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专题4.2.3 相似三角形的性质（专项训练）
1．（2021•金昌）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
2．（2021•重庆）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
3．（2021•连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则下列等式一定成立的
是（ ）
A． ＝
B． ＝
C． ＝
D． ＝
4．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（
）
A．2 B．3 C．4 D．55．（2019•梁平区模拟）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则 的值为（
）
A． B． C． D．
6．（2021•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，
那么大三角形的周长为（ ）
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
7．（2021•重庆）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC＝1，则EF的长是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022•漳州模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的
面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
9．（2022•曲靖）若△ADE∽△ACB，且 ＝ ，DE＝10，则BC＝ ．
10．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若 ＝ ，则 ＝ ．
11．（2022•丽江二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接AC、DE交
于点F，S△AEF ：S△CDF ＝4：25，则 为（ ）
A．2：5 B．5：2 C．2：7 D．4：25
12．（2022•西城区二模）如图，在平行四边形 ABCD中，点E在BA的延长线上，AB＝
2AE，EC，BD交于点F．若BD＝10，则DF的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．4 D．5
14.（2021秋•新化县期末）如图，在△ABC，BC＝30，高AD＝20，正方形EFGH一边在
BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
15．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形
DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（ ）A． B． C． D．
16．（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD
＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．2
17．（2022•西湖区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一点，BD＝BC．
（1）求证：△ABC∽△BCD．
（2）若点D为AC中点，且AC＝4，求BC的长．
18．（2022春•永嘉县月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝
BD．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．19．（2021秋•宜宾期末）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交
CD于F，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
20．（2021秋•长沙期末）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长
线于点E．
（1）求证：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求AE的值．
21．（2021秋•禅城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为
E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．22.（2021秋•松江区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结
DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2．
（1）如果AB＝10，求BG的长；
（2）求 的值．
23．（2021秋•长春期末）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
24．（2021•宜宾校级模拟）在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一
点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F．
（1）设BP＝x，将S△PEF 用x表示；
（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．25．（2021春•莱州市期末）如图，正方形 ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，连接
DG，BE，AC，CF．
（1）求证：DG＝BE；
（2）求 的值．专题4.2.3 相似三角形的性质（专项训练）
1．（2021•金昌）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【答案】D
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：2，
故选：D．
2．（2021•重庆）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【答案】A
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选：A．
3．（2021•连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，则下列等式一定成立的
是（ ）
A． ＝
B． ＝C． ＝
D． ＝
【答案】D
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ ＝ ，A不一定成立；
＝1，B不成立；
＝ ，C不成立；
＝ ，D成立，
故选：D．
4．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ ＝ ，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴ ＝ ，
解得：AB＝4．故选：C．
5．（2019•梁平区模拟）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6．（2021•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，
那么大三角形的周长为（ ）
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
【答案】D
【解答】解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x＝12，
解得x＝6，
所以5x＝30，
即大三角形的周长为30cm．
故选：D．
7．（2021•重庆）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC＝1，则EF的长是（
）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴ ＝ ，
∴EF＝2BC＝2．
故选：B．
8．（2022•漳州模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的
面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
【答案】C
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵△ADE的面积是4cm2，
∴△ABC的面积是16cm2，
∴四边形BDEC的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积
＝16﹣4
＝12（cm2），故选：C．
9．（2022•曲靖）若△ADE∽△ACB，且 ＝ ，DE＝10，则BC＝ ．
【答案】15
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，又 ＝ ，DE＝10，
∴BC＝15．
故答案为：15．
10．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N
分别是DE，BC的中点，若 ＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ，故答案为： ．
11．（2022•丽江二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接AC、DE交
于点F，S△AEF ：S△CDF ＝4：25，则 为（ ）
A．2：5 B．5：2 C．2：7 D．4：25
