专题4.1认识三角形（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_06专项讲练_七年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 4.1 认识三角形 三角形三线的基本概念 【例1】下列语句正确的是 A．三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 【解答】解： 、三角形的三条高不一定在三角形内部，错误； 、三角形的三条中线交于一点，正确； 、三角形具有稳定性，错误； 、三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误； 故选： ． 【变式训练1】下列说法中，正确的个数是 ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高 都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条 高分别交于一点． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误； ④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交 于一点，高线指的是线段，故错误． 所以正确的有1个． 故选： ． 【变式训练2】下列说法中：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只 有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线可能在三角形的内部 也可能在三角形的外部，其中说法正确的有 个．A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①三角形的角平分线、中线、高都是线段，故本小题正确； ②直角三角形有三条高，故本小题错误； ③三角形的中线一定在三角形的内部，一定不在三角形外部，故本小题错误； ④锐角三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有两条在三角形的外部，故本小题正确． 说法正确的有2个． 故选： ． 【变式训练3】下列说法正确的是 A．三角形的角平分线是射线 B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线 C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部 D．锐角三角形的三条高交于一点 【解答】解： ．三角形的角平分线是线段，故 不符合题意； ．三角形的中线是线段，故 不符合题意； ．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高 在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故 不符合题 意； ．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故 符合题意； 故选： ． 三角形的高 【例2】数学课上，同学们在作 中 边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确 的是 A． B．C． D． 【解答】解： 、 是 中 边上的高，符合题意； 、 不是 中 边上的高，不符合题意； 、 不是 中 边上的高，不符合题意； 、 是 中 边上的高，不是 中 边上的高，不符合题意； 故选： ． 【变式训练1】如图所示四个图形中，线段 能表示三角形 的高的是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，线段 能表示三角形 的高时， 于 ． 选项中， 与 不垂直； 选项中， 与 不垂直； 选项中， 与 不垂直； 线段 是 的高的图是 选项． 故选： ． 【变式训练2】在 中，画边 上的高，正确的是 A． B．C． D． 【解答】解： ．此图形中 是 边上的高，符合题意； ．此图形中 不是 边上的高，不符合题意； ．此图形中 是 边上的高，不符合题意； ．此图形中 是 中 边上的高，不符合题意； 故选： ． 【变式训练3】如图，在 中， 边上的高线是 A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【解答】解：在 中， 边上的高线是线段 ， 故选： ． 【例3】如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， 平分 ， ， ， ． 故选： ． 【变式训练1】 中， ，高 和 交于 ，则 为A． 或 B． 或 C． D． 【解答】解：①如图1， 是锐角三角形时， 、 是高， ， ； ②如图2， 是钝角三角形时， 、 是高， ， ， ， 又 （对顶角相等）， ， 综上所述， 为 ． 故选： ． 【变式训练2】如 图 ， 中 ， 是 边 上 的 高 ， 是 的 平 分 线 ， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： 是 的平分线， ， ， ， ，， ， 故选： ． 【变式训练3】如图，在 中， 在 的延长线上，过 作 于 ，交 于 ．已知 ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： （已知）， （垂直定义）， 在 中， ， （已知）， ， 又 （对顶角相等）， ， 在 中， ， （已知）， ． 故选： ． 三角形的中线与周长 【例4】已知 为 的中线，且 ， ，则 与 的周长之 差为 A． B． C． D． 【解答】解： 为中线， ， 与 的周长之差 ， ， ，与 的周长之差 ． 故选： ． 【变式训练1】如图，在 中， ， ， 为 边上的中线，则 与 的周长之差为 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解： 是 的中线， ， 与 的 周 长 之 差 为 ： ； 故选： ． 【变式训练2】如图， 是 的中线，已知 的周长为 ， 比 长 ， 则 的周长为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得， ， 是 的中线，， 的周长为 ， ， 则 ， 的周长 ， 故选： ． 【变式训练3】如图所示， 是 的中线．若 ， ，则 和 的周长的差为 2 ． 【解答】解： 是 边上的中线， ， 和 的周长差 ， ， ， 和 的周长差 ． 故答案为：2 三角形的中线与面积 【例5】如图，在 中，已知点 、 、 分别是 、 、 的中点，且 的面积为24，则 的面积是 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解： 点为 的中点，， 点为 的中点， ， ， ， 点为 的中点， ． 故选： ． 【变式训练1】如图， 是 的中线，点 ， 分别为 ， 的中点，若 的面积为8，则 的面积是 A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解： 点 为 的中点， ， ， ， ， 点为 的中点， ． 