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专题4.2.3 相似三角形的性质（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022•泗阳县一模）两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（ ）
A． B．3：2 C．9：4 D．不能确定
【答案】C 。
【解答】解：∵两个相似三角形，其周长之比为3：2，
∴其相似比为3：2，
∴其面积比为9：4．
故选：C．
2．（2022•灞桥区校级四模）如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上
的中线，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
3．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中 AC＝4，CD＝2，则 BC＝（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B。
【解答】解：∵△ABC∽△BDC，
∴ ＝ ，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，
∴BC＝2 ．
故选：B．
4．（2021春•永嘉县校级期中）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是 ，则
△ABC与△DEF对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为 ，
∴△ABC与△DEF的相似比为 ，
∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为 ，
故选：D．
5．（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：
1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ）A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
【答案】B。
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ＝ ＝ ，
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．
故选：B．
6．（2021秋•闵行区校级期中）如果两个相似三角形对应边之比 1：9，那么它们的对应中
线之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：81
【答案】C。
【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比1：9，
∴两个相似三角形的相似比为1：9，
∴它们的对应中线之比是1：9，
故选：C．
7．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，
1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能是（ ）A．（6，2） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【答案】B。
【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．
A．当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：
DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B．当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：
DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C．当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：
CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D．当点E的坐标为（4，2）时，∠CDE＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC≠CD：
CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．（2021秋•高邑县期中）如图所示，△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．80°
【答案】C。
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°，
∴∠D＝180°﹣35°﹣80°＝65°．故选：C．
9．（2021春•肇源县期末）已知△ABC∽△A B C ，BD和B D 是它们的对应中线，若
1 1 1 1 1
＝ ，B D ＝4，则BD的长是（ ）
1 1
A． B． C．6 D．8
【答案】C。
【解答】解：∵△ABC∽△A B C ，
1 1 1
∴ ，
∴ ，
∴BD＝6，
故选：C．
10．（2021秋•上城区校级期中）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正
方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B。
【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
二、填空题。
11．（2021春•定陶区期末）如图，△ADE∽△ABC，AD＝3，AE＝4，BE＝5，CA的长为12 ．
【答案】12。
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵AD＝3，AE＝4，BE＝5，
∴ ＝ ，
解得：AC＝12．
故答案为：12．
12．（2021•江华县一模）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的
最短边为10，则△A′B′C′的周长是 3 6 ．
【答案】36。
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′
的最短边为10，
∴相似比是： ＝ ，
∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，
∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，
故答案为：36．
13．（2021•蒙城县校级模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上， ，
线段PQ在边BA上运动， ，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝ 1 或 ；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为 ．【答案】1或 ； 。
【解答】解：（1）设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝3﹣x﹣ ＝ ﹣x，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴，当△ADQ∽△BPC时， ＝ ，
即 ＝ ，解得x＝1或 ，
∴当△ADQ∽△BPC时，AQ＝1或 ，
故答案为：1或 ；
（2）设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC ﹣S△ADQ ﹣S△BCP ＝ ×32﹣ ×x× ×
﹣ ×3×（3﹣x﹣ ）× ＝ + x，
∵x的最大值为3﹣ ＝ ，
∴x＝ 时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝ ，
故答案为： ．
14．（2021•海东市模拟）如图，△ABC∽△ACD，∠ACB＝∠D＝90°，AB∥CD，AC2＝
AB • DC ．【答案】AB•DC。
【解答】解：∵∠ACB＝∠D＝90°，且△ABC∽△ACD，
∴ ，
即AC2＝AB•DC，
故答案为：AB•DC．
15．（2021秋•江阴市校级月考）已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为 ，