【答案】A
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
∴△AEF∽△CDF，
∴S△AEF ：S△CDF ＝ ，
∵S△AEF ：S△CDF ＝4：25，
∴ ＝ ，
故选：A．
12．（2022•西城区二模）如图，在平行四边形 ABCD中，点E在BA的延长线上，AB＝
2AE，EC，BD交于点F．若BD＝10，则DF的长为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵AB＝2AE，
∴ ＝ ＝ ，
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△EBF，
∴ ＝ ＝ ，
∴DF＝ BF，
∴DF＝ BD＝ ×10＝4，
故选：C．
14.（2021秋•新化县期末）如图，在△ABC，BC＝30，高AD＝20，正方形EFGH一边在
BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝30，AD＝20，∴AN＝20﹣x，
∴ ，
解得：x＝12，
∴AN＝20﹣x＝20﹣12＝8．
故选：A．
15．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形
DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵DG：GF＝1：2，
∴设DG＝x，FG＝2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴FG∥DE，
∴∠CGF＝∠A．∠CFG＝∠B，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH⊥AB，FG∥DE，
∴CH⊥FG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的根，
∴FG＝5，
∴ ＝（ ）2＝ ，∴△GFC与四边形ABFG的面积比为＝1：3，
故选：A．
16．（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD
＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△BDA∽△ADC，
∴ ＝ ，
∵AD＝3，CD＝4，
∴ ＝ ，
解得：BD＝ ，
故选：A．
17．（2022•西湖区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一点，BD＝BC．
（1）求证：△ABC∽△BCD．
（2）若点D为AC中点，且AC＝4，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）解：∵点D为AC中点，且AC＝4，
∴CD＝ AC＝ ×4＝2，
∵△ABC∽△BCD，
∴ ，
∵BD＝BC，AC＝4，CD＝2，
∴ ，
∴BC2＝8，
∴BC＝2 或﹣2 （不符合题意，舍去），
∴BC的长为2 ．
18．（2022春•永嘉县月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝
BD．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
（2）解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A+∠ABD+∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
19．（2021秋•宜宾期末）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交
CD于F，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠FMC＝90°，
∴∠BAM＝∠FMC，
∴△ABM∽△MCF；
（2）解：∵AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，
由（1）得：△ABM∽△MCF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，
∵BC∥AD，
∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，
∴△DEF∽△CMF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝6，
∴△DEF的面积＝ DE•DF＝ ×6×3＝9，
答：△DEF的面积为9．
20．（2021秋•长沙期末）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长
线于点E．
（1）求证：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求AE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB，
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，∴∠B＝∠AME，
∴△ABM∽△EMA；
（2）解：∵AB＝4，BM＝3，∠B＝90°，
∴AM＝ ＝ ＝5，
∵△ABM∽△EMA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ．
21．（2021秋•禅城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为
E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∵∠AFE＝∠B．
∴∠AFD＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝7，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∴DE＝ ＝ ＝10，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝ ．
22.（2021秋•松江区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结
DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2．
（1）如果AB＝10，求BG的长；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠CDE，
∴△AGE∽△CDE，
∴ ＝ ＝ ，
又∵AB＝CD＝10，
∴AG＝ CD＝ ×10＝15，
∴BG＝AG﹣AB＝15﹣10＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥CF，
∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE，
∴△ADE∽△CFE，∴ ＝ ＝ ，
又∵△AGE∽△CDE，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ × ＝ × ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
23．（2021秋•长春期末）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6，BE＝8，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∴CD＝ BC＝5，
∵△ACD∽△BCE，
∴ ，
∴AD＝ ，∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝AC＝ ．
24．（2021•宜宾校级模拟）在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一
点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F．
（1）设BP＝x，将S△PEF 用x表示；
（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．
【解答】解：（1）∵BC＝2，BC边上的高AD＝1，
∴S△ABC＝ ×2×1＝1，
∵BP＝x，
∴PC＝2﹣x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴ ＝（ ）2，
∴S△CEP ＝1﹣x+ ，
同理，得到S△BPF ＝ ，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S△PEF＝ S
AEPF
＝ （S△ABC ﹣S△CEP ﹣S△BPF ）
▱
＝﹣ x2+ x（0＜x＜2）．S△PEF ＝﹣ x2+ x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S△PEF ＝﹣ x2+ x＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∵0＜x＜2，
∴当x＝1时，面积有最大值 ．
25．（2021春•莱州市期末）如图，正方形 ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，连接
DG，BE，AC，CF．
（1）求证：DG＝BE；
（2）求 的值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAB﹣∠GAB＝∠GAE﹣∠GAB，
∴∠DAG＝∠BAE．
∴△DAG≌△BAE．
∴DG＝BE．
（2）解：如图，连接AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
AC＝ ．
∴ ，
同理， ．∴ ＝ ．
∵∠CAF＝∠CAB﹣∠FAB＝45°﹣∠FAB，
同理可得∠BAE＝45°﹣∠FAB，
∴∠CAF＝∠BAE．
∴△CAF∽△BAE．
∴ ．