故选： ． 【变式训练2】如图， 是 的中线， 是 的中线， 是 的中线， 若 ，则 等于A．16 B．14 C．12 D．10 【解答】解： 是 的中线， ， 是 的中线， ， 是 的中线， ， ． 故选： ． 【变式训练3】如图，点 、 分别为 、 的中点，若 的面积为3，则 的面积是 A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解： 是 的中点， 的面积为3， ， 是 的中点， ， ，， 的面积 ． 故选： ． 三角形的三边关系 【例6】下列长度的三条线段能组成三角形的是 A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，5，9 【解答】解： 、 ，不能组成三角形，不符合题意； 、 ，不能组成三角形，不符合题意； 、 ，能组成三角形，符合题意； 、 ，不能组成三角形，不符合题意． 故选： ． 【变式训练1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【解答】解： 、 ，不能组成三角形，不符合题意； 、 ，能组成三角形，符合题意； 、 ，不能组成三角形，不符合题意； 、 ，不能组成三角形，不符合题意． 故选： ． 【变式训练2】下列长度的三条线段能构成三角形的是 A．1，2，3 B．5，10，13 C．4，5，10 D．2，3，6 【解答】解： ． ， 不能构成三角形，本选项不符合题意； ． ， 长度为5，10，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意． ． ， 不能构成三角形，本选项不符合题意； ． ， 不能构成三角形，本选项不符合题意；故选： ． 【变式训练3】下列长度的三条线段，不能构成三角形的是 A．5，5，5 B．3，4，6 C．5，6，10 D．3，5，8 【解答】解： ． ， 能构成三角形，不符合题意； ． ， 能构成三角形，不符合题意； ． ， 能构成三角形，不符合题意； ． ， 不能构成三角形，符合题意． 故选： ． 已知两边求范围 【例7】已知一个三角形有两边长分别为3和9，则它的第三边长可能是 A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：设第三边为 ， 则 ，即 ， 所以符合条件的数为7， 故选： ． 【变式训练1】若长度分别为2，5， 的三条线段组成一个三角形，则整数 的值为 A．2 B．3 C．4 D．7 【解答】解：由三角形三边关系定理得： ， 即 ， 即符合的整数 的值可以是4， 故选： ． 【变式训练2】已知三角形三边的长度分别是 ， 和 ，若 是奇数，则 可能等于 A． B． C． D． 【解答】解：设第三边长为 ，则 ， ， 又 为奇数， 或9，故选： ． 【变式训练3】 的三边分别为 ， ， ，若 ， ， 的长为偶数，则 A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：由三角形三边关系可得： ， 即 ， 故选： ． 三角形内角计算 【例8】在一个直角三角形中，一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数是 A． B． C． D． 【解答】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于 ， 另一个锐角的度数是： ． 故选： ． 【变式训练1】在 中， ， ，则 5 0 度． 【解答】解：在 中， ， ， 则 ， 故答案为：50 【变式训练2】如图，在 中， ，若 ，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， 故选： ． 【变式训练3】在 中， ， ，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解：在 中， ， 则 ，， 解得： ， 故选： ． 与角平分线有关 【例9】如图，在 中， 的平分线与 的外角平分线相交于点 ， ，则 的度数是 A． B． C． D． 【解答】解：如图： 平分 ， ， 平分 的外角， ， 在 中，由三角形的外角性质， ， ， ，故选： ． 【变式训练1】如图，在 中， 为 延长线上一点， 与 的平分线相交 于点 ， ，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解： 的平分线与 的平分线交于点 ， ， ， ， 即 ， ， ， ． 故选： ． 【变式训练2】 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： 是 的角平分线， ， ， ， 是 的角平分线， ， ，， 故选： ． 【变式训练3】如图所示， 中， ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的平分线，则 的度数为 ． 【解答】解： 平分 ， ， 平分 ， ， ， ， ，（三角形内角和为 ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ，， ． 故答案为： ． 【例10】如图， 平分 ， 平分 ，若 ，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， 在 中， ． 故选： ． 【变式训练1】如图，已知 中， ， 分别是 的角平分线， 与 交于 点 ，如果设 ，那么 的度数是A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 、 分别是 的角平分线， ， ， 故选： ． 【变式训练2】如图， 的两个内角的平分线交于点 ．若 ，则 ． 【解答】解： 的两个内角的平分线交于点 ， ， ， ， 故答案为： ． 【变式训练3】如图， 和 是 的角平分线， ，则 5 6 ．【解答】解： 、 是 和 的角平分线， ， ， ． 故答案为：56 翻折问题 【例11】如图，在 中， ， ，点 是 上一点，将 沿 线段 翻折，使得点 落在 处，若 ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， 由折叠性质得： ， ， ， 解得： ． 故选： ． 【变式训练1】如图，在 中，沿 折叠，点 落在三角形所在的平面内的点为 ， 若 ， ，则 的度数为A． B． C． D． 【解答】解： △ 是 沿 对折后的图形， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． ， ． 故选： ． 【变式训练2】如图，将 的 边对折，使点 与点 重合， 为折痕，若 ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： 是 沿 折叠而成的， ． ， ．． 故选： ． 【变式训练3】如图， 中， ，将 沿 折叠，点 落在 处，则 的度数为 A． B． C． D． 【解答】解： 是由 折叠而成的， ． ， ． ， ， ． 故选： ．