，2，△DEF的其中的两边长分别为1和 ，则第三边长为 ．
【答案】 。
【解答】解：设△DEF的第三边长为x，
∵△ABC∽△DEF，
且△ABC的三边长分别为 ， ，2，△DEF的其中的两边长分别为1和 ，
∴ ，
∴x＝ ，
即：△DEF的第三边长为 ．
16．（2022春•松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为 3：4，则这两个三角形的
周长之比为 ： 2 ．
【答案】 ：2。
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，
∴相似比是 ：2，∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为： ：2，
故答案为： ：2．
17．（2021秋•巨野县期中）已知两个直角三角形的三边长为3，4，m和6，8，n，且这两
个直角三角形不相似，则m+n的值为 5+ 2 或 10+ ．
【答案】5+2 或10+ 。
【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似；
当三边分别为3，4， ，和6，8，2 ，此时两三角形相似；
当3，4为直角边时，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：n＝ ＝2
，
故m+n＝5+2 ；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：m＝ ＝
，
故m+n＝10+ ；
综上所述：m+n的值为5+2 或10+ ，
故答案为：5+2 或10+ ．
18．（2021秋•温江区校级期中）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动
点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，
点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形
与△ABC相似时，运动的时间是 3 秒或 4. 8 秒 ．
【答案】3秒或4.8秒。【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与
△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
三、解答题。
19．（2021秋•霍邱县期中）如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小
正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，
请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．
【解答】解：连接AB、BD、AD、AC，∵AB＝ ＝ ，AC＝ ＝ ，BC＝4，CD＝2，BD＝ ＝2
，AD＝ ＝5，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△ABD∽△DCB，相似比 ．
20．（2021秋•泗县期中）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求
CD的长．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，
∴ ＝ ，
∴AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
21．（2021•市中区校级开学）如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝
70cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°．
求：（1）∠AED和∠ADE的度数；
（2）DE的长．【解答】解：（1）∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝95°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°，
∠ADE＝∠ABC＝95°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
又∵BC＝70cm，
∴DE＝43.75cm．
22．（2021秋•秦都区月考）已知两相似三角形对应角平分线的比为 3：10，且大三角形的
面积为400cm2，求小三角形的面积．
【解答】解：设小三角形的面积为S，
∵两相似三角形对应角平分线的比为3：10，
∴两相似三角形的相似比为3：10，
∴ ，
∴S＝36，
即小三角形的面积为36cm2；
23．（2022•沈阳模拟）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，
延长DC到点G，使CG＝ CD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝ CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝ ，
即BE＝ ＝ ，
∵△AEB∽△DEC，
∴ ＝ ＝ ，
∴CE＝2 ，
∴BC＝BE+CE＝3 ，
∴AG＝BC＝3 ．
24．（2021•盐都区二模）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM
并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接
NP、BP．
（1）求证：BP＝MN；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM＝MC．
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM＝BP，
∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM＝MN，
∴BP＝MN；
（2）解：∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠AMB+∠CMQ＝90°，
∴∠BAM＝∠CMQ，
又∵∠ABM＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴ ，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴ ，
∴ ，
∴BM＝MC．
25．（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．
（1）求∠ADC度数；
（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．【解答】解：（1）∵△CBD∽△ACD，
∴∠CDB＝∠ADC，
∵∠CDB+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝90°．
（2）如图，
∵△CBD∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝2（负根已经舍弃），
∴CD＝ ＝ ＝2 ．
26．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B
重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于
点F，连接BE，DF．
（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；
（2）若AP＝ ，求BE；
（3）若△PFD∽△BFP，求 ．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∵∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠FPB＝90°，
∴∠ADP＝∠FPB＝32°；
（2）过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP＝∠A＝90°，
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，
∴△PAD≌△EQP（AAS），
∴EQ＝AP，AD＝AB＝PQ，
∴AP＝EQ＝BQ＝ ，
∴BE＝ ；
（3）∵△PFD∽△BFP，
∴ ＝ ，
∵∠A＝∠PBC，∠ADP＝∠FPB，
∴△APD∽△BFP，
∴ ＝ ，
∴AP＝BP，
∴ ＝ ．
