构成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，能构成三角形，符合题意．
故选：D．
4．（2021春•嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线C．三角形的高 D．三角形的高和中线
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
【解答】解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C．
5．（2021春•巨野县期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
【分析】根据三角形的中线的概念、三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知，在三角形中，三角形的中线一定能将其面积分
成相等两部分，
故选：A．
6．（2021秋•大连期中）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，以下结论正确的是（ ）
A．BC＝2AD B．AF＝ AB C．AD＝CD D．BE＝CF
【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．
【解答】解：∵AD、BE、CF是△ABC的三条中线，
∴AE＝EC＝ AC，AB＝2BF＝2AF，BD＝DC＝ BC，
故A、C、D都不一定正确；B正确．
故选：B．
7．（2021秋•密山市期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若
S△DEF ＝4，则S△ABC 等于（ ）A．16 B．24 C．32 D．30
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．则可先求出 S△DCF ＝3，再求出S△CAE ＝
6，然后求出S△ABD ＝12，从而得到S△ABC ．
【解答】解：∵DF是△CDE的中线，
∴S△DCF ＝S△DEF ＝4，
∵CE是△ACD的中线，
∴S△CAE ＝S△CDE ＝8，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD ＝S△ADC ＝8+8＝16，
∴S△ABC ＝16+16＝32．
故选：C．
8．（2020秋•增城区期末）如图，在△ABC中，AB＝2020，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD
的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用中线定义可得DB＝DC，再表示两个三角形周长，进而可得答案．
【解答】解：∵AD为中线，
∴DB＝DC，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2020﹣2018＝2，
故选：B．9．（2020秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为 E，则
△ABD的BD边上的高是（ ）
A．AD B．DE C．AC D．BC
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴AC⊥BD，
∴△ABD的BD边上的高是AC，
故选：C．
10．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝
2BF，若S△BCF ＝2cm2，则S△ABC 为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【分析】根据EF＝2BF，S△BCF ＝2cm2，求得S△BEC ＝3S△BCF ＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个
面积相等的三角形可得S△BDE ＝S△CDE ＝ S△BEC ＝3cm2，从而求出S△ABD ＝S△ACD ＝2S△BDE ＝6cm2，再根
据S△ABC ＝2S△ABD 计算即可得解．
【解答】解：如图，∵EF＝2BF，若S△BCF ＝2cm2，
∴S△BEC ＝3S△BCF ＝3×2＝6cm2，
∵D是BD的中点，
∴S△BDE ＝S△CDE ＝ S△BEC ＝3cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝2S△BDE ＝6cm2，∴△ABC的面积为12cm2，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•三台县期中）自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的 稳定性 ．
【分析】利用三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
12．（2020秋•丹江口市期中）如图，要使四边形木架不变形，至少要钉上 1 根木条．
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，
而四边形不具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，在四边形的对角线上添加一根木条即可．
故答案为：1
13．（2019春•沈阳月考）已知三角形两边的长分别为 1、6．若第三边的长为整数，则第三边的长为 6
．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取
值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
5＜第三边＜7．
又第三条边长为整数，
则第三边是6．
故答案为：6．
14．（2021•徐州模拟）若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab﹣c2+b2 ＜ 0（横线上填＞，＜或＝）．
【分析】将a2﹣2ab﹣c2+b2分解因式得（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），再由a、b、c是三角形的三条边长结合
三角形的三边关系即可得出a﹣b+c＞0、a﹣b﹣c＜0，进而得出a2﹣2ab﹣c2+b2＜0．
【解答】解：a2﹣2ab﹣c2+b2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），
∵a、b、c是三角形的三条边长，
∴a+c＞b，a＜b+c，
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴a2﹣c2﹣2ab+b2＜0．
故答案为：＜．
15．已知在△ABC中，BD⊥AC，CF⊥AB，BD与CF交于点G，连接AG并延长交BC于点E，则AE ⊥
BC，△ABG中BG边上的高为 AD ；△ACG中CG边上的高为 AF ；△BCG中BG边上的高为
CD ；CG边上的高为 BF ．
【分析】三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可求解．
【解答】解：∵BD⊥AC，CF⊥AB，AE⊥BC；
△ABG中BG边上的高为AD；
△ACG中CG边上的高为AF；
△BCG中BG边上的高为CD；
CG边上的高为BF．
故答案为：⊥，AD，AF，CD，BF．
16．（2021春•江阴市校级月考）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若
△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为 4 ．【分析】根据AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，得出三角形EDC的面积+三角形AEB的面积与
三角形ABC的面积的关系即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE ＝S△ADE ＝ S△ABD ，
S△EDC ＝S△CAE ＝ S△ACD ，
∴S△ABE ＝ S△ABC ，S△CDE ＝ S△ABC ，
∴S△ABE +S△CDE ＝ S△ABC + S△ABC ＝ S△ABC ＝ ＝4，
故答案为：4．
17．（2020秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周
长分成60cm和40cm两部分，则边AC的长为 4 8 cm ．
【分析】先根据 AD是BC边上的中线得出 BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再根据
AC+CD＝60，AB+BD＝40，即可得出x和y的值．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
∵AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．
故答案为：48cm．18．（2019春•揭阳期中）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD
的周长为15cm，则AC长为 7 cm ．
【分析】先根据△ABD周长为15cm，AB＝6cm，AD＝5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的
定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
【解答】解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD＝15﹣6﹣5＝4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC＝8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC＝21﹣6﹣8＝7cm．
故AC长为7cm，
故答案为：7cm．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）写出△ABE的三个内角；
（2）在△ABD中，∠B的对边是 AD ；在△ABC中，∠B的对边是 AC ；
（3）图中共有 6 个三角形，把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三
角形？哪些是钝角三角形？
（4）线段AD是哪几个三角形的公共边？
（5）∠ADC是哪几个三角形的公共角？∠AED呢？【分析】（1）根据三角形内角的定义，结合图形即可求解；
（2）根据三角形中角的对边的定义，结合图形即可求解；
（3）根据三角形的定义，结合数出图中三角形的个数，再根据直角三角形、锐角三角形、钝角三角形
的定义进行分类；
（4）根据三角形的边的定义，结合图形即可求解；
（5）根据三角形的角的定义，结合图形即可求解．
【解答】解：（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB；
（2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC．
故答案为：AD；AC；
（3）图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．
这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角
形是：△ABD．
故答案为：6；
（4）线段AD是△ABD，△ADE，△ADC的公共边；
（5）∠ADC是△ADE，△ADC的公共角；∠AED是△ABE，△ADE的公共角．
20．如图，用式子把下列条件表示出来．
（1）AD是△ABC的高；
（2）BE是△ABC的角平分线；
（3）CF是△ABC的中线．【分析】（1）三角形的高线与相应边所形成的夹角为90°，据此作答即可；
（2）根据角平分线的定义进行求解即可；
（3）根据中线的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：∠ADC＝∠ADB＝90°；
（2）由题意得：∠ABE＝∠CBE；
（3）由题意得：AF＝BF．
21．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为点 D，EC⊥BC 交 AB 于点 E，CF⊥AB，垂足为点 F，
BG⊥AC，垂足为点G．
（1）分别写出△ABC各条边上的高；
（2）CF是哪几个三角形的高？
【分析】（1）根据三角形的高的概念，写出△ABC三条边上的高即可；
（2）根据三角形的高的概念，由CF⊥AB，垂足为点F解答即可．
【解答】解：（1）由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是
BG；
（2）∵CF⊥AB，垂足为点F，
∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．
22．（2017秋•岑溪市期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇
数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 3 种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为 8元╱分米，问至少需要多
少钱购买材料？（忽略接头）
【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取
值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．
（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元╱分米，可求其所需钱数．
【解答】解：（1）三角形的第三边x满足：7﹣3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而
第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9＝51（分米），
∴51×8＝408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
23．（2021秋•河口县期末）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm
与15cm两部分，求三角形各边长．
【分析】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝
15；当x+2x＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【解答】解：如图，∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x+2x＝12，解得x＝4，
BC+x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
24．（2020春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多
2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．
【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的
差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜BC＜10．
